2023年延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析_第1頁(yè)
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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7答案:∵明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,∴當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則a+2b=142b+c=92c+3d=234d=28,解得a=6b=4c=1d=7,解密得到的明文為6,4,1,7故選C.2.點(diǎn)(2a,a-1)在圓x2+y2-2y-4=0的內(nèi)部,則a的取值范圍是()

A.-1<a<1

B.0<a<1

C.-1<a<

D.-<a<1答案:D3.雙曲線x225-y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離是12,則P到F2的距離是()A.17B.7C.7或17D.2或22答案:由題意,a=5,則由雙曲線的定義可知PF1-PF2=±10,∴PF2=2或22,故選D.4.為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡足球之間有無關(guān)系,一般需要收集以下數(shù)據(jù)______.答案:為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡足球之間有無關(guān)系,一般需要收集男女生中喜歡或不喜歡足球的人數(shù),再得出2×2列聯(lián)表,最后代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式,得出結(jié)果.故為:男女生中喜歡或不喜歡足球的人數(shù).5.復(fù)數(shù)3+4i的模等于______.答案:|3+4i|=32+42=5,故為5.6.(幾何證明選講選做題)如圖,△ABC的外角平分線AD交外接圓于D,BD=4,則CD=______.答案:∵A、B、C、D共圓,∴∠DAE=∠BCD.又∵CD=CD,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=BD=4.故為4.7.某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行,比賽采用五局三勝制,按以往比賽經(jīng)驗(yàn),甲勝乙的概率為23.

(1)求比賽三局甲獲勝的概率;

(2)求甲獲勝的概率;

(3)設(shè)甲比賽的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.答案:記甲n局獲勝的概率為Pn,n=3,4,5,(1)比賽三局甲獲勝的概率是:P3=C33(23)3=827;(2)比賽四局甲獲勝的概率是:P4=C23(23)3

(13)=827;比賽五局甲獲勝的概率是:P5=C24(13)2(23)3=1681;甲獲勝的概率是:P3+P4+P5=6481.(3)記乙n局獲勝的概率為Pn′,n=3,4,5.P3′=C33(13)3=127,P4′=C23(13)3

(23)=227;P5′=C24(13)3(23)2=881;故甲比賽次數(shù)的分布列為:X345P(X)P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:EX=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881

)=10727.8.2007年10月24日18時(shí)05分,在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心,“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星順利升空,24分鐘后,星箭成功分離,衛(wèi)星首次進(jìn)入以地心為焦點(diǎn)的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點(diǎn)為約200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,則衛(wèi)星軌道的離心率為______(結(jié)果用R的式子表示)答案:由題意衛(wèi)星進(jìn)入以地心為焦點(diǎn)的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點(diǎn)為約200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,易知,a=25600+R,c=25400,則衛(wèi)星軌道的離心率e=2540025600+R.故為:2540025600+R.9.設(shè)定義域?yàn)閇x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn),向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),OM=(x,y),滿足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),又有向量ON=λOA+(1-λ)OB,現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指|MN|≤k恒成立,其中k>0,k為常數(shù).根據(jù)上面的表述,給出下列結(jié)論:

①A、B、N三點(diǎn)共線;

②直線MN的方向向量可以為a=(0,1);

③“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性近似”;

④“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)54下線性近似”.

其中所有正確結(jié)論的番號(hào)為______.答案:由ON=λOA+(1-λ)OB,得ON-OB=λ(OA-OB),即BN=λBA故①成立;∵向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),向量ON=λOA+(1-λ)OB,∴向量ON的橫坐標(biāo)為λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),∵OM=(x,y),滿足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),∴MN∥y軸∴直線MN的方向向量可以為a=(0,1),故②成立對(duì)于函數(shù)y=5x2在[0,1]上,易得A(0,0),B(1,5),所以M(1-λ,5(1-λ)2),N(1-λ,5(1-λ)),從而|MN|=52(1-λ)2-(1-λ))2=25[(λ-12)2+14]2≤54,故函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)54下線性近似”,故④成立,③不成立,故為:①②④10.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.11.已知復(fù)數(shù)z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z,有w=.z0?.z,|w|=2|z|.

(Ⅰ)試求m的值,并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式:

(Ⅱ)將(x、y)用為點(diǎn)P的坐標(biāo),(x'、y')作為點(diǎn)Q的坐標(biāo),上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換:它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q.已知點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2),試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(Ⅲ)若直線y=kx上的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上,試求k的值.答案:(I)由題設(shè)得,|w|=|.z0?.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,由1+m2=4,且m>0,得m=3,∴z0=1-3i,∵w=.z0?.z,∴x′+y′i=.(1-3i)?.(x+yi))=(1+3i)(x-yi)=x+3y+(3x-y)i,由復(fù)數(shù)相等得,x′=x+3yy′=3x-y,(Ⅱ)由(I)和題意得,x+3y=33x-y=2,解得x=343y=14

,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(343,14).

(Ⅲ)∵直線y=kx上的任意點(diǎn)P(x,y),其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q(x+3y,3x-y)仍在該直線上,∴3x-y=k(x+3y),即(3k+1)y=(3-k)x∵當(dāng)k=0時(shí),y=0,y=3x不是同一條直線,∴k≠0,于是3k+11=3-kk,即3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-312.設(shè)O是正△ABC的中心,則向量AO,BO.CO是()

A.相等向量

B.模相等的向量

C.共線向量

D.共起點(diǎn)的向量答案:B13.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是(

)A.B.C.D.答案:D解析:是和的最大公約數(shù),也就是和的最大公約數(shù)14.某細(xì)胞在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)),則經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)后,1個(gè)這樣的細(xì)胞可以分裂成______個(gè).答案:由于每15分鐘分裂一次,則兩個(gè)小時(shí)共分裂8次.一個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過一次分裂后,由1個(gè)分裂成2個(gè);經(jīng)過2次分裂后,由1個(gè)分裂成22個(gè);…經(jīng)過8次分裂后,由1個(gè)分裂成28個(gè).∴1個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)后,共分裂成28個(gè),即256個(gè).故為:25615.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:aabbcc≥(abc)a+b+c3.答案:證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0,則lga≥lgb≥lgc.據(jù)排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得:3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc)即lg(aabbcc)≥a+b+c3lg(abc)故aabbcc≥(abc)a+b+c3.16.在莖葉圖中,樣本的中位數(shù)為______,眾數(shù)為______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有6,出現(xiàn)在中間兩位位的數(shù)據(jù)是20,24,所以樣本的中位數(shù)是(20+24)÷2=22由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的是12,樣本的眾數(shù)是12為:22,1217.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,若兩人各投2次,則兩人都投中1次的概率為______.答案:兩人都投中1次的概率為C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故為:0.201618.設(shè)A(3,4),在x軸上有一點(diǎn)P(x,0),使得|PA|=5,則x等于()

A.0

B.6

C.0或6

D.0或-6答案:C19.______稱為向量的長(zhǎng)度(或稱為模),記作

______,______稱為零向量,記作

______,______稱為單位向量.答案:向量AB所在線段AB的長(zhǎng)度,即向量AB的大小,稱為向量AB的長(zhǎng)度(或成為模),記作|AB|;長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量,記作0;長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量稱為單位向量.故為:向量AB所在線段AB的長(zhǎng)度,即向量AB的大小,|AB|;長(zhǎng)度為零的向量,0;長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.20.直線2x+y-3=0與直線3x+9y+1=0的夾角是()

A.

B.a(chǎn)rctan2

C.

D.答案:C21.圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.

(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(2)求經(jīng)過圓O1,圓O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.答案:以有點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0為圓O1的直角坐標(biāo)方程.….(3分)同理x2+y2+4y=0為圓O2的直角坐標(biāo)方程.….(6分)(2)由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2.即圓O1,圓O2交于點(diǎn)(0,0)和(2,-2).過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.…(10分)22.已知=(1,2),=(-3,2),k+與-3垂直時(shí),k的值為(

A.17

B.18

C.19

D.20答案:C23.不等式log12(x2-2x-15)>log12(x+13)的解集為______.答案:滿足log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13),得x2-2x-15<x+13x2-2x-15>0x+13>0解得:-4<x<-3,或5<x<7,則不等式log12(x2-2x-15)>log12(x+13)的解集為(-4,-3)∪(5,7)故為:(-4,-3)∪(5,7).24.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是()

A.

B.

C.

D.答案:B25.將程序補(bǔ)充完整

INPUT

x

m=xMOD2

IF______THEN

PRINT“x是偶數(shù)”

ELSE

PRINT“x是奇數(shù)”

END

IF

END.答案:本程序的作用是判斷出輸入的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),由其邏輯關(guān)系知,若邏輯是“是”則輸出“x是偶數(shù)”,若邏輯是“否”,則輸出“x是奇數(shù)”故判斷條件應(yīng)為m=0故為m=026.設(shè)z∈C,|z|≤2,則點(diǎn)Z表示的圖形是()A.直線x=2的左半平面B.半徑為2的圓面C.直線x=2的右半平面D.半徑為2的圓答案:由題意z∈C,|z|≤2,由得數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)Z表示的圖形是半徑為2的圓面,故選B27.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線()

A.有且僅有一條

B.有且僅有兩條

C.有無窮多條

D.不存在答案:B28.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一點(diǎn),若λOG=OA+OB+OC,則λ=______.答案:如圖,正方體中,OA+OB+OC=OD=3OG,∴λ=3.故為3.29.下列命題中正確的是()

A.若,則

B.若,則

.若,則

D.若,則答案:C30.下列在曲線上的點(diǎn)是(

A.

B.

C.

D.答案:B31.拋物線y=ax2(其中a>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

A.(,0)

B.(0,)

C.(,0)

D.(0,)答案:D32.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為()

A.2

B.4

C.8

D.16

答案:C33.有3名同學(xué)要爭(zhēng)奪2個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍,冠軍獲得者共有______種可能.答案:第一個(gè)項(xiàng)目的冠軍有3種情況,第二個(gè)項(xiàng)目的冠軍也有3種情況,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,冠軍獲得者共有3×3=9種可能,故為9.34.直線(t為參數(shù))的傾斜角是()

A.20°

B.70°

C.45°

D.135°答案:D35.已知隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0.05且η=5ξ+1,則Eη等于()

A.1.15

B.1.25

C.0.75

D.2.5答案:B36.方程x2-(k+2)x+1-3k=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______.答案:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-(k+2)x+1-3k∵方程x2-(k+2)x+1-3k=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0∴1-3k>0-4k<01-5k>0∴0<k<15∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,15)故為:(0,15)37.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是()

A.直線

B.圓

C.橢圓

D.拋物線答案:C38.如圖,正六邊形ABCDEF中,=()

A.

B.

C.

D.

答案:D39.正多面體只有______種,分別為______.答案:正多面體只有5種,分別為正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.故為:5,正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.40.已知P為x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),則PF2+PF1=______.答案:∵x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),∴根據(jù)橢圓的定義,可得|PF2|+|PF1|=2×2=4故為:441.過點(diǎn)A(-1,4)作圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的切線l,求切線l的方程.答案:設(shè)方程為y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0∴d=|2k-3+k+4|k2+1=1∴4k2+3k=0∴k=0或k=-34∴切線l的方程為y=4或3x+4y-13=042.(文)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,則該橢圓的離心率為()

A.

B.

C.

D.不確定答案:C43.如圖,已知某探照燈反光鏡的縱切面是拋物線的一部分,光源安裝在焦點(diǎn)F上,且燈的深度EG等于燈口直徑AB,若燈的深度EG為64cm,則光源安裝的位置F到燈的頂端G的距離為______cm.答案:以反射鏡頂點(diǎn)為原點(diǎn),以頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為y2=2px,依題意可點(diǎn)A(64,32)在拋物線上代入拋物線方程得322=128p解得p=8∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),而光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離正是拋物線的焦距,即4cm.故為:4.44.已知a=(3,3,2),b=(4,-3,7),c=(0,5,1),則(a+b)?c=______.答案:由于a=(3,3,2),b=(4,-3,7),則a+b=(7,0,9)又由c=(0,5,1),則(a+b)?c=(7,0,9)?(0,5,1)=9故為945.三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若<n1,n2>=,則二面角A-BD-C的大小為()

A.

B.

C.或

D.或答案:C46.設(shè)集合A={x|},則A∩B等于(

A.

B.

C.

D.答案:B47.已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為______.答案:我們通過聯(lián)立解方程組ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)解得ρ=23θ=π6,即兩曲線的交點(diǎn)為(23,π6).故填:(23,π6).48.已知|a|=8,e是單位向量,當(dāng)它們之間的夾角為π3時(shí),a在e方向上的投影為()A.43B.4C.42D.8+23答案:由兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義可知:a在e方向上的投影即:a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故選B49.利用斜二測(cè)畫法能得到的()

①三角形的直觀圖是三角形;

②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;

③正方形的直觀圖是正方形;

④菱形的直觀圖是菱形.

A.①②

B.①

C.③④

D.①②③④答案:A50.已知P為拋物線y2=4x上一點(diǎn),設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d1,P到點(diǎn)A(1,4)的距離為d2,則d1+d2的最小值為______.答案:∵y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)根據(jù)拋物線定義可知P到準(zhǔn)線的距離為d1=|PF|d1+d2=|PF|+|PA|進(jìn)而可知當(dāng)A,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),d1+d2的最小值=|AF|=4故為4第2卷一.綜合題(共50題)1.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcosθ=4相交于點(diǎn)M,在OM上取一點(diǎn)P,使OM?OP=12.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)設(shè)R為直線ρcosθ=4上任意一點(diǎn),試求RP的最小值.答案:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ,θ),M的坐標(biāo)為(ρ0,θ),則ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即為所求的軌跡方程.(2)由(1)知P的軌跡是以(32,0)為圓心,半徑為32的圓,而直線l的解析式為x=4,所以圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),易得RP的最小值為12.設(shè)a、b為單位向量,它們的夾角為90°,那么|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4答案:∵a,b它們的夾角為90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10,|a+3b|=10.故選B.3.如圖,橢圓C2x2a2+

y2b2=1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,|A1B1|=7,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)n為過原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交與點(diǎn)P,與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線|op|=1,是否存在上述直線l使OA?OB=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請(qǐng)說明理由.答案:(Ⅰ)由題意可知a2+b2=7,∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,∴a=2c.解得a2=4,b2=3,c2=1.∴橢圓C的方程為x24+y33=1.(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),假設(shè)使OA?OB=0成立的直線l存在.(i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點(diǎn),且|OP|=1得|m|1+

k2=1,即m2=k2+1,由OA?OB=0得x1x2+y1y2=0,將y=kx+m代入橢圓得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,x1+x2=-8km3+4k2,①,x1x2=4m2-123+4k2,②0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2把①②代入上式并化簡(jiǎn)得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,③將m2=1+k2代入③并化簡(jiǎn)得-5(k2+1)=0矛盾.即此時(shí)直線l不存在.(ii)當(dāng)l垂直于x軸時(shí),滿足|OP|=1的直線l的方程為x=1或x=-1,由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,32),(1,-32)或(-1,32),(-1,-32).當(dāng)x=1時(shí),OA?OB=(1,32)?

(1,-32)=-54≠0.當(dāng)x=-1時(shí),OA?OB=(-1,32)?

(-1,-32)=-54≠0.∴此時(shí)直線l也不存在.綜上所述,使OA?OB=0成立的直線l不成立.4.若=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是()

A.(0,-3,1)

B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1)

D.(-2,3,-1)答案:D5.若向量且與的夾角余弦為則λ等于()

A.4

B.-4

C.

D.答案:C6.若直線x=1的傾斜角為α,則α等于()A.0°B.45°C.90°D.不存在答案:直線x=1與x軸垂直,故直線的傾斜角是90°,故選C.7.已知△ABC,D為AB邊上一點(diǎn),若AD=2DB,CD=13CA+λCB,則λ=

.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(

CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故為:23.8.若(1+2)5=a+b2(a,b為有理數(shù)),則a+b=()A.45B.55C.70D.80答案:解析:由二項(xiàng)式定理得:(1+2)5=1+C512+C52(2)2+C53(2)3+C54(2)4+C55?(2)5=1+52+20+202+20+42=41+292,∴a=41,b=29,a+b=70.故選C9.已知a、b、c是實(shí)數(shù),且a2+b2+c2=1,求2a+b+2c的最大值.答案:因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù),且a2+b2+c2=1根據(jù)柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2故有(a2+b2+c2)(22+1+22)≥(2a+b+2c)2故(2a+b+2c)2≤9,即2a+b+2c≤3即2a+b+2c的最大值為3.10.(選做題)已知矩陣.122x.的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.答案:矩陣M的特征多項(xiàng)式為.λ-1-2-2λ-x.=(λ-1)(λ-x)-4…(1分)因?yàn)棣?=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1…(3分)由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,…(5分)設(shè)λ2=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=xy,則-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…(8分)令x=1則y=-1,所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=1-1…(10分)11.若命題p的否命題是q,命題q的逆命題是r,則r是p的逆命題的()A.原命題B.逆命題C.否命題D.逆否命題答案:設(shè)命題p為“若k,則s”;則其否命題q是“若¬k,則¬s”;∴命題q的逆命題r是“若¬s,則¬k”,而p的逆命題為“若s,則k”,故r是p的逆命題的否命題.故選C.12.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=4cosθy=2sinθ(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).

(Ⅰ)化曲線C1、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;

(Ⅱ)設(shè)曲線C1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為P(m,0)(m>0),經(jīng)過點(diǎn)P作曲線C2的切線l,求切線l的方程.答案:(Ⅰ)曲線C1:x216+y24=1;曲線C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲線C1為中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是4,短半軸長(zhǎng)是2的橢圓;曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓(2分)(Ⅱ)曲線C1:x216+y24=1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),因?yàn)閙>0,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0),(2分)顯然切線l的斜率存在,設(shè)為k,則切線l的方程為y=k(x-4),由曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切線l的方程為y=3±102(x-4)(3分)13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)

直線x=-2+ty=1-t(t為參數(shù))被圓x=3+5cosθy=-1+5sinθ(θ為參數(shù),θ∈[0,2π))所截得的弦長(zhǎng)為______.答案:直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程得x+y+1=0,(x-3)2+(y+1)2=25,于是弦心距d=322,弦長(zhǎng)l=225-92=82.故為:8214.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),則(a-b)?(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)?(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故為-4.15.“x2>2012”是“x2>2011”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:由于“x2>2

012”時(shí),一定有“x2>2

011”,反之不成立.所以“x2>2

012”是“x2>2

011”的充分不必要條件.故選A.16.某學(xué)校為了解高一男生的百米成績(jī),隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,如圖是這50名學(xué)生百米成績(jī)的頻率分布直方圖.根據(jù)該圖可以估計(jì)出全校高一男生中百米成績(jī)?cè)赱13,14]內(nèi)的人數(shù)大約是140人,則高一共有男生______人.

答案:第三和第四個(gè)小矩形面積之和為(0.72+0.68)×0.5=0.7,即百米成績(jī)?cè)赱13,14]內(nèi)的頻率為:0.7,因?yàn)楦鶕?jù)該圖可以估計(jì)出全校高一男生中百米成績(jī)?cè)赱13,14]內(nèi)的人數(shù)大約是140人,則高一共有男生1400.7=200人.故為:200.17.在甲、乙兩個(gè)盒子里分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)小球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子里各取出1個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等.

(1)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率;

(2)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率;

(3)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5整除的概率.答案:甲、乙兩個(gè)盒子里各取出1個(gè)小球計(jì)為(X,Y)則基本事件共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)總數(shù)為16種.(1)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率P=38;(2)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)共5種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率為516;(3)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5的基本事件有:(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5的概率P=3818.兩弦相交,一弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,求另一弦長(zhǎng)______.答案:設(shè)另一弦長(zhǎng)xcm;由于另一弦被分為3:8的兩段,故兩段的長(zhǎng)分別為311xcm,811xcm,有相交弦定理可得:311x?811x=12?18解得x=33故為:33cm19.已知某離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=76,ξ的分布列如下,則a=______.

答案:∵Eξ=76=0×a+1×13+2×16+3b∴b=16,∵P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1∴a+13+16+16=1∴a=13.故為:1320.設(shè)曲線C的方程是,將C沿x軸,y軸正向分別平移單位長(zhǎng)度后,得到曲線C1.(1)寫出曲線C1的方程;(2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(,)對(duì)稱.答案:(1)(2)證明略解析:(1)由已知得,,則平移公式是即代入方程得曲線C1的方程是(2)在曲線C上任取一點(diǎn),設(shè)是關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),則有,,代入曲線C的方程,得關(guān)于的方程,即可知點(diǎn)在曲線C1上.反過來,同樣可以證明,在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上,因此,曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.21.一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球的成績(jī)是14m,當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離是6m時(shí),達(dá)到最大高度4m.若鉛球運(yùn)行的路線是拋物線,則鉛球出手時(shí)距地面的高度是()

A.2.25m

B.2.15m

C.1.85m

D.1.75m

答案:D22.(幾何證明選講選做題)

如圖,已知AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,則PC的長(zhǎng)是______.答案:∵AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=22.故為:22.23.設(shè)a,b,c∈R,則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是()

A.a(chǎn)d-bc=0

B.a(chǎn)c-bd=0

C.a(chǎn)c+bd=0

D.a(chǎn)d+bc=0答案:D24.O、B、C為空間四個(gè)點(diǎn),又、、為空間的一個(gè)基底,則()

A.O、A、B、C四點(diǎn)不共線

B.O、A、B、C四點(diǎn)共面,但不共線

C.O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線

D.O、A、B、C四點(diǎn)不共面答案:D25.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在軸上,離心率e=22,且經(jīng)過點(diǎn)M(0,2),求橢圓c的方程答案:若焦點(diǎn)在x軸很明顯,過點(diǎn)M(0,2)點(diǎn)M即橢圓的上端點(diǎn),所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4橢圓:x24+y22=1若焦點(diǎn)在y軸,則a=2,ca=22,c=1∴b=1橢圓方程:x22+y2=1.26.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,-2)按向量a=(-1,3)平移,得點(diǎn)A′的坐標(biāo)是()A.(5,-5)B.(3,1)C.(5,1)D.(3,-5)答案:設(shè)A′的坐標(biāo)為(x′,y′),則x′=4-1=3y′=-2+3=1,∴A′(3,1).故選B.27.已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是11,(1)求矩陣A.(2)β=40,求A5β.答案:(1)設(shè)A=abcd,由abcd10=23得,a=2c=3,由abcd11=311=33得,a+b=3c+d=3,所以b=1d=0所以A=2130.

7分(2)A=2130的特征多項(xiàng)式為f(λ)=.λ-2-1-3λ.=

-3)(λ+1)令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,λ1=3時(shí),α1=11,λ2=-1時(shí),α2=1-3令β=mα1+α2,則β=40=3α1+α2,A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分.28.已知函數(shù)f(x)=(12)x

x≥4

f(x+1)

x<4

則f(2+log23)的值為______.答案:∵2+log23∈(2,3),∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23)=(12)3+log23=(12)3(12)log23=18×13=124故為12429.已知AB和CD是曲線(t為參數(shù))的兩條相交于點(diǎn)P(2,2)的弦,若AB⊥CD,且|PA|·|PB|=|PC|·

|PD|,

(Ⅰ)將曲線(t為參數(shù))化為普通方程,并說明它表示什么曲線;

(Ⅱ)試求直線AB的方程。答案:解:(Ⅰ)由y=4t得y2=16t2,而x=4t2,∴y2=4x,它表示拋物線;(Ⅱ)設(shè)直線AB和CD的傾斜角分別為α,β,則直線AB和CD的參數(shù)方程分別為,把①代入y2=4x中,得t2sin2α+(4sinα-4cosα)t-4=0,③依題意知sinα≠0且方程③的判別式Δ=16(sinα-cosα)2+16sin2α>0,∴方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解t1,t2,則由t的幾何意義知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA|·|PB|=|t1t2|=,同理|PC|·|PD|=,由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知,即sin2α=sin2β,∵0≤α,β<π,∴α=π-β,∵AB⊥CD,∴β=α+90°或α=β+90°,∴直線AB的傾斜角∴kAB=1或kAB=-1,故直線AB的方程為y=x或x+y-4=0。30.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,且AC、BD交于點(diǎn)E,則此圖形中一定相似的三角形有()對(duì).

A.0

B.3

C.2

D.1

答案:C31.若圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()A.k2<k1<k3B.k3<k2<k1C.k2<k3<k1D.k1<k3<k2答案:∵直線l2的傾斜角為鈍角,∴k2<0.直線l1,l3的傾斜角為銳角,且直線l1的傾斜角小于l3的傾斜角,∴0<k1<k3.故選A.32.在研究打酣與患心臟病之間的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打酣與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.下列說法中正確的是()

A.100個(gè)心臟病患者中至少有99人打酣

B.1個(gè)人患心臟病,則這個(gè)人有99%的概率打酣

C.100個(gè)心臟病患者中一定有打酣的人

D.100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打酣的人都沒有答案:D33.已知下列命題(其中a,b為直線,α為平面):

①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個(gè)平面垂直;

②若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面;

③若a∥α,b⊥α,則a⊥b;

④若a⊥b,則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直.

上述四個(gè)命題中,真命題是()A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④答案:①平面內(nèi)無數(shù)條直線均為平行線時(shí),不能得出直線與這個(gè)平面垂直,將“無數(shù)條”改為“所有”才正確;故①錯(cuò)誤;②垂直于這條直線的直線與這個(gè)平面可以是任何的位置關(guān)系,有可能是平行、相交、線在面內(nèi),故②錯(cuò)誤.③若a∥α,b⊥α,則必有a⊥b,正確;④若a⊥b,則過b有且只有一個(gè)平面與a垂直,顯然正確.故選D.34.命題:“方程x2-1=0的解是x=±1”,其使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是()A.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”B.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”C.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”D.沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞答案:“x=±1”可以寫成“x=1或x=-1”,故選B.35.兩條直線x-y+6=0與x+y+6=0的夾角為()

A.

B.

C.0

D.答案:D36.若a,b∈R,求證:≤+.答案:證明略解析:證明

當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|≠0時(shí),由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.37.設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為[0,],則P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為()

A.[0,]

B.[0,]

C.[0,||]

D.[0,||]答案:B38.設(shè)ABC是坐標(biāo)平面上的一個(gè)三角形,P為平面上一點(diǎn)且AP=15AB+25AC,則△ABP的面積△ABC的面積=()A.12B.15C.25D.23答案:連接CP并延長(zhǎng)交AB于D,∵P、C、D三點(diǎn)共線,∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1設(shè)AB=kAD,結(jié)合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之,得λ=35,k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC,可得PD=25CD,∵△ABP的面積與△ABC有相同的底邊AB高的比等于|PD|與|CD|之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為25故選:C39.有四條線段,其長(zhǎng)度分別為2,3,4,5,現(xiàn)從中任取三條,則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是______.答案:所有的取法共有C34=4種,三條線段構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊,其中能夠成三角形的取法有①2、3、4;②2、4、5;③3、4、5,共有3種,故這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是34,故為34.40.=(2,1),=(3,4),則向量在向量方向上的投影為()

A.

B.

C.2

D.10答案:C41.如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是()A.AB.BC.CD.D答案:兩個(gè)復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù),兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相同,下部相反,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.所以點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是B.故選B.42.若向量n與直線l垂直,則稱向量n為直線l的法向量.直線x+2y+3=0的一個(gè)法向量為()

A.(2,-1)

B.(1,-2)

C.(2,1)

D.(1,2)答案:D43.將兩枚質(zhì)地均勻透明且各面分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體玩具各擲一次,設(shè)事件A={兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)不相同},B={兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)至少出現(xiàn)一個(gè)2點(diǎn)},則P(B|A)=______.答案:設(shè)事件A={兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)不相同},包括以下12個(gè)基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).事件B={兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)至少出現(xiàn)一個(gè)2點(diǎn)},則包括以下6個(gè)基本事件:(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,2),(4,2).故P(B|A)=612=12.故為12.44.某細(xì)胞在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)),則經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)后,1個(gè)這樣的細(xì)胞可以分裂成______個(gè).答案:由于每15分鐘分裂一次,則兩個(gè)小時(shí)共分裂8次.一個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過一次分裂后,由1個(gè)分裂成2個(gè);經(jīng)過2次分裂后,由1個(gè)分裂成22個(gè);…經(jīng)過8次分裂后,由1個(gè)分裂成28個(gè).∴1個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)后,共分裂成28個(gè),即256個(gè).故為:25645.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1),則f(x)=______.答案:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1),所以函數(shù)y=ax經(jīng)過(1,2),所以a=2,所以函數(shù)y=f(x)=log2x.故為:log2x.46.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng),則△ABC一定不是()

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形答案:D47.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當(dāng)它醒來時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…,用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則下圖與故事情節(jié)相吻合的是()

A.

B.

C.

D.

答案:B48.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3,它的側(cè)面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是()A.2B.2.5C.5D.10答案:設(shè)母線長(zhǎng)為l,則S側(cè)=π(1+3)l=4πl(wèi).S上底+S下底=π?12+π?32=10π.據(jù)題意4πl(wèi)=20π即l=5,故選C.49.已知兩點(diǎn)分別為A(4,3)和B(7,-1),則這兩點(diǎn)之間的距離為()A.1B.2C.3D.5答案:∵A(4,3)和B(7,-1),∴AB=(4-7)2+(3+1)2=5故選D.50.直線(t為參數(shù))的傾斜角是()

A.20°

B.70°

C.45°

D.135°答案:D第3卷一.綜合題(共50題)1.在(1+2x)5的展開式中,x2的系數(shù)等于______.(用數(shù)字作答)答案:由于(1+2x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cr5?(2x)r,令r=2求得x2的系數(shù)等于C25×22=40,故為40.2.若A=1324,B=-123-3,則3A-B=______.答案:∵A=1324,B=-123-3,則3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315.故為:47315.3.已知一種材料的最佳加入量在100g到200g之間,若用0.618法安排試驗(yàn),則第一次試點(diǎn)的加入量可以是(

)g。答案:161.8或138.24.如圖,海中有一小島,周圍3.8海里內(nèi)有暗礁.一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行,望見小島B在北偏東75°,航行8海里到達(dá)C處,望見小島B在北偏東60°.若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn),問此艦有沒有觸礁的危險(xiǎn)?答案:在△ABC中,∵∠BAC=15°,∠ACB=150°,AC=8,可得:∠ABC=15°.∴BC=8,過B作AC的垂線垂足為D,在△BCD中,可得BD=BC?sin30°=4.∵4>3.8,∴沒有危險(xiǎn).5.用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時(shí)的大前提是______.答案:∵證明y=x2是增函數(shù)時(shí),依據(jù)的原理就是增函數(shù)的定義,∴用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時(shí)的大前提是:增函數(shù)的定義故填增函數(shù)的定義6.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3-22ty=5+22t(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=25sinθ.

(I)求圓C的參數(shù)方程;

(II)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A,B,求弦長(zhǎng)|AB|答案:(Ⅰ)∵ρ=25sinθ,∴ρ2=25ρsinθ…(1分)所以,圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-25y=0,即x2+(y-5)2=5…(3分)所以,圓C的參數(shù)方程為x=5cosθy=5+5sinθ(θ為參數(shù))

…(4分)(Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得(3-22t)2+(22t)2=5即t2-32t+4=0…(5分)設(shè)兩交點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=32t1t2=4…(7分)∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=18-16=2…(8分)7.若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)答案:∵方程x2+ky2=2,即x22+y22k=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓∴2k>2故0<k<1故選D.8.已知P為x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),則PF2+PF1=______.答案:∵x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),∴根據(jù)橢圓的定義,可得|PF2|+|PF1|=2×2=4故為:49.(1)在數(shù)軸上求一點(diǎn)的坐標(biāo),使它到點(diǎn)A(9)與到點(diǎn)B(-15)的距離相等;

(2)在數(shù)軸上求一點(diǎn)的坐標(biāo),使它到點(diǎn)A(3)的距離是它到點(diǎn)B(-9)的距離的2倍.答案:(1)設(shè)該點(diǎn)為M(x),根據(jù)題意,得A、M兩點(diǎn)間的距離為d(A,M)=|x-9|,B、M兩點(diǎn)間的距離為d(M,B)=|-15-x|,結(jié)合題意,可得|x-9|=|-15-x|,∴x-9=15+x或x-9=-15-x,解之得x=-3,得M的坐標(biāo)為-3故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為-3.(2)設(shè)該點(diǎn)為N(x'),則A、N兩點(diǎn)間的距離為d(A,N)=|x'-3|,B、N兩點(diǎn)間的距離為d(N,B)=|-9-x'|,根據(jù)題意有|x'-3|=2|9+x'|,∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x',解之得x'=-21,或x'=-5.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是-21或-5.10.三行三列的方陣.a11a12

a13a21a22

a23a31a32

a33.中有9個(gè)數(shù)aji(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則它們不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:從給出的9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),共有C39;從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù),使它們不同行且不同列:從第一行中任取一個(gè)數(shù)有C13種方法,則第二行只能從另外兩列中的兩個(gè)數(shù)任取一個(gè)有C12種方法,第三行只能從剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù),則它們不同行且同列的概率P=6C39=114.故選C.11.已知A、B、C三點(diǎn)不共線,O是平面ABC外的任一點(diǎn),下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是()A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OCC.OM=OA+12OB+13OCD.OM=13OA+13OB+13OC答案:由共面向量定理OM=m?OA+n?OB+p?OC,m+n+p=1,說明M、A、B、C共面,可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的,則D正確.故選D.12.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,則實(shí)數(shù)x的值為()

A.9

B.1

C.-1

D.-9答案:C13.在同一坐標(biāo)系中,y=ax與y=a+x表示正確的是()A.

B.

C.

D.

答案:由y=x+a得斜率為1排除C,由y=ax與y=x+a中a同號(hào)知若y=ax遞增,則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上,由此排除B;若y=ax遞減,則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,由此排除D,知A是正確的;故選A.14.學(xué)校成員、教師、后勤人員、理科教師、文科教師的結(jié)構(gòu)圖正確的是()

A.

B.

C.

D.

答案:A15.若點(diǎn)P分向量AB的比為34,則點(diǎn)A分向量BP的比為()A.-34B.34C.-73D.73答案:由題意可得APPB=|AP||PB|=34,故

A分BP的比為BAAP=-|BA||AP|=-4+33=-73,故選C.16.如圖,以1×3方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中,有多少種大小不同的模?有多少種不同的方向?

答案:模為1的向量;模為2的向量;模為3的向量;模為2的向量;模為5的向量;模為10的向量共有6個(gè)模,進(jìn)而分析方向,正方形的邊對(duì)應(yīng)的向量共有四個(gè)方向,邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共四個(gè)方向;1×2的矩形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共四個(gè)方向;1×3的矩形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共有四個(gè)方向共有16個(gè)方向17.過點(diǎn)(0,2)且與圓x2+y2=4只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程是______.答案:∵圓x2+y2=4的圓心是O(0,0),半徑r=2,點(diǎn)(0,2)到圓心O(0,0)的距離是d=0+4=2=r,∴點(diǎn)(0,2)在圓x2+y2=4上,∴過點(diǎn)(0,2)且與圓x2+y2=4只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程是0x+2y=4,即y=2.故為:y=2.18.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,求

(1)他罰球1次的得分X的數(shù)學(xué)期望;

(2)他罰球2次的得分Y的數(shù)學(xué)期望;

(3)他罰球3次的得分η的數(shù)學(xué)期望.答案:(1)X的取值為1,2,則因?yàn)镻(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7.(2)Y的取值為0,1,2,則P(Y=0)=0.32=0.09,P(Y=1)=C12×0.7×0.3=0.42,P(Y=2)=0.72=0.49Y的概率分布列為Y012P0.090.420.49所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4.(3)η的取值為0,1,2,3,則P(η=0)=0.33=0.027,P(η=1)=C13×0.7×0.32=0.189,P(η=2)=C23×0.72×0.3=0.441,P(η=3)=0.73=0.343∴η的概率分布為η0123P0.0270.1890.4410.343所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.19.已知f(x)在(0,2)上是增函數(shù),f(x+2)是偶函數(shù),那么正確的是()A.f(1)<f(52)<f(72)B.f(72)<f(1)<f(52)C.f(72)<f(52)<f(1)D.f(52)<f(1)<f(72)答案:根據(jù)函數(shù)的圖象的平移可得把f(x+2)向右平移2個(gè)單位可得f(x)的圖象f(x+2)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱∴f(72)=f(12),f(52)=f(32)∵f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,且12<1<32∴f(12)<f(1)<f(32)即f(72)<f(1)<f(52)故選:B20.附加題選做題B.(矩陣與變換)

設(shè)矩陣A=m00n,若矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為10,屬于特征值2的一個(gè)特征向量為01,求實(shí)數(shù)m,n的值.答案:由題意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化簡(jiǎn)得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分21.已知在一場(chǎng)比賽中,甲運(yùn)動(dòng)員贏乙、丙的概率分別為0.8,0.7,比賽沒有平局.若甲分別與乙、丙各進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則甲取得一勝一負(fù)的概率是______.答案:根據(jù)題意,甲取得一勝一負(fù)包含兩種情況,甲勝乙負(fù)丙,概率為:0.8×0.3=0.24;甲勝丙負(fù)乙,概率為:0.2×0.7=0.14;∴甲取得一勝一負(fù)的概率為0.24+0.14=0.38故為0.3822.已知A(1,0).B(7,8),若點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線l的距離都為5,且滿足上述條件的直線l共有n條,則n的值是()A.1B.2C.3D.4答案:與直線AB平行且到直線l的距離都為5的直線共有兩條,分別位于直線AB的兩側(cè),由線段AB的長(zhǎng)度等于10,還有一條直線是線段AB的中垂線,故滿足上述條件的直線l共有3條,故選C.23.在輸入語(yǔ)句中,若同時(shí)輸入多個(gè)變量,則變量之間的分隔符號(hào)是()

A.逗號(hào)

B.空格

C.分號(hào)

D.頓號(hào)答案:A24.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2a=3b,下列五個(gè)關(guān)系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;

⑤a=b.其中可能成立的關(guān)系式有()

A.①②③

B.①②⑤

C.①③⑤

D.③④⑤答案:B25.從甲乙丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率為()A.12B.13C.23D.1答案:從3個(gè)人中選出2個(gè)人當(dāng)代表,則所有的選法共有3種,即:甲乙、甲丙、乙丙,其中含有甲的選法有兩種,故甲被選中的概率是23,故選C.26.某房間有四個(gè)門,甲要各進(jìn)、出這個(gè)房間一次,不同的走法有多少種?()

A.12

B.7

C.16

D.64答案:C27.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.4B.6C.8D.12答案:拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,∴到準(zhǔn)線的距離是4+2=6,根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是6故選B28.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè),從袋中任取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性都相等.

(Ⅰ)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;

(Ⅱ)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字,求隨機(jī)變量X的分布列和均值.答案:(I)由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)C123,滿足條件的事件是取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同,共有C43C31C31C31記“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,∴P(A)=C34?C13?C13?C13C312=2755.(II)由題意X所有可能的取值為:1,2,3,4.P(X=1)=1C312=1220;P(X=2)=C23?C13+C23?C13+C33C312=19220;P(X=3)=C26?C13+C16?C23+C33C312=64220=1655;P(X=4)=C29?C13+C19?C23+C33C312=136220=3455.∴隨機(jī)變量X的分布列為∴隨機(jī)變量X的期望為EX=1×1220+2×19220+3×1655+4×3455=15544.29.若隨機(jī)變量X~B(5,12),那么P(X≤1)=______.答案:P(X≤1)=C06(12)0(12)6+C16(12)1(12)5=316故為:31630.函數(shù)y=f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.

(1)求f(0)的值;

(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;

(3)若f(1)≥1,求證:f(12n)>0(n∈N*).答案:(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0?f(0)=0(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f(n)=n2,下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.①當(dāng)n=1時(shí)猜想成立.②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立,即:f(k)=k2,那么f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+2k+1=(k+1)2.這就是說n=k+1時(shí)猜想也成立.對(duì)于一切n≥1,n∈N+猜想都成立.(3)f(1)≥1,則f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14>0假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即f(12k)≥122k>0,則f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1),由上知,則f(12n)>0(n∈N*).31.已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且AF=λFB(λ>0).過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M.

(I)證明FM.AB為定值;

(II)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.答案:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xo,yo),焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,顯然AB斜率存在且過F(0,1)設(shè)其直線方程為y=kx+1,聯(lián)立4y=x2消去y得:x2-4kx-4=0,判別式△=16(k2+1)>0.x1+x2=4k,x1x2=-4于是曲線4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y'=x2,則易得切線AM,BM方程分別為y=(12)x1(x-x1)+y1,y=(12)x2(x-x2)+y2,其中4y1=x12,4y2=x22,聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo),xo=x1+x22=2k,yo=x1x24=-1,即M(x1+x22,-1)從而,F(xiàn)M=(x1+x22,-2),AB(x2-x1,y2-y1)FM?AB=12(x1+x2)(x2-x1)-2(y2-y1)=12(x22-x12)-2[14(x22-x12)]=0,(定值)命題得證.這就說明AB⊥FM.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,F(xiàn)M⊥AB,因而S=12|AB||FM|.|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ.因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+1λ+2=(λ+1λ)2.于是S=12|AB||FM|=12(λ+1λ)3,由λ+1λ≥2知S≥4,且當(dāng)λ=1時(shí),S取得最小值4.32.如圖是《集合》的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如果要加入“子集”,那么應(yīng)該放在()

A.“集合”的下位

B.“含義與表示”的下位

C.“基本關(guān)系”的下位

D.“基本運(yùn)算”的下位

答案:C33.在某項(xiàng)體育比賽中,七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下:

90

89

90

95

93

94

93

去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)的平均值和方差分別為()

A.92,2

B.92,2.8

C.93,2

D.93,2.8答案:B34.如圖,O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,在圖中所示的向量中:

(1)與AO相等的向量有

______;

(2)寫出與AO共線的向量有

______;

(3)寫出與AO的模相等的向量有

______;

(4)向量AO與CO是否相等?答

______.答案:(1)與AO相等的向量有BF(2)與AO共線的向量有DE,CO,BF(3)與AO的模相等的向量有DE,

DO,AE,CO,CF,BF,BO(4)模相等,方向相反故AO與CO不相等35.已知正數(shù)x,y,且x+4y=1,則xy的最大值為()

A.

B.

C.

D.答案:C36.若一輛汽車每天行駛的路程比原來多19km,則該汽車在8天內(nèi)行駛的路程s(km)就超過2200km;若它每天行駛的路程比原來少12km,則它行駛同樣的路程s(km)就得花9天多的時(shí)間。這輛汽車原來每天行駛的路程(km)的范圍是(

A.(259,260)

B.(258,260)

C.(257,260)

D.(256,260)答案:D37.如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的切線,點(diǎn)C在⊙O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,則BC的長(zhǎng)為______.答案:∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B;∵AD是⊙O的切線,∴BA⊥AD,即∠OAD=∠ACB=90°,∴Rt△AOD∽R(shí)t△CBA,∴BCOA=ABOD,即BC1=23,故BC=23.38.設(shè)0<a<1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),則m,n,p的大小關(guān)系是()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n答案:取a=0.5,則a2+1、a+1、2a的大小分別為:1.25,1.5,1,又因?yàn)?<a<1時(shí),y=logax為減函數(shù),所以p>m>n故選D39.將n2個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記f(n)為n階幻方對(duì)角線的和,如右表就是一個(gè)3階幻方,可知f(3)=15,則f(4)=()

816357492A.32B.33C.34D.35答案

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