2023年遼寧政法職業(yè)學(xué)院高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫(kù)含答案解析

長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年遼寧政法職業(yè)學(xué)院高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫(kù)含答案解析（圖片大小可自由調(diào)整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買(mǎi)！第1卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則|CA+CB|=______．答案：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴|CA|=1，|CB|=1，CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+

2×12=3，故為：32.（文）對(duì)于任意的平面向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，定義新運(yùn)算⊕：a⊕b=(x1+x2，y1y2)．若a，b，c為平面向量，k∈R，則下列運(yùn)算性質(zhì)一定成立的所有序號(hào)是______．

①a⊕b=b⊕a；

②(ka)⊕b=a⊕(kb)；

③a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c；

④a⊕(b+c)=a⊕b+a⊕c．答案：①a⊕b=（x1+x2，y1y2）=(x2+x1，y2y1)=b⊕a，故正確；②∵(ka)⊕b=（kx1+x2，ky1y2），a⊕(kb)=（x1+kx2，y1ky2），∴(ka)⊕b≠a⊕(kb)，故不正確；③設(shè)c=(x3，y3)，∵a⊕(b⊕c)=a⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（a⊕b）⊕c=（x1+x2，y1y2）⊕c=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴a⊕（b⊕c）=（a⊕b）⊕c，故正確；④設(shè)c=(x3，y3)，∵a⊕(b⊕c)=a⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），a⊕b+a⊕c=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴a⊕（b⊕c）≠a⊕b+a⊕c，故不正確．綜上可知：只有①③正確．故為①③．3.在（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展開(kāi)式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）答案：（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展開(kāi)式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是C31+C41+C51+…+C71=25故為：254.如圖表示空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)答案：C5.下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

x23456y2.23.85.56.57.0（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程

y=

bx+

a；

（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？

（參考數(shù)值：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）．答案：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系描出點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖，（2）∵5i=1xi2=4+9+16+25+36=90

且.x=4，.y=5，n=5，∴?b=112.3-5×4×590-5×16=12.310=1.23?a=5-1.23×4=0.08∴回歸直線(xiàn)為y=1.23x+0.08．（3）當(dāng)x=10時(shí)，y=1.23×10+0.08=12.38，所以估計(jì)當(dāng)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元．6.袋中有5個(gè)小球（3白2黑），現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：C7.若橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線(xiàn)x2=2y有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．答案：橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線(xiàn)x2=2y聯(lián)立可得2y=4-4（y-a）2，∴2y2-（4a-1）y+2a2-2=0．∵橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線(xiàn)x2=2y有公共點(diǎn)，∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一個(gè)非負(fù)根．∴△=（4a-1）2-16（a2-1）=-8a+17≥0，∴a≤178．又∵兩根皆負(fù)時(shí)，由韋達(dá)定理可得2a2＞2，4a-1＜0，∴-1＜a＜1且a＜14，即a＜-1．∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一個(gè)非負(fù)根時(shí)，-1≤a≤178故為：-1≤a≤1788.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）過(guò)點(diǎn)(2，π3)且平行于極軸的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_____．答案：法一：先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，(2，π3)化為(1，3)，過(guò)(1，3)且平行于x軸的直線(xiàn)為y=3，再化成極坐標(biāo)表示，即ρsinθ=3．法二：在極坐標(biāo)系中，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程ρsinθ=3．設(shè)A（ρ，θ）是直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，A到極軸的距離AH=2sinπ3=3，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程ρsinθ=3．故為：ρsinθ=39.解不等式|2x-1|＜|x|+1．答案：根據(jù)題意，對(duì)x分3種情況討論：①當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0，又x＜0，則x不存在，此時(shí)，不等式的解集為?．②當(dāng)0≤x＜12時(shí)，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜12，此時(shí)其解集為{x|0＜x＜12}．③當(dāng)x≥12

時(shí)，原不等式可化為2x-1＜x+1，解得12≤x＜2，又由x≥12，此時(shí)其解集為{x|12≤x＜2}，?∪{x|0＜x＜12

}∪{x|12≤x＜2

}={x|0＜x＜2}；綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．10.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=2，過(guò)雙曲線(xiàn)的弦AB被點(diǎn)P（4，2）平分；

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求弦AB所在直線(xiàn)方程；

（3）求直線(xiàn)AB與漸近線(xiàn)所圍成三角形的面積．答案：（1）∵雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸，∴設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1；∵實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=2，∴a=4，c=42，∴b2=c2-a2=16．或∵實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率e=2，∴雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，a=b=4．∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216-x216=1．（2）設(shè)弦AB所在直線(xiàn)方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2）．∴k=y1-y2x1-x2，x1+x22=4，y1+y22=2；∴y1216-x1216=1

y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8，y1+y2=4，得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0，∴y1-y2x1-x2×14-12=0，∴14k-12=0，∴k=2；所以弦AB所在直線(xiàn)方程為y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．（3）等軸雙曲線(xiàn)y216-x216=1的漸近線(xiàn)方程為y=±x．∴直線(xiàn)AB與漸近線(xiàn)所圍成三角形為直角三角形．又漸近線(xiàn)與弦AB所在直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（6，6），（2，-2），∴直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為62、22；∴直線(xiàn)AB與漸近線(xiàn)所圍成三角形的面積S=12×62×22=12．11.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）A．AB．BC．CD．D答案：兩個(gè)復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相同，下部相反，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．所以點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是B．故選B．12.已知m，n為正整數(shù)．

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）m≥1+mx；

（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知(1-1n+3)n＜12，求證(1-mn+3)n＜(12)m，m=1，2…，n；

（Ⅲ）求出滿(mǎn)足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整數(shù)n．答案：解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x=0時(shí)，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，x≠0時(shí)，證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)m=1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，因?yàn)閤2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，則當(dāng)m=k+1時(shí)，∵x＞-1，∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲瑢?duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，由（Ⅰ）得(1-1n+3)m≥1-mn+3＞0，于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m＜(12)m，m=1，2，n．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)n≥6時(shí)，(1-1n+3)n+(1-2n+3)n++(1-nn+3)n＜12+(12)^++(12)n=1-12n＜1，∴(n+2n+3)n+(n+1n+3)n++(3n+3)n＜1．即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿(mǎn)足該等式的正整數(shù)n．故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形：當(dāng)n=1時(shí)，3≠4，等式不成立；當(dāng)n=2時(shí)，32+42=52，等式成立；當(dāng)n=3時(shí)，33+43+53=63，等式成立；當(dāng)n=4時(shí)，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64≠74，等式不成立；當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立．綜上，所求的n只有n=2，3．解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1，且x≠0時(shí)，m≥2，（1+x）m＞1+mx．①（?。┊?dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，因?yàn)閤≠0，所以x2＞0，即左邊＞右邊，不等式①成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k（k≥2）時(shí)，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0．又因?yàn)閤≠0，k≥2，所以kx2＞0．于是在不等式（1+x）k＞1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式①也成立．綜上所述，所證不等式成立．（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，∵(1-1n+3)n＜12，∴[(1-1n+3)m]n＜(12)m，而由（Ⅰ），(1-1n+3)m≥1-mn+3＞0，∴(1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n＜(12)m．（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=1．②又由（Ⅱ）可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0++(1-1n0+3)n0＜(12)n0+(12)n0-1++12=1-12n0＜1，與②式矛盾．故當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿(mǎn)足該等式的正整數(shù)n．下同解法1．13.如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線(xiàn)，點(diǎn)C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B；∵AD是⊙O的切線(xiàn)，∴BA⊥AD，即∠OAD=∠ACB=90°，∴Rt△AOD∽R(shí)t△CBA，∴BCOA=ABOD，即BC1=23，故BC=23．14.有一個(gè)容量為80的樣本，數(shù)據(jù)的最大值是140，最小值是51，組距為10，則可以分為（

）

A．10組

B．9組

C．8組

D．7組答案：B15.定義xn+1yn+1=1011xnyn，n∈N*為向量OPn=(xn，yn)到向量OPn+1=(xn+1，yn+1)的一個(gè)矩陣變換，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．已知OP1=(1，0)，則OP2010的坐標(biāo)為_(kāi)_____．答案：由題意，xn+1=xnyn+1=xn+yn∴向量的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)構(gòu)成以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列∴OP2010的坐標(biāo)為（1，2009）故為（1，2009）16.請(qǐng)寫(xiě)出所給三視圖表示的簡(jiǎn)單組合體由哪些幾何體組成．______．答案：由已知中的三視圖我們可以判斷出該幾何體是由一個(gè)底面面積相等的圓錐和圓柱組合而成故為：圓柱體，圓錐體17.在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD=34AB，AM=AD+35BC，則△AMD與△ABC的面積比為（）A．925B．45C．916D．920答案：AP=AD+DP=AD+35BC，DP=35BC．∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34，∴S△APDS△ABC=35?34=920．故選D．18.已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x=3+12ty=7+32t（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為x=4cosθy=4sinθ（θ為參數(shù)）．

（I）將曲線(xiàn)C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

（II）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，試求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．答案：（I）由x=4cosθy=4sinθ得x2=16cos2θy2=16sin2θ故圓的方程為x2+y2=16．（II）把x=3+12ty=7+32t代入方程x2+y2=16，得t2+83t+36=0∴線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=43．19.由1、2、3可以組成______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)．答案：沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有3×2=6個(gè)故為：620.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，又橢圓E：x2+y2b2=1(0＜b＜1)中a=1∴|AF2|+|AB|+|BF2|=4，∴3|AB|=4，∴|AB|=43故為：4321.已知x、y的取值如下表所示：

x0134y2.24.34.86.7若從散點(diǎn)圖分析，y與x線(xiàn)性相關(guān)，且

y=0.95x+

a，則

a的值等于（）A．2.6B．6.3C．2D．4.5答案：∵.x=0+1+3+44=2，.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（2，4.5）∵y與x線(xiàn)性相關(guān)，且y=0.95x+a，∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6，故選A．22.已知直線(xiàn)3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離是（）

A．

B．

C．

D．答案：B23.下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是（）A．

B．

C．

D．

答案：根據(jù)函數(shù)的概念：如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，這時(shí)稱(chēng)y是x的函數(shù)．結(jié)合選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B中是一個(gè)x對(duì)應(yīng)1或2個(gè)y故選B．24.若點(diǎn)P分向量AB的比為34，則點(diǎn)A分向量BP的比為（）A．-34B．34C．-73D．73答案：由題意可得APPB=|AP||PB|=34，故

A分BP的比為BAAP=-|BA||AP|=-4+33=-73，故選C．25.已知方程（1+k）x2-（1-k）y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，則k的取值范圍為（

）

A．-1＜k＜1

B．k＞1

C．k＜-1

D．k＞1或k＜-1答案：A26.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為（）

A．2.44

B．3.376

C．2.376

D．2.4答案：C27.設(shè)a，b∈R，ab≠0，則直線(xiàn)ax-y+b=0和曲線(xiàn)bx2+ay2=ab的大致圖形是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B28.給出函數(shù)f（x）的一條性質(zhì)：“存在常數(shù)M，使得|f（x）|≤M|x|對(duì)于定義域中的一切實(shí)數(shù)x均成立．”則下列函數(shù)中具有這條性質(zhì)的函數(shù)是（）A．y=1xB．y=x2C．y=x+1D．y=xsinx答案：根據(jù)|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永遠(yuǎn)成立故選D．29.用反證法證明：“方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇數(shù)，則方程沒(méi)有整數(shù)根”正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為（）

A．整數(shù)

B．奇數(shù)或偶數(shù)

C．正整數(shù)或負(fù)整數(shù)

D．自然數(shù)或負(fù)整數(shù)答案：A30.在正方形ABCD中，已知它的邊長(zhǎng)為1，設(shè)=，=，=，則|++|的值為（

）

A．0

B．3

C.2+

D.2答案：D31.兩圓相交于點(diǎn)A（1，3）、B（m，-1），兩圓的圓心均在直線(xiàn)x-y+c=0上，則m+c的值為（

）

A．3

B．2

C．-1

D．0答案：A32.設(shè)k＞1，則關(guān)于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1所表示的曲線(xiàn)是（）

A．長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓

B．長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓

C．實(shí)軸在x軸上的雙曲線(xiàn)

D．實(shí)軸在y軸上的雙曲線(xiàn)答案：D33.閱讀下面的程序框圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為_(kāi)_____．答案：循環(huán)前，S=0，A=1，第1次判斷后循環(huán)，S=1，A=2，第2次判斷并循環(huán)，S=3，A=3，第3次判斷并循環(huán)，S=6，A=4，第4次判斷并循環(huán)，S=10，A=5，第5次判斷并循環(huán)，S=15，A=6，第6次判斷并退出循環(huán)，輸出S=15．故為：15．34.（1+2x）6的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是______．答案：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=2rC6rxr令r=4得展開(kāi)式中x4的系數(shù)是24C64=240故為：24035.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，π6）到直線(xiàn)ρsinθ=2的距離等于______．答案：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2

，

π6)化為直角坐標(biāo)為（3，1），直線(xiàn)ρsinθ=2化為直角坐標(biāo)方程為y=2，（3，1），到y(tǒng)=2的距離1，即為點(diǎn)(2

，

π6)到直線(xiàn)ρsinθ=2的距離1，故為：1．36.根據(jù)下列條件，求圓的方程：

（1）過(guò)點(diǎn)A（1，1），B（-1，3）且面積最??；

（2）圓心在直線(xiàn)2x-y-7=0上且與y軸交于點(diǎn)A（0，-4），B（0，-2）．答案：（1）過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓就是以線(xiàn)段AB為直徑的圓，∴圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2，∴所求圓的方程為x2+（y-2）2=2；（2）由圓與y軸交于點(diǎn)A（0，-4），B（0，-2）可知，圓心在直線(xiàn)y=-3上，由2x-y-7=0y=-3，解得x=2y=-3，∴圓心坐標(biāo)為（2，-3），半徑r=5，∴所求圓的方程為（x-2）2+（y+3）2=5．37.六個(gè)不同大小的數(shù)按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行這個(gè)數(shù)為M1，M2，M3分別表示第二、三行中最大數(shù)，則滿(mǎn)足M1＜M2＜M3所有排列的個(gè)數(shù)______．答案：首先M3一定是6個(gè)數(shù)中最大的，設(shè)這六個(gè)數(shù)分別為a，b，c，d，e，f，不妨設(shè)a＞b＞c＞d＞e＞f．因?yàn)槿绻鸻在第三行，則a一定是M3，若a不在第三行，則a一定是M1或M2，此時(shí)無(wú)法滿(mǎn)足M1＜M2＜M3，故a一定在第三行．故

M2一定是b，c，d中一個(gè)，否則，若M2是e，則第二行另一個(gè)數(shù)只能是f，那么第一行的數(shù)就比e大，無(wú)法滿(mǎn)足M1＜M2＜M3．當(dāng)M2是b時(shí)，此時(shí)，a在第三行，b在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有C31

C21

A44=144（種），當(dāng)M2是c時(shí)，此時(shí)a和b必須在第三行，c在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有A32

C21

A33=72（種），當(dāng)M2是d時(shí)，此時(shí)，a，b，c在第三行，d在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有A33

C21

A22=24（種），故滿(mǎn)足M1＜M2＜M3所有排列的個(gè)數(shù)為：24+72+144=240種，故為：240．38.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.6，則ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：C39.“a=18”是“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1的”（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：當(dāng)“a=18”時(shí)，由基本不等式可得：“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1”一定成立，即“a=18”?“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1”為真命題；而“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1的”時(shí)，可得“a≥18”即“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1”?“a=18”為假命題；故“a=18”是“對(duì)任意的正數(shù)x，2x+ax≥1的”充分不必要條件故選A40.在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N+），

（1）求a1，a2，a3并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明上述猜想．答案：（1）a1=1．a(chǎn)2=2a12+a1=22+1=23．a(chǎn)3=2a22+a2=2×232+23=12（2）猜想an=2n+1．證明：當(dāng)n=1時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，即ak=2k+1則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1．41.若關(guān)于x的一元二次實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0有一個(gè)根為1+i（i是虛數(shù)單位），則p+q的值是（）

A．-1

B．0

C．2

D．-2答案：B42.如果一個(gè)圓錐的正視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積是______．答案：由已知，圓錐的底面直徑為2，母線(xiàn)為2，則這個(gè)圓錐的表面積是12×2π×2+π?12=3π．故：3π．43.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）

A．(，，)

B．(，，)

C．(，，)

D．(，，)答案：C44.已知f（n）=1+12+13+L+1n（n∈N*），用數(shù)學(xué)歸納法證明f（2n）＞n2時(shí)，f（2k+1）-f（2k）等于______．答案：因?yàn)榧僭O(shè)n=k時(shí)，f（2k）=1+12+13+…+12k，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（2k+1）=1+12+13+…+12k+12k+1+…+12k+1∴f（2k+1）-f（2k）=12k+1+12k+2+…+12k+1故為：12k+1+12k+2+…+12k+145.在空間中，有如下命題：

①互相平行的兩條直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線(xiàn)；

②若平面α∥平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線(xiàn)m∥平面β；

③若平面α與平面β的交線(xiàn)為m，平面α內(nèi)的直線(xiàn)n⊥直線(xiàn)m，則直線(xiàn)n⊥平面β．

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）個(gè)．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：B46.下列說(shuō)法中正確的是（）

A．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓

D．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑答案：C47.已知O、A、M、B為平面上四點(diǎn)，且，則（）

A．點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上

B．點(diǎn)B在線(xiàn)段AM上

C．點(diǎn)A在線(xiàn)段BM上

D．O、A、M、B四點(diǎn)一定共線(xiàn)答案：B48.有3名同學(xué)要爭(zhēng)奪2個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍，冠軍獲得者共有______種可能．答案：第一個(gè)項(xiàng)目的冠軍有3種情況，第二個(gè)項(xiàng)目的冠軍也有3種情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，冠軍獲得者共有3×3=9種可能，故為9．49.在極坐標(biāo)系中，若等邊三角形ABC（頂點(diǎn)A，B，C按順時(shí)針?lè)较蚺帕校┑捻旤c(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為（2，π6），（2，7π6），則頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)為_(kāi)_____．答案：如圖所示：由于A，B的極坐標(biāo)（2，π6），（2，7π6），故極點(diǎn)O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．故等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，AB邊上的高（即點(diǎn)C到AB的距離）OC等于23．設(shè)點(diǎn)C的極坐標(biāo)為（23，π6+π2），即（23，2π3），故為（23，2π3）．50.已知矩陣A=abcd，若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=11，屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為α2=1-1，則矩陣A=______．答案：由矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=11可得abcd11=311，即a+b=3c+d=3；（4分）由矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為α2=1-1，可得abcd1-1=（-1）1-1，即a-b=-1c-d=1，（6分）解得a=1b=2c=2d=1，即矩陣A=1221．（10分）故為：1221．第2卷一.綜合題(共50題)1.如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于E，切線(xiàn)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，若AB=10，CD=8，則切線(xiàn)BF的長(zhǎng)是

______．答案：連接OD，AB⊥CD于E，根據(jù)垂徑定理得到DE=4，在直角△ODE中，根據(jù)勾股定理得到OE=3，因而AE=8，易證△ABF∽△AED，得到DEBF=AEAB=810，解得BF=5．2.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段稱(chēng)為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN最長(zhǎng)時(shí).PM?PN的最大值為_(kāi)_____．答案：設(shè)點(diǎn)O是此正方體的內(nèi)切球的球心，半徑R=1．∵PM?PN≤|PM|

|PN|，∴當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PM?PN取得最大值．此時(shí)PM?PN≤(PO-MO)?(PO+ON)，而MO=ON，∴PM?PN≤PO2-R2=PO2-1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)上式取得最大值，∴(PM?PN)max=(232)2-1=2．故為2．3.拋物線(xiàn)x2+y=0的焦點(diǎn)位于（）

A．y軸的負(fù)半軸上

B．y軸的正半軸上

C．x軸的負(fù)半軸上

D．x軸的正半軸上答案：A4.已知O是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，在以O(shè)，A，B，C，D這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，

（1）與BC相等的向量有

______；

（2）與OB長(zhǎng)度相等的向量有

______；

（3）與DA共線(xiàn)的向量有

______．答案：如圖：（1）與BC相等的向量有AD．（2）與OB長(zhǎng)度相等的向量有OA、OC、OD、AO、CO、DO．（3）與DA共線(xiàn)的向量有

CB、BC．5.“△ABC中，若∠C=90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為（）

A．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不是銳角

B．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角

C．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不一定是銳角

D．以上都不對(duì)答案：B6.為了讓學(xué)生更多地了解“數(shù)學(xué)史”知識(shí)，某中學(xué)高二年級(jí)舉辦了一次“追尋先哲的足跡，傾聽(tīng)數(shù)學(xué)的聲音”的數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有800名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽．為了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．請(qǐng)你根據(jù)下面的頻率分布表，解答下列問(wèn)題：

序號(hào)

（i）分組

（分?jǐn)?shù)）本組中間值

（Gi）頻數(shù)

（人數(shù)）頻率

（Fi）1（60，70）65①0.122[70，80）7520②3[80，90）85③0.244[90，100]95④⑤合

計(jì)501（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)空格序號(hào)的答案）；

（2）為鼓勵(lì)更多的學(xué)生了解“數(shù)學(xué)史”知識(shí)，成績(jī)不低于85分的同學(xué)能獲獎(jiǎng)，請(qǐng)估計(jì)在參賽的800名學(xué)生中大概有多少同學(xué)獲獎(jiǎng)？

（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布表估計(jì)該校高二年級(jí)參賽的800名同學(xué)的平均成績(jī)．答案：（1）①為6，②為0.4，③為12，④為12⑤為0.24．（5分）（2）（12×0.24+0.24）×800=288，即在參加的800名學(xué)生中大概有288名同學(xué)獲獎(jiǎng)．（9分）（3）65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81（4）估計(jì)平均成績(jī)?yōu)?1分．（12分）7.下列命題：

①用相關(guān)系數(shù)r來(lái)刻畫(huà)回歸的效果時(shí)，r的值越大，說(shuō)明模型擬合的效果越好；

②對(duì)分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量的K2觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，K2越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大；

③兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；

其中正確命題的序號(hào)是

______．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）答案：①是由于r可能是負(fù)值，要改為|r|的值越大，說(shuō)明模型擬合的效果越好，故①錯(cuò)誤，②對(duì)分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量的K2觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，K2越大，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大；故②正確③兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；故③正確，故為：③8.設(shè)某批產(chǎn)品合格率為，不合格率為，現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第ε次首次取到正品，則P（ε=3）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C9.如圖為某公司的組織結(jié)構(gòu)圖，則后勤部的直接領(lǐng)導(dǎo)是______．

答案：有已知中某公司的組織結(jié)構(gòu)圖，可得專(zhuān)家辦公室直接領(lǐng)導(dǎo)：財(cái)務(wù)部，后勤部和編輯部三個(gè)部門(mén)，故后勤部的直接領(lǐng)導(dǎo)是專(zhuān)家辦公室．故為：專(zhuān)家辦公室．10.5本不同的書(shū)全部分給3個(gè)學(xué)生，每人至少一本，共有（）種分法．

A．60

B．150

C．300

D．210答案：B11.（2的c的?湛江一模）已知⊙O的方程為x2+y2=c，則⊙O上的點(diǎn)到直線(xiàn)x=2+45ty=c-35t（t為參數(shù)）的距離的最大值為_(kāi)_____．答案：∵直線(xiàn)x=2+45t一=1-35t（t為參數(shù)）∴3x+4一=10，∵⊙e的方程為x2+一2=1，圓心為（0，0），設(shè)直線(xiàn)3x+4一=k與圓相切，∴|k|5=1，∴k=±5，∴直線(xiàn)3x+4一=k與3x+4一=10，之間的距離就是⊙e上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值，∴d=|10±5|5，∴d的最大值是155=3，故為：3．12.選修4-4參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（θ∈R）的圓心為P（x0，y0），求2x0-y0的取值范圍．答案：將圓的方程整理得：（x-4cosθ）2+（y-3sinθ）2=1由題設(shè)得x0=4cosθy0=3sinθ（θ為參數(shù)，θ∈R）．所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ)，所以

-73≤2x0-y0≤73．13.已知a=20.5，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

A．a(chǎn)＞c＞b

B．a(chǎn)＞b＞c

C．c＞b＞a

D．c＞a＞b答案：B14.如圖，已知△ABC，過(guò)頂點(diǎn)A的圓與邊BC切于BC的中點(diǎn)P，與邊AB、AC分別交于點(diǎn)M、N，且CN=2BM，點(diǎn)N平分AC．則AM:BM=（）

A．2

B．4

C．6

D．7

答案：D15.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，AB=a，BC=b，AC=c，則|a+b+c|=（）A．0B．2C．2D．4答案：由題意可得：AB+BC=AC，所以c=a+b，所以|a+b+c|=2|c|．因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以|AC|=|c|=2，所以|a+b+c|=2|c|=4．故選D．16.若90°＜θ＜180°，曲線(xiàn)x2+y2sinθ=1表示（）

A．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)

B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)

C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓答案：D17.要使直線(xiàn)y=kx+1（k∈R）與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x27+y2a=1總有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．答案：要使方程x27+y2a=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，需a＜7，由直線(xiàn)y=kx+1（k∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），所以要使直線(xiàn)y=kx+1（k∈R）與橢圓x27+y2a=1總有公共點(diǎn)，則（0，1）應(yīng)在橢圓上或其內(nèi)部，即a＞1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，7）．故為[1，7）．18.設(shè)是的相反向量，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是（）

A．∥

B．與的長(zhǎng)度相等

C．是的相反向量

D．與一定不相等答案：D19.拋擲兩個(gè)骰子，若至少有一個(gè)1點(diǎn)或一個(gè)6點(diǎn)出現(xiàn)，就說(shuō)這次試驗(yàn)失?。敲?，在3次試驗(yàn)中成功2次的概率為（）

A．

B．

C．

D．答案：D20.已知a=（5，4），b=（3，2），則與2a-3b同向的單位向量為

______．答案：∵a=（5，4），b=（3，2），∴2a-3b=（1，2）設(shè)與2a-3b平行的單位向量為e=（x，y），則2a-3b=λe，|e|=1∴（1，2）=（λx，λy）；x2+y2=1∴1=λx2=λyx2+y2=1解之x=55y=255或x=-55y=-255故為e=±(55，255)21.已知α、β均為銳角，若p：sinα＜sin（α+β），q：α+β＜π2，則p是q的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：當(dāng)sinα＜sin（α+β）時(shí)，α+β＜π2不一定成立故sinα＜sin（α+β）?α+β＜π2，為假命題；而若α+β＜π2，則由正弦函數(shù)在（0，π2）單調(diào)遞增，易得sinα＜sin（α+β）成立即α+β＜π2?sinα＜sin（α+β）為真命題故p是q的必要而不充分條件故選B．22.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B23.a、b、c∈R，則下列命題為真命題的是______．

①若a＞b，則ac2＞bc2

②若ac2＞bc2，則a＞b

③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2

④若a＜b＜0，則1a＜1b．答案：當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2，故①不成立；若ac2＞bc2，則c2≠0，即c2＞0，則a＞b，故②成立；若a＜b＜0，則a2＞ab且ab＞b2，故a2＞ab＞b2，故③成立；若a＜b＜0，則ab＞0，故aab＜bab，即1a＞1b，故④不成立故②③為真命題故為：②③24.不等式|x-2|+|x+1|＜5的解集為（）

A．（-∞，-2）∪（3，+∞）

B．（-∞，-1）∪（2，+∞）

C．（-2，3）

D．（-∞，+∞）答案：C25.已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一點(diǎn)，若λOG=OA+OB+OC，則λ=______．答案：如圖，正方體中，OA+OB+OC=OD=3OG，∴λ=3．故為3．26.根據(jù)一組數(shù)據(jù)判斷是否線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，應(yīng)選用（

）

A．散點(diǎn)圖

B．莖葉圖

C．頻率分布直方圖

D．頻率分布折線(xiàn)圖答案：A27.α為第一象限角是sinαcosα＞0的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：若α為第一象限角，則sinα＞0，cosα＞0，所以sinαcosα＞0，成立．若sinαcosα＞0，則①sinα＞0，cosα＞0，此時(shí)α為第一象限角．或②sinα＜0，cosα＜0，此時(shí)α為第三象限角．所以α為第一象限角是sinαcosα＞0的充分不必要條件．故選A．28.命題“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）

A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0

B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0

C．對(duì)任意x∈Z使x2+2x+m≤0

D．對(duì)任意x∈Z使x2+2x+m＞0答案：D29.設(shè)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的方程為x-3y+2=0，則曲線(xiàn)C上到直線(xiàn)l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：B30.已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓x2+3y2=4上，對(duì)角線(xiàn)BD所在直線(xiàn)的斜率為1．

（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)BD過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，求直線(xiàn)AC的方程；

（Ⅱ）當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．答案：（Ⅰ）由題意得直線(xiàn)BD的方程為y=x+1．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD．于是可設(shè)直線(xiàn)AC的方程為y=-x+n．由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0．因?yàn)锳，C在橢圓上，所以△=-12n2+64＞0，解得-433＜n＜433．設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1+x2=3n2，x1x2=3n2-44，y1=-x1+n，y2=-x2+n．所以y1+y2=n2．所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3n4，n4)．由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)(3n4，n4)在直線(xiàn)y=x+1上，所以n4=3n4+1，解得n=-2．所以直線(xiàn)AC的方程為y=-x-2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面積S=32|AC|2．由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，所以S=34(-3n2+16)(-433＜n＜433)．所以當(dāng)n=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值43．31.若某簡(jiǎn)單組合體的三視圖（單位：cm）如圖所示，說(shuō)出它的幾何結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的表面積。答案：解：該幾何體由球和圓臺(tái)組成。球的半徑為1，圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1、4，高為4，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，S球=4πcm2，S臺(tái)=π（12+42+1×5+4×5）=42πcm2，故S表=S球+S臺(tái)=46πcm2。32.空間中，若向量=（5，9，m），=（1，-1，2），=（2，5，1）共面，則m=（）

A．2

B．3

C．4

D．5答案：C33.大家知道，在數(shù)列{an}中，若an=n，則sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若an=n2，則

sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n，于是，猜想：若an=n3，則sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn．

問(wèn)：（1）這種猜想，你認(rèn)為正確嗎？

（2）不管猜想是否正確，這個(gè)結(jié)論是通過(guò)什么推理方法得到的？

（3）如果結(jié)論正確，請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．答案：（1）猜想正確；（2）這是一種類(lèi)比推理的方法；（3）由類(lèi)比可猜想，a=14，n=1時(shí)，a+b+c+d=1；n=2時(shí)，16a+8b+4c+d=9；n=3時(shí)，81a+27b+9c+d=36故解得a=14，b=12，c=14，∴sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，結(jié)論成立；②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即13+23+33+…+k3=14k4+12k3+14k2=[k(k+1)2]2則n=k+1時(shí)，左邊=13+23+33+…+k3+（k+1）3=14k4+12k3+14k2+（k+1）3=[k(k+1)2]2+(k+1)3=(k+12)2(k2+4k+4)=[(k+1)(k+2)2]2=右邊，結(jié)論成立由①②可知，sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2，成立34.用“斜二測(cè)畫(huà)法”作正三角形ABC的水平放置的直觀圖△A′B′C′，則△A′B′C′與△ABC的面積之比為_(kāi)_____．答案：設(shè)正三角形的標(biāo)出為：1，正三角形的高為：32，所以正三角形的面積為：34；按照“斜二測(cè)畫(huà)法”畫(huà)法，△A′B′C′的面積是：12×1×34×sin45°=616；所以△A′B′C′與△ABC的面積之比為：61634=24，故為：2435.設(shè)點(diǎn)P（t2+2t，1）（t＞0），則|OP|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值是（）A．3B．5C．3D．5答案：解析：由已知得|OP|=(t2+2t)

2+1≥(2t2×2t)2+1=5，當(dāng)t=2時(shí)取得等號(hào)．故選D．36.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=______時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_(kāi)_____．答案：由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的方差公式可以得到Dξ=npq≤n（p+q2）2=n4，等號(hào)在p=q=12時(shí)成立，∴Dξ=100×12×12=25，σξ=25=5．故為：12；537.已知=（1，2），=（-3，2），k+與-3垂直時(shí)，k的值為（

）

A．17

B．18

C．19

D．20答案：C38.曲線(xiàn)x=sin2ty=sint（t為參數(shù)）的普通方程為_(kāi)_____．答案：因?yàn)榍€(xiàn)x=sin2ty=sint（t為參數(shù)）∴sint=y，代入x=sin2t，可得x=y2，其中-1≤y≤1．故為：x=y2，（-1≤y≤1）．39.（理）

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，OP=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA?QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_____．答案：∵OP=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，設(shè)OQ=λOP=（λ，λ，2λ）又∵向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，∴QA=（1-λ，2-λ，3-2λ），QB=（2-λ，1-λ，2-2λ）則QA?QB=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ2-16λ+10易得當(dāng)λ=43時(shí)，QA?QB取得最小值．此時(shí)Q的坐標(biāo)為（43，43，83）故為：（43，43，83）40.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），方程x225+y29=1的曲線(xiàn)為C，關(guān)于曲線(xiàn)C有下列命題：

①曲線(xiàn)C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分；

②曲線(xiàn)C關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)；

③若P是上任意一點(diǎn)，則PF1+PF2≤10；

④若P是上任意一點(diǎn)，則PF1+PF2≥10；

⑤曲線(xiàn)C圍成圖形的面積為30．

其中真命題的序號(hào)是______．答案：∵x225+y29=1即為|x|5+|y|3=1表示四條線(xiàn)段，如圖故①④錯(cuò)，②③對(duì)對(duì)于⑤，圖形的面積為3×52×4=30，故⑤對(duì)．故為②③⑤41.用黃金分割法尋找最佳點(diǎn)，試驗(yàn)區(qū)間為[1000，2000]，若第一個(gè)二個(gè)試點(diǎn)為好點(diǎn)，則第三個(gè)試點(diǎn)應(yīng)選在（

）。答案：123642.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)（大前提），而y=（）x是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以y=（）x是增函數(shù)（結(jié)論）”，上面推理的錯(cuò)誤是（）

A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

D．大前提和小前提錯(cuò)都導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)答案：A43.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，定義運(yùn)算x*y為：x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c為常數(shù)，等式右端運(yùn)算為通常的實(shí)數(shù)加法和乘法，現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有x*m=x，則d的值為（

）

A.4

B.1

C.0

D.不確定答案：A44.（選做題）參數(shù)方程中當(dāng)t為參數(shù)時(shí)，化為普通方程為（

）。答案：x2-y2=145.已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=，則此橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．答案：D46.如圖，O是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在圖中所示的向量中：

（1）與AO相等的向量有

______；

（2）寫(xiě)出與AO共線(xiàn)的向量有

______；

（3）寫(xiě)出與AO的模相等的向量有

______；

（4）向量AO與CO是否相等？答

______．答案：（1）與AO相等的向量有BF（2）與AO共線(xiàn)的向量有DE，CO，BF（3）與AO的模相等的向量有DE，

DO，AE，CO，CF，BF，BO（4）模相等，方向相反故AO與CO不相等47.六個(gè)不同大小的數(shù)按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行這個(gè)數(shù)為M1，M2，M3分別表示第二、三行中最大數(shù)，則滿(mǎn)足M1＜M2＜M3所有排列的個(gè)數(shù)______．答案：首先M3一定是6個(gè)數(shù)中最大的，設(shè)這六個(gè)數(shù)分別為a，b，c，d，e，f，不妨設(shè)a＞b＞c＞d＞e＞f．因?yàn)槿绻鸻在第三行，則a一定是M3，若a不在第三行，則a一定是M1或M2，此時(shí)無(wú)法滿(mǎn)足M1＜M2＜M3，故a一定在第三行．故

M2一定是b，c，d中一個(gè)，否則，若M2是e，則第二行另一個(gè)數(shù)只能是f，那么第一行的數(shù)就比e大，無(wú)法滿(mǎn)足M1＜M2＜M3．當(dāng)M2是b時(shí)，此時(shí)，a在第三行，b在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有C31

C21

A44=144（種），當(dāng)M2是c時(shí)，此時(shí)a和b必須在第三行，c在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有A32

C21

A33=72（種），當(dāng)M2是d時(shí)，此時(shí)，a，b，c在第三行，d在第二行，其它數(shù)任意排，所有的排法有A33

C21

A22=24（種），故滿(mǎn)足M1＜M2＜M3所有排列的個(gè)數(shù)為：24+72+144=240種，故為：240．48.如右圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，求不同著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）．答案：本題是一個(gè)分類(lèi)和分步綜合的題目，根據(jù)題意可分類(lèi)求第一類(lèi)用三種顏色著色，由乘法原理C14C41

C12=24種方法；第二類(lèi)，用四種顏色著色，由乘法原理有2C14C41

C12

C11=48種方法．從而再由加法原理得24+48=72種方法．即共有72種不同的著色方法．49.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為_(kāi)_____．答案：∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)，橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0，∴在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為{（x，y）|x＜0且y＞0}，故為：{（x，y）|x＜0且y＞0}．50.證明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）答案：證法一：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，即1+12+13+…+1k＜2k，則1+12+13+…+1k+1＜2k+1k+1=2k(k+1)+1k+1＜k+(k+1)+1k+1=2k+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．綜合（1）、（2）得：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+12+13+…+1n＜2n．證法二：設(shè)f（n）=2n-(1+12+13+…+1n)，那么對(duì)任意k∈N*

都有：f(k+1)-f(k)=2(k+1-k)-1k+1=1k+1[2(k+1)-2k(k+1)-1]=1k+1?[(k+1)-2k(k+1)+k]=(k+1-k)2k+1＞0∴f（k+1）＞f（k）因此，對(duì)任意n∈N*

都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，∴1+12+13+…+1n＜2n．第3卷一.綜合題(共50題)1.將y=sin2x的圖象向右按作最小的平移，使平移后的圖象在[k，k+](kz)上遞減，試求平移后的函數(shù)解析式和.答案：y=-cos2x，

=（，0）解析：將y=sin2x的圖象向右按作最小的平移，使平移后的圖象在[k，k+](kz)上遞減，試求平移后的函數(shù)解析式和.2.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x＜4)2x(x≥4)，則f（log23）=______．答案：因?yàn)?＜log23＜2，所以4＜log23+3＜5，所以f（log23）=f（log23+3）=f（log224）=2log224=24．故為：24．3.電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P（1≤X≤2013）等于（）

A．1-()2012

B．1-()2013

C．1-()2012

D．1-()2013答案：B4.圓心為（-2，3），且與y軸相切的圓的方程是（）A．x2+y2+4x-6y+9=0B．x2+y2+4x-6y+4=0C．x2+y2-4x+6y+9=0D．x2+y2-4x+6y+4=0答案：根據(jù)圓心坐標(biāo)（-2，3）到y(tǒng)軸的距離d=|-2|=2，則所求圓的半徑r=d=2，所以圓的方程為：（x+2）2+（y-3）2=4，化為一般式方程得：x2+y2+4x-6y+9=0．故選A5.△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么△ABC的斜二測(cè)平面直觀圖△A′B′C′的面積為（

）

A．

B．

C.

D．答案：D6.某校有學(xué)生1

200人，為了調(diào)查某種情況打算抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本，問(wèn)此樣本若采用簡(jiǎn)單隨便機(jī)抽樣將如何獲得？答案：本題可以采用抽簽法來(lái)抽取樣本，首先把該校學(xué)生都編上號(hào)0001，0002，0003…用抽簽法做1200個(gè)形狀、大小相同的號(hào)簽，然后將這些號(hào)簽放到同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)，每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取50次，就得到一個(gè)容量為50的樣本．7.將參數(shù)方程x=1+2cosθy=2sinθ（θ為參數(shù)）化成普通方程為

______．答案：由題意得，x=1+2cosθy=2sinθ?x-1=2cosθy=2sinθ，將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相加，即可消去含θ的項(xiàng)，所以有（x-1）2+y2=4．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是______．答案：由三視圖可知該幾何體為是一平放的直三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，棱柱的側(cè)棱為3，也為高．V=Sh=34×22

×3=33故為：33．9.命題“每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)”的否定是______．答案：原命題“每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是一個(gè)全稱(chēng)命題它的否定是一個(gè)特稱(chēng)命題，即“有的素?cái)?shù)不是奇數(shù)”故為：有的素?cái)?shù)不是奇數(shù)10.對(duì)某種電子元件進(jìn)行壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本頻率分布直方圖如圖，由圖可知：一批電子元件中，壽命在100～300小時(shí)的電子元件的數(shù)量與壽命在300～600小時(shí)的電子元件的數(shù)量的比大約是（）A．12B．13C．14D．16答案：由于已知的頻率分布直方圖中組距為100，壽命在100～300小時(shí)的電子元件對(duì)應(yīng)的矩形的高分別為：12000，32000則壽命在100～300小時(shí)的電子元件的頻率為：100?（12000+32000）=0.2壽命在300～600小時(shí)的電子元件對(duì)應(yīng)的矩形的高分別為：1400，1250，32000則壽命在300～600小時(shí)子元件的頻率為：100?（1400+1250+32000）=0.8則壽命在100～300小時(shí)的電子元件的數(shù)量與壽命在300～600小時(shí)的電子元件的數(shù)量的比大約是0.2：0.8=14故選C11.若a、b是直線(xiàn)，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，m=(0，3，4)，n=(3，4，0)，則α、β所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為_(kāi)_____．答案：由題意，∵m=(0，3，4)，n=(3，4，0)，∵cos＜m，n＞=m?n|m||n|=125?5=1225∵a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，∴α、β所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為1225故為122512.已知函數(shù)f（x）=ax，（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(12，12)，則常數(shù)a的值為（）A．2B．4C．12D．14答案：∵函數(shù)f（x）=ax，（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(12，12)，∴a12=12，?a=14．故選D．13.從甲乙丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（）A．12B．13C．23D．1答案：從3個(gè)人中選出2個(gè)人當(dāng)代表，則所有的選法共有3種，即：甲乙、甲丙、乙丙，其中含有甲的選法有兩種，故甲被選中的概率是23，故選C．14.某廠2011年的產(chǎn)值為a萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以7%的速度增加，則該廠到2022年的產(chǎn)值為_(kāi)_____萬(wàn)元．答案：2011年產(chǎn)值為a，增長(zhǎng)率為7%，2012年產(chǎn)值為a+a×7%=a（1+7%），2013年產(chǎn)值為a（1+7%）+a（1+7%）×7%=a（1+7%）2，…，2022年的產(chǎn)值為a（1+7%）11．故為：a（1+7%）11．15.已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{1，4}答案：B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}，故選C16.若a>0，b>0，則不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：試題分析：17.解下列關(guān)于x的不等式

（1）

（2）答案：（1）（2）原不等式的解集為解析：（1）

解：（2）

解：分析該題要設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，可由去分類(lèi)討論當(dāng)時(shí)原不等式等價(jià)于

故得不等式的解集為所以原不等式的解集為18.|a|=2，|b|=3，|a+b|=4，則a與b的夾角是______．答案：∵|a+b|=4，∴a2+2a?b+b2=16∴a?b=32∴cos＜a，b＞=a?b|.a|×|.b|=322×3=14∵＜a，b＞∈[0°，180°]∴.a與.b的夾角為arccos14故為arccos1419.用0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．答案：末尾是0時(shí)，有A55=120種；末尾不是0時(shí)，有2種選擇，首位有4種選擇，中間有A44，故有2×4×A44=192種故共有120+192=312種．故為：31220.如果方程x2+（m-1）x+m2-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A．

B．（-2，0）

C．（-2，1）

D．（0，1）答案：C21.已知拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=λFB(λ＞0)．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為M．

（I）證明FM.AB為定值；

（II）設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值．答案：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1，顯然AB斜率存在且過(guò)F（0，1）設(shè)其直線(xiàn)方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，判別式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=-4于是曲線(xiàn)4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y'=x2，則易得切線(xiàn)AM，BM方程分別為y=（12）x1（x-x1）+y1，y=（12）x2（x-x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo)，xo=x1+x22=2k，yo=x1x24=-1，即M（x1+x22，-1）從而，F(xiàn)M=（x1+x22，-2），AB（x2-x1，y2-y1）FM?AB=12（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=12（x22-x12）-2[14（x22-x12）]=0，（定值）命題得證．這就說(shuō)明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=12|AB||FM|．|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ．因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+1λ+2=（λ+1λ）2．于是S=12|AB||FM|=12（λ+1λ）3，由λ+1λ≥2知S≥4，且當(dāng)λ=1時(shí)，S取得最小值4．22.已知四邊形ABCD中，AB=12DC，且|AD|=|BC|，則四邊形ABCD的形狀是______．答案：∵AB=12DC，∴AB∥DC，且|AB|=12|DC|，即線(xiàn)段AB平行于線(xiàn)段CD，且線(xiàn)段AB長(zhǎng)度是線(xiàn)段CD長(zhǎng)度的一半∴四邊形ABCD為以AB為上底、CD為下底的梯形，又∵|AD|=|BC|，∴梯形ABCD的兩腰相等，因此四邊形ABCD是等腰梯形．故為：等腰梯形23.已知|log12x+4i|≥5，則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是______．答案：由題意，得(log12x)2+42≥5?|log12x|≥3?0＜x≤18或x≥8．∴則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是0＜x≤18或x≥8．故為：0＜x≤18或x≥8．24.已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|等于______．答案：解；∵a，b均為單位向量，∴|a|=1，|b|=1又∵兩向量的夾角為60°，∴a?b=|a||b|cos60°=12∴|a+3b|=|a|2+(3b)2+6a?b=1+9+3=13故為1325.關(guān)于生活中的圓錐曲線(xiàn)，有下面幾個(gè)結(jié)論：

（1）標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的內(nèi)道是一個(gè)橢圓；

（2）接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號(hào)的天線(xiàn)設(shè)備，其軸截面與天線(xiàn)設(shè)備的交線(xiàn)是拋物線(xiàn)；

（3）大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔，其軸截面與通風(fēng)塔的交線(xiàn)是雙曲線(xiàn)；

（4）地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓．

其中正確命題的序號(hào)是______（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）．答案：（1）標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的內(nèi)道是有直道和彎道部分是半圓組成，不是橢圓．故錯(cuò)誤（2）接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號(hào)的天線(xiàn)設(shè)備，其軸截面與天線(xiàn)設(shè)備的交線(xiàn)是拋物線(xiàn)．故正確．（3）大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔，其軸截面與通風(fēng)塔的交線(xiàn)是雙曲線(xiàn)．故正確．（4）地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓．故正確．故為：（2）（3）（4）26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是橢圓x23+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S=x+y的最大值．答案：因橢圓x23+y2=1的參數(shù)方程為x=3cos?y=sin?（?為參數(shù)）故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3cos?，sin?)，其中0≤?＜2π．因此S=x+y=3cos?+sin?=2(32cos?+12sin?)=2sin(?+π3)所以，當(dāng)?=π6時(shí)，S取最大值2．27.從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了三組事件：

①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球；

②至少有1個(gè)黃球與都是黃球；

③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球．

其中互斥而不對(duì)立的事件共有（）組．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：A28.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離比M到定直線(xiàn)x=-2的距離小1．

（1）求證：M點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)，并求出其方程；

（2）大家知道，過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過(guò)圓心（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問(wèn)題：

1過(guò)（1）中的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O任意作互相垂直的弦OA、OB，問(wèn)：弦AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由；2研究：對(duì)于拋物線(xiàn)上某一定點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），過(guò)P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？答案：（1）證明：由題意可知：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離等于M到定直線(xiàn)x=-1的距離根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，M的軌跡是拋物線(xiàn)所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為：y2=4x（2）（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=kx+b，（b≠0）由y=kx+by2=4x消去y得：k2x2+（2bk-4）kx+b2=0，x1x2=b2k2．∵OA⊥OB，∴OA?OB=0，∴x1x2+y1y2=0，y1y2=4bk所以x1x2+（x1x2）2=0，b≠0，∴b=-2k，∴直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)M（1，0），（ii）設(shè)p（x0，y0）設(shè)AB的方程為y=mx+n，代入y2=2x得y2-2my=-2n=0∴y1+y2=2m，y1y2-2n其中y1，y2分別是A，B的縱坐標(biāo)∵AP⊥PB∴kmax?kmin=-1即y1-y0x1-x0?y2-y0x2-x0=1∴（y1+y0）（y2+y0）=-4?y1y2+（y1+y2）y0+y02-4=0（-2n）+2my0+2x0+4=0，=my0+x0+2直線(xiàn)PQ的方程為x=my+my0+x0+2，即x=m（y+y0）+x0+2，它一定過(guò)點(diǎn)（x0+2，-y0）29.已知a=(2，-1，1)，b=(-1，4，-2)，c=(λ，5，1)，若向量a，b，c共面，則λ=______．答案：∵a、b、c三向量共面，∴c=xa+yb，x，y∈R，∴（λ，5，1）=（2x，-x，x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，x-2y），∴2x-y=λ，-x+4y=5，x-2y=1，解得x=7，y=3，λ=11；故為；

11．30.已知離心率為63的橢圓C：x2a

2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若OM?ON=463tan∠MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的方程．答案：（1）依題意，離心率為63的橢圓C：x2a

2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)．∴3a

2+1b2=1，且e2=c2a2=a2-b2a2=23解得：a2=6，b2=2故橢圓方程為x26+y22=1…（4分）（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F1（-2，0），則直線(xiàn)l的方程可設(shè)為y=k（x+2）代入橢圓方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-12k23k2+1，x1?x2=12k2-63k2+1…（6分）由OM?ON=463tan∠MON得：|OM|?|ON|sin∠