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§6.2常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系《組合數(shù)學(xué)引論》
-Chapter6一、定義定義1(f(n)}為一數(shù)列,C1,C2,…,Ck為k個(gè)常數(shù),且Ck≠0,則稱(chēng)遞推關(guān)系:為k階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系.若數(shù)列{bn}滿足遞推關(guān)系,即則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列{bn}為遞推關(guān)系的解.若{bn}還滿足初始條件,則稱(chēng){bn}為滿足初始條件的特解,顯然滿足初始條件的特解是唯一的.(1)定義2方程稱(chēng)為遞推關(guān)系(1)的特征方程,它的根稱(chēng)為遞推關(guān)系的特征根.(1)由于Ck≠0,所以特征根為非零根.二、解的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)q是非零復(fù)數(shù),f(n)=qn為遞推關(guān)系(1)的解的充要條件為q是遞推關(guān)系(1)的一個(gè)特征根.證明設(shè)f(n)=qn為遞推關(guān)系的解,即由于,所以
即q為遞推關(guān)系的一個(gè)特征根.反之結(jié)論也成立.性質(zhì)2.如果h1(n),h2(n)為遞推關(guān)系(1)的兩個(gè)解,則Ah1(n)+Bh2(n)也是遞推關(guān)系(1)的解,其中A、B為任意常數(shù).證明設(shè)Tn=Ah1(n)+Bh2(n),由于h1(n),h2(n)為遞推關(guān)系的解,有,所以Ah1(n)+Bh2(n)為遞推關(guān)系的解.這是解的線性疊加性質(zhì),可推廣到m個(gè)解的情況.(1)三、遞推關(guān)系的通解定義2設(shè)h1(n),h2(n),…,hk(n)為遞推關(guān)系(1)的k個(gè)解,若對(duì)(1)的任一個(gè)解h(n),都可適當(dāng)選擇常數(shù)使得則稱(chēng)為遞推關(guān)系(1)的通解,其中b1,b2,…,bk為任意常數(shù).定理4.2.1若為遞推關(guān)系(1)的k個(gè)互不相等的特征根,則為遞推關(guān)系(1)的通解,其中為任意常數(shù).證明顯然為遞推關(guān)系(1)的解.(1)設(shè)h(n)是遞推關(guān)系(1)的任一個(gè)解,它由k個(gè)初值h(0)=a0,h(1)=a1,……,h(k-1)=ak-1唯一確定.因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式(Vandermonde行列式)不為零,所以方程組有唯一解即有結(jié)論成立.下面研究當(dāng)特征根有重根時(shí),遞推關(guān)系的通解.引理1.若q為k階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(1)的二重特征根,則為遞推關(guān)系的解.證明令因?yàn)閝為P(x)的二重根,所以q也為Pn(x)的二重根,從而q為的一重根,也為的一重根.又由于即為遞推關(guān)系(1)的解.由引理1易證得下面的引理2.(1)引理2.若q為k階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(1)的m重特征根則為遞推關(guān)系的解.定理2是遞推關(guān)系(1)的全部不同特征根,其重?cái)?shù)分別為,則遞推關(guān)系的通解為其中.例1求解遞推關(guān)系解它的特征方程為:特征根為:所以遞推關(guān)系的通解為代入初值得方程組解方程組得所以遞推關(guān)系的解為:例2求解遞推關(guān)系解遞推關(guān)系的特征方程為:特征根為:所以遞推關(guān)系的通解為代入初值得方程組:解方程組得:,所以遞推關(guān)系的解為:例3核反應(yīng)堆中有和兩種粒子,每秒鐘內(nèi)一個(gè)粒子可反應(yīng)產(chǎn)生三個(gè)粒子,而一個(gè)粒子又可反應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)粒子和兩個(gè)粒子.若在時(shí)刻t=0時(shí)反應(yīng)堆中只有一個(gè)粒子,問(wèn)t=100秒時(shí)反應(yīng)堆將有多少個(gè)粒子?多少個(gè)粒子?共有多少個(gè)粒子?解設(shè)在t時(shí)刻的粒子數(shù)為f(t),粒子數(shù)為g(t),依題意的下面遞推關(guān)系它的特征方程為:特征根為:所以遞推關(guān)系的通解為代人初值有解方程組,得所以遞推關(guān)系的解為從而有因此,例4求解遞推關(guān)系解遞推關(guān)系的特征方程為:特征根為:所以遞推關(guān)系的通解為代入初值得方程組:
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