概率論第6章參數估計

第六章參數估計機動目錄上頁下頁返回結束第六章參數估計參數的點估計估計量的優(yōu)良準則參數的區(qū)間估計0-1分布參數的區(qū)間估計單側置信區(qū)間上一節(jié),我們介紹了總體、樣本、簡單隨機樣本、統計量和抽樣分布的概念,介紹了統計中常用的三大分布,給出了幾個重要的抽樣分布定理.它們是進一步學習統計推斷的基礎.機動目錄上頁下頁返回結束總體樣本統計量描述作出推斷

研究統計量的性質和評價一個統計推斷的優(yōu)良性,完全取決于其抽樣分布的性質.隨機抽樣機動目錄上頁下頁返回結束參數估計問題假設檢驗問題點估計區(qū)間估計統計推斷的基本問題機動目錄上頁下頁返回結束

現在我們來介紹一類重要的統計推斷問題

參數估計問題,它是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數或者參數的某些函數.估計廢品率估計新生兒的體重估計湖中魚數……估計降雨量

在參數估計問題中,假定總體分布形式已知,未知的僅僅是一個或幾個參數.機動目錄上頁下頁返回結束這類問題稱為參數估計.

參數估計問題的一般提法X1,

X2,

…,

Xn要依據該樣本對參數作出估計,或估計的某個已知函數.量).現從該總體抽樣,得樣本

設有一個統計總體,總體的分布函數為

,其中為未知參數(可以是向機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束由總體的樣本(X1,

X2,

…,

Xn)對每一個未知參數

(i=1,

2,

…,

k)構造統計量作為參數

的估計,稱為參數

的估計量.樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的一組取值(x1,

x2,

…,

xn)稱為樣本觀察值,將其代入估計量得到數值稱為參數

的估計值.iq參數估計類型

參數是刻畫總體某方面概率特性的數量.參數的類型有:若,2未知,通過構造統計量,給出它們的估計值或取值范圍就是參數估計的內容.區(qū)間估計參數估計的兩種類型點估計例如,

機動目錄上頁下頁返回結束1、分布中所含的未知參數

.

設這5個數是:1.651.671.681.781.69.現從該總體選取容量為5的樣本,我們的任務是要根據選出的樣本(5個數)求出總體均值

的估計.而全部信息就由這5個數組成.估計為1.68,這是點估計.

機動目錄上頁下頁返回結束估計在區(qū)間(1.57,1.84)內,這是區(qū)間估計.(假定身高服從正態(tài)分布)假如我們要估計某隊男生的平均身高.2、分布中所含的未知參數

的函數

3、分布的各種特征數例如:,分布中位數等.例如:

,其中,2未知,對于某定值a,

要估計,即為

,

的函數.機動目錄上頁下頁返回結束例

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~隨機抽查100個嬰兒…得100個體重數據10,

7,

6,

6.5,

5,

5.2,

…呢?據此,

我們應如何估計和而全部信息就由這100個數組成.6.1參數的點估計機動目錄上頁下頁返回結束使用什么樣的統計量去估計?可以用樣本均值;也可以用樣本中位數;還可以用別的統計量.問題是:

機動目錄上頁下頁返回結束尋求估計量的方法1.矩估計法2.極大似然法3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這里我們主要介紹前面兩種方法.機動目錄上頁下頁返回結束

矩估計法其基本思想是用樣本矩估計總體矩.理論依據:或格列汶科定理

它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法.是英國統計學家K.皮爾遜最早提出的.大數定律機動目錄上頁下頁返回結束記總體k階矩為樣本k階矩為用相應的樣本矩去估計總體矩的估計方法就稱為矩估計法.記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束矩法估計步驟設總體X的分布為,k個參數

待估計,(X1,

X2,

…,

Xn)是一個樣本.(1)計算總體分布的i

階原點矩(計算到k階矩為止,k個參數);機動目錄上頁下頁返回結束(2)列方程從中解出方程組的解,記為,則分別為參數

的矩估計.機動目錄上頁下頁返回結束解得矩法估計量為解例6.1設總體X的均值為

,方差為

,均未知.(X1,

X2,

…,

Xn)是總體的樣本,求

和

的矩估計.機動目錄上頁下頁返回結束注:機動目錄上頁下頁返回結束例6.3設(X1,

X2,

…,

Xn)來自X的一個樣本,且求a,

b的矩估計.解例6.2設總體,求

的矩估計.機動目錄上頁下頁返回結束解

X~U(a,

b)例6.3設(X1,

X2,

…,

Xn)來自X的一個樣本,且求a,

b的矩估計.解得矩估計為2階中心矩機動目錄上頁下頁返回結束解:由矩法,樣本矩總體矩從中解得的矩估計.即為數學期望是一階原點矩例6.4

設總體X的概率密度為是未知參數,其中X1,

X2,

…,

Xn是取自X的樣本,

求參數的矩估計.機動目錄上頁下頁返回結束解:

由密度函數知具有均值為的指數分布機動目錄上頁下頁返回結束

例6.5設X1,

X2,

…,Xn是取自總體X的一個樣本其中,求的矩估計.是未知參數故即解得令用樣本矩估計總體矩機動目錄上頁下頁返回結束即機動目錄上頁下頁返回結束矩法估計的優(yōu)點:計算簡單.如例6.2中,不是用1階矩,而是用2階矩.(2)

求矩法估計時,不同的做法會得到不同的解;(通常規(guī)定,在求矩法估計時,要盡量使用低階矩).矩法估計的缺點:(1)矩法估計有時會得到不合理的解;機動目錄上頁下頁返回結束與不同.解例6.2設總體,求

的矩估計.(3)

總體分布的矩不一定存在,所以矩法估計不一定有解.如機動目錄上頁下頁返回結束

極大似然法

極大似然估計法是在總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法.

它首先是由德國數學家高斯在1821年提出的,然而,GaussFisher這個方法常歸功于英國統計學家費歇.

費歇在1922年重新發(fā)現了這一方法,并首先研究了這種方法的一些性質.機動目錄上頁下頁返回結束

極大似然法的基本思想

先看一個簡單例子:一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢?

某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測,你會如何想呢?只聽一聲槍響,野兔應聲倒下.機動目錄上頁下頁返回結束

下面我們再看一個例子,

進一步體會極大似然法的基本思想.

只發(fā)一槍便打中,

獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個例子所作的推斷已經體現了極大似然法的基本思想.機動目錄上頁下頁返回結束例

設X~B(1,

p),p未知.

設想我們事先知道p只有兩種可能:問:

應如何估計p?p=0.7或p=0.3如今重復試驗3次,

得結果:0,0,0由概率論的知識,3次試驗中出現“1”的次數k=0,

1,

2,

3機動目錄上頁下頁返回結束

將計算結果列表如下:應如何估計p?p=0.7或p=0.3k=0,

1,

2,

3p值 P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.7 0.0270.189 0.441 0.3430.3 0.3430.441 0.189 0.027 出現估計出現出現出現估計估計估計0.3430.4410.4410.343機動目錄上頁下頁返回結束

如果有p1,

p2,

…,

pm可供選擇,又如何合理地選p呢?從中選取使Qi

最大的pi

作為p的估計.i=1,

2,

…,

m則估計參數p為時Qi

最大,比方說,

當我們計算一切可能的

P(Y=k;pi

)=Qi

,

i=1,

2,

…,

m機動目錄上頁下頁返回結束若重復進行試驗n次,

結果“1”出現k次(

),如果只知道0<p<1,

并且實測記錄是Y=k(0≤

k≤n),

又應如何估計p呢?注意到是p的函數,

可用求導的方法找到使f(p)達到極大值的p.

但因f(p)與lnf(p)達到極大值的自變量相同,

故問題可轉化為求lnf(p)的極大值點.機動目錄上頁下頁返回結束將ln

f(p)對p求導并令其為0,這時,對一切0<p<1,

均有從中解得便得

p(n-k)=k(1-p)機動目錄上頁下頁返回結束

以上這種選擇一個參數使得實驗結果具有最大概率的思想就是極大似然法的基本思想.這時,

對一切0<p<1,

均有則估計參數p為機動目錄上頁下頁返回結束

極大似然估計原理當給定樣本X1,

X2,

…,Xn時,定義似然函數為：機動目錄上頁下頁返回結束

設X1,

X2,

…,Xn是取自總體X的一個樣本,樣本的聯合密度(連續(xù)型)或聯合概率函數(離散型)為

似然函數:極大似然估計法就是用使

達到最大值的去估計.稱為的極大似然估計(MLE).

看作參數的函數,它可作為將以多大可能產生樣本值X1,

X2,

…,Xn的一種度量.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束,稱為參數的對每一樣本值(x1,

x2,

…,

xn),在參數空間內使似然函數達到最大的參數估計值極大似然估計值,它滿足稱統計量為參數

的極大似然估計量.記為機動目錄上頁下頁返回結束極大似然估計求解步驟如果X是連續(xù)型隨機變量,密度函數為f(x),則如果X是離散型隨機變量,分布律為P(X=k),則(1)寫出似然函數L的表達式設總體X的分布中,有m個未知參數,它們的取值范圍.機動目錄上頁下頁返回結束(2)在內求出使得似然函數L達到最大的參數的估計值它們就是未知參數

的極大似然估計.一般地,先將似然函數取對數lnL,然后令lnL關于

的偏導數為0,得方程組機動目錄上頁下頁返回結束從中解出機動目錄上頁下頁返回結束x=1,2,…設(x1,

x2,

…,

xn)為樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的一個觀察值,似然函數解總體X的分布律為例6.6

(X1,

X2,

…,

Xn)是來自總體

的樣本,

未知,求

的極大似然估計量.機動目錄上頁下頁返回結束對數似然函數的極大似然估計值為的極大似然估計量為機動目錄上頁下頁返回結束解設(x1,

x2,

…,

xn)為樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的一個觀察值,則似然函數為例6.7設(X1,

X2,

…,X

n)是來自正態(tài)總體

的一個樣本,

未知,求

的極大似然估計.機動目錄上頁下頁返回結束解得思考:當

已知時,所以的極大似然估計量分別為機動目錄上頁下頁返回結束例6.8設X~U[a,

b],a,

b未知,(X1,

X2,

…,

Xn)是總體X的一個樣本,求a,

b的極大似然估計.設(x1,

x2,

…,

xn)為樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的一個觀察值,則似然函數解

X的密度函數為機動目錄上頁下頁返回結束無法求出估計機動目錄上頁下頁返回結束設x1*=min(x1,

x2,

…,

xn),

xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),則a的取值范圍a≤x1*,b的取值范圍b≥xn*L(a,

b)當a=x1*,b=xn*時取得最大值.所以當a=x1*,b=xn*時,有兩點說明:可以得到的MLE.若是向量,上述方程必須用似然方程組代替.機動目錄上頁下頁返回結束1、求似然函數

的最大值點,可以應用微積分中的技巧.由于ln(x)是x的增函數,

與

在的同一值處達到它的最大值,假定是一實數,且

是的一個可微函數.通過求解所謂“似然方程”:2、用上述求導方法求參數的MLE有時行不通,這時要用極大似然原則來求.兩點說明：機動目錄上頁下頁返回結束L(p)=f(X1,

X2,

…,Xn;p)例6.8設X1,

X2,

…,Xn是取自總體X~B(1,p)的一個樣本,求參數p的極大似然估計.解:似然函數為:機動目錄上頁下頁返回結束對數似然函數為：對p求導并令其為0,得即為p

的MLE.機動目錄上頁下頁返回結束解:似然函數為對數似然函數為例6.9

設X1,

X2,

…,Xn是取自總體X的一個樣本求的極大似然估計.機動目錄上頁下頁返回結束其中

求導并令其為0從中解得即為的MLE.對數似然函數為機動目錄上頁下頁返回結束解:似然函數為

例6.10設X1,

X2,

…,Xn是取自總體X的一個樣本其中

,

求的極大似然估計.i=1,2,…,n機動目錄上頁下頁返回結束未知對數似然函數為解:似然函數為i=1,

2,

…,

n機動目錄上頁下頁返回結束(2)由(1)得(1)對分別求偏導并令其為0,對數似然函數為用求導方法無法最終確定用極大似然原則來求.機動目錄上頁下頁返回結束是對故使達到最大的即的MLE，于是取其它值時,即為的MLE.且是的增函數由于機動目錄上頁下頁返回結束我們知道,

服從正態(tài)分布

的r.vX

由大數定律,機動目錄上頁下頁返回結束可以用樣本均值

估計類似地,用樣本修正方差

估計

樣本均值是否是

的一個好的估計量?(2)怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量“好”?樣本方差是否是

的一個好的估計量?這就需要討論以下幾個問題:(1)我們希望一個“好的”估計量具有什么特性?(3)如何求得合理的估計量?那么要問:機動目錄上頁下頁返回結束

在介紹估計量優(yōu)良性的準則之前,我們必須強調指出:

評價一個估計量的好壞,不能僅僅依據一次試驗的結果,而必須由多次試驗結果來衡量.

這是因為估計量是樣本的函數,是隨機變量.因此,由不同的觀測結果,就會求得不同的參數估計值.因此一個好的估計,應在多次試驗中體現出優(yōu)良性.6.2

估計的優(yōu)良準則機動目錄上頁下頁返回結束

常用的幾條標準是:1．無偏性2．有效性3．相合性機動目錄上頁下頁返回結束

估計量是隨機變量,對于不同的樣本值會得到不同的估計值.我們希望估計值在未知參數真值附近擺動,而它的期望值等于未知參數的真值.這就導致無偏性這個標準.

無偏性則稱為的無偏估計.設是未知參數的估計量,若機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束如果不是無偏的,就稱該估計是有偏的.稱為的偏差.如果,就稱該估計為漸進無偏估計.

例如,用樣本均值作為總體均值的估計時,雖無法說明一次估計所產生的偏差,但這種偏差隨機地在0的周圍波動,對同一統計問題大量重復使用不會產生系統偏差.無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求.無偏性的實際意義是指沒有系統性的偏差.機動目錄上頁下頁返回結束證明設X的k階矩(X1,

X2,

…,

Xn)是來自正態(tài)總體X的一個樣本,則例6.11設總體X的k階矩存在,則不論X的分布如何,樣本k階原點矩是總體k階矩的無偏估計.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束所以Ak是

的無偏估計.解設(X1,

X2,

…,

Xn)是取自總體X的一個樣本,由例6.7知機動目錄上頁下頁返回結束例6.12設

,其中

未知,問

的極大似然估計是否為

的無偏估計?若不是,請修正使它成為無偏估計.是

的無偏估計機動目錄上頁下頁返回結束不是

的無偏估計,而為

的無偏估計.樣本均值為總體均值

的無偏估計樣本原點矩

為總體原點矩

的無偏估計.是總體方差

的無偏估計.一般的,二階或二階以上樣本中心矩不是總體中心矩的無偏估計.機動目錄上頁下頁返回結束所以無偏估計以方差小者為好,這就引進了有效性這一概念.的大小來決定二者和一個參數往往有不止一個無偏估計,若和都是參數的無偏估計量，比較我們可以誰更優(yōu).由于機動目錄上頁下頁返回結束

有效性D()<D()則稱較有效.都是參數的無偏估計量,若有設和機動目錄上頁下頁返回結束在

的所有無偏估計量中,若是具有最小方差的無偏估計量,則稱為一致最小方差無偏估計量.機動目錄上頁下頁返回結束解

X的密度函數例6.12設總體

,

,未知,(X1,

X2,

…,

Xn)

是總體X的一個樣本,(1)求

的矩估計和極大似然估計;(2)上述兩個估計是否為無偏估計量,若不是,請修正為無偏估計量;(3)問在(2)中的兩個無偏估計量哪一個更有效?機動目錄上頁下頁返回結束解

X的密度函數(1)設(x1,

x2,

…,

xn)為樣本觀察值,則似然函數i=1,

2,

…,n

的矩估計為令xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),則機動目錄上頁下頁返回結束令xn*=max(x1,

x2,

…,

xn),則即

的極大似然估計為機動目錄上頁下頁返回結束(2)是

的無偏估計.機動目錄上頁下頁返回結束為求,先求Xn*的密度函數機動目錄上頁下頁返回結束顯然,它不是

的無偏估計,修正如下:則是

的無偏估計.令機動目錄上頁下頁返回結束(3)機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束因此比更有效.當n>1時,對任意在參數估計中,很容易想到,如果樣本容量越大,樣本所含的總體分布的信息越多.n越大,越能精確估計總體的未知參數.隨著n的無限增大,一個好的估計量與被估參數的真值之間任意接近的可能性會越來越大,這就是所謂的相合性或一致性.機動目錄上頁下頁返回結束相合性機動目錄上頁下頁返回結束則稱

為的相合估計.

設總體X具有概率函數為未知參數,為的一個估計量,為樣本容量.若對任意,有定義機動目錄上頁下頁返回結束例6.13設是總體X的樣本均值,則作為總體期望E(X)的估計量時,是E(X)的一致估計量.是E(X)的一致估計量.證明由大數定律可知,當

時機動目錄上頁下頁返回結束證明由切貝雪夫不等式可知為

的一致估計量.例6.14設為

的無偏估計量,若則為

的一致估計量.機動目錄上頁下頁返回結束這一節(jié),我們介紹了參數點估計,討論了估計量的優(yōu)良性準則.給出了尋求估計量最常用的矩法和極大似然法.參數點估計是用一個確定的值去估計未知的參數.看來似乎精確,實際上把握不大.為了使估計的結論更可信,需要引入區(qū)間估計.

這是下一節(jié)的內容.機動目錄上頁下頁返回結束上一節(jié)中,我們討論了參數的點估計,只要給定樣本觀察值,就能算出參數的估計值.但用點估計的方法得到的估計值不一定是參數的真值,即使與真值相等也無法肯定這種相等(因為總體參數本身是未知的),也就是說,由點估計得到的參數估計值沒有給出它與真值之間的可靠程度,在實際應用中往往還需要知道參數的估計值落在其真值附近的一個范圍.6.3

區(qū)間估計為此我們要求由樣本構造一個以較大的概率包含真實參數的一個范圍或區(qū)間,這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間,通過構造一個置信區(qū)間對未知參數進行估計的方法稱為區(qū)間估計.機動目錄上頁下頁返回結束

譬如,在估計湖中魚數的問題中,若我們根據一個實際樣本,得到魚數N的極大似然估計為1000條.若我們能給出一個區(qū)間,在此區(qū)間內我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數的估計就有把握多了.

實際上,N的真值可能大于1000條,也可能小于1000條.機動目錄上頁下頁返回結束

也就是說,我們希望確定一個區(qū)間,使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數值.湖中魚數的真值[]

這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的,稱為置信概率,置信度或置信水平.習慣上把置信水平記作,這里是一個很小的正數.機動目錄上頁下頁返回結束置信水平的大小是根據實際需要選定的.

例如,通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據一個實際樣本,由給定的置信水平,我們求出一個盡可能小的區(qū)間,使置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的機動目錄上頁下頁返回結束尋找置信區(qū)間的方法,

一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.

我們選取未知參數的某個估計量,根據置信水平,可以找到一個正數

,只要知道的概率分布,確定誤差限并不難.機動目錄上頁下頁返回結束下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出:這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束使得

設總體X的分布函數族為對于給定的

,如果有兩個統計量對一切

成立,則稱隨機區(qū)間是

的置信度為

的雙側置信區(qū)間.雙側置信下限;雙側置信上限;

置信度.置信區(qū)間定義由定義可知,置信區(qū)間是以統計量為端點的隨機區(qū)間,對于給定的樣本觀察值(x1,

x2,

…,

xn),由統計量構成的置信區(qū)間可能包含真值

,也可能不包含真值,但在多次觀察或試驗中,每一個樣本皆得到一個置信區(qū)間,在這些區(qū)間中包含真值

的區(qū)間占,不包含

的僅占.機動目錄上頁下頁返回結束

一旦有了樣本,就把估計在區(qū)間內.這里有兩個要求:可見,

對參數作區(qū)間估計,就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統計量)機動目錄上頁下頁返回結束2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短,或能體現該要求的其它準則.可靠度與精度是一對矛盾,一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內,就是說,概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.機動目錄上頁下頁返回結束求參數的置信度為的置信區(qū)間.例設X1,

…,Xn是取自的樣本,已知,

置信區(qū)間的求法明確問題,是求什么參數的置信區(qū)間?置信水平是多少?尋找未知參數的一個良好估計.解:尋找一個待估參數和估計量的函數,要求其分布為已知.有了分布,就可以求出Z取值于任意區(qū)間的概率.機動目錄上頁下頁返回結束選的點估計為對給定的置信水平查正態(tài)分布表得對于給定的置信水平(大概率),根據Z的分布,確定一個區(qū)間,使得Z取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使機動目錄上頁下頁返回結束對給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得機動目錄上頁下頁返回結束也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結束從例解題的過程,我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數的一個良好的點估計T(X1,

X2,

…,Xn)稱

為樞軸量.

3.尋找一個待估參數和估計量T的函數

,且其分布為已知.機動目錄上頁下頁返回結束4.對于給定的置信水平

,根據

的分布,確定常數a,b,使得

5.對“

”作等價變形,

得到如下形式:機動目錄上頁下頁返回結束則就是的

的置信區(qū)間.

可見,確定區(qū)間估計很關鍵的是要尋找一個待估參數和估計量T的函數

,

且

的分布為已知,不依賴于任何未知參數(這樣我們才能確定一個大概率區(qū)間).

而這與總體分布有關,所以,總體分布的形式是否已知,是怎樣的類型,至關重要.機動目錄上頁下頁返回結束這里,我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.

若樣本容量很大,即使總體分布未知,應用中心極限定理,可得總體的近似分布,于是也可以近似求得參數的區(qū)間估計.教材上討論了以下幾種情形:單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計.兩個正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計.比例p

的區(qū)間估計.機動目錄上頁下頁返回結束

正態(tài)總體均值的置信區(qū)間1、已知,未知.則置信度為的

的置信區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結束未知,未知.2、由于方差

未知用

的無偏估計量代替(定理5.3)機動目錄上頁下頁返回結束則置信度為的

的置信區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結束(1)根據實際問題構造樣本的函數,要求僅含待估參數且分布已知;正態(tài)總體參數置信區(qū)間的解題步驟機動目錄上頁下頁返回結束(3)解不等式得隨機的置信區(qū)間;(4)由觀測值及值查表計算得所求置信區(qū)間.(2)令該函數落在由分位點確定的區(qū)間里的概率為給定的置信度,要求區(qū)間按幾何對稱或概率對稱;查標準正態(tài)分布表得解(1)由于,由樣本觀察值計算得例6.15已知某批燈泡的壽命

(單位:小時),現從這批燈泡中抽取10個,測得壽命分別為1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,若

,求

的置信區(qū)間(1),

(2)未知.n=10,機動目錄上頁下頁返回結束的置信度為0.95的置信區(qū)間[1145.25,1148.75].n=10機動目錄上頁下頁返回結束(2)由于

未知,由樣本觀察值計算得S=87.0568,n=10,,查t

分布表得的置信度為0.95的置信區(qū)間[1084.72,1209.28].機動目錄上頁下頁返回結束且由卡方分布分位點的概念可知

正態(tài)總體方差的置信區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結束1、未知,已知.此時

的極大似然估計為機動目錄上頁下頁返回結束則置信度為的

的置信區(qū)間為此時取機動目錄上頁下頁返回結束2、未知,未知.則置信度為的

的置信區(qū)間為例6.16為測定某家具中的甲醛含量,取得4個獨立的測量值的樣本,并算得樣本均值為8.34%,樣本標準差為0.03%,設被測總體近似服從正態(tài)分布,

,求

的置信區(qū)間.查t分布表得機動目錄上頁下頁返回結束解由題意:

未知,n=4,S=0.03%,機動目錄上頁下頁返回結束對于

,由于

未知,查表則

的置信度為0.95的置信區(qū)間為[0.00029×10-4,0.0125×10-4]兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間,S22為Y的樣本均值和樣本方差.相互獨立.機動目錄上頁下頁返回結束設樣本X1,

X2,

…,

Xn1來自正態(tài)總體

樣本Y1,

Y2,

…,

Yn2來自正態(tài)總體且相互獨立,S12為X的樣本均值和樣本方差.機動目錄上頁下頁返回結束取1、

已知,

的區(qū)間估計是

的極大似然估計.機動目錄上頁下頁返回結束1、

已知,

的區(qū)間估計可知

的置信度為的置信區(qū)間為(定理5.5)機動目錄上頁下頁返回結束2、若

未知,但已知

,的區(qū)間估計.此時,取機動目錄上頁下頁返回結束可知

的置信度為的置信區(qū)間為

兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結束可知

的置信度為的置信區(qū)間為1、

未知.根據

的估計,構造機動目錄上頁下頁返回結束2、

已知.可知

的置信度為的置信區(qū)間為例6.17研究機器A和機器B生產的鋼管的內徑,測得設兩樣本相互獨立,取

求(1)

的置信區(qū)間,(2)若已知

,求

的置信區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結束解已知機動目錄上頁下頁返回結束(1)由

,

未知,查F分布表得機動目錄上頁下頁返回結束的置信度為0.90的置信區(qū)間為[0.4475,2.9076].(2)機動目錄上頁下頁返回結束

的置信度為0.90的置信區(qū)間為[-2.3785,-1.6615]取樞軸量由標準正態(tài)分布表,對任意a、b,我們可以求得P(a<Z<b).例如,設X1,

…,Xn是取自的樣本,

已知,求參數的置信水平為的置信區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結束

需要指出的是,給定樣本,給定置信水平,置信區(qū)間也不是唯一的.對同一個參數,我們可以構造許多置信區(qū)間.例如,由機動目錄上頁下頁返回結束置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的由這個區(qū)間比前面一個要長一些.置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的機動目錄上頁下頁返回結束我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.

類似地,我們可得到若干個不同的置信區(qū)間.

任意兩個數a和b,只要它們的縱標包含f(z)下95%的面積,就確定一個95%的置信區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結束

在概率密度為單峰且對稱的情形,當a=-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.a=-b機動目錄上頁下頁返回結束

即使在概率密度不對稱的情形,如

分布,F分布,習慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數的置信區(qū)間.

我們可以得到未知參數的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間,并且置信水平越高,相應的置信區(qū)間平均長度越長.機動