電能質(zhì)量分析與控制2-肖湘寧

第二章電能質(zhì)量的數(shù)學(xué)分析方法

第一節(jié)概述

電能質(zhì)量主要的分析方法可以分為三種：時(shí)域、頻域和基于數(shù)學(xué)變換的分析方法。時(shí)域仿真方法在電能質(zhì)量分析中應(yīng)用最為廣泛。eg.:EMTP/EMTDC/NETOMAC系統(tǒng)暫態(tài)仿真MATLAB/PSPICE/SABER電力電子電路仿真第二章電能質(zhì)量的數(shù)學(xué)分析方法

第一節(jié)概述頻域分析方法主要用于電能質(zhì)量中諧波問題。

頻譜分布、諧波潮流計(jì)算基于數(shù)學(xué)變換的方法

主要指傅立葉變換方法、短時(shí)傅立葉變換方法、矢量變換方法以及小波變換方法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析方法。第二節(jié)傅立葉變換與波形的數(shù)學(xué)分析方法一、非正弦周期信號(hào)分解為傅立葉三角級(jí)數(shù)周期性電壓和電流等信號(hào)都可用一個(gè)周期函數(shù)表示為

f（t）=f（t+kT）（k=0，1，2……）（2-1）其中：T——基本周期非正弦周期函數(shù)滿足狄里赫利條件時(shí)可分解為傅立葉級(jí)數(shù)，而在電氣工程中所處理的光滑函數(shù)通常都能滿足這個(gè)條件。

傅立葉的三角級(jí)數(shù)形式為（2-2）也可寫成（2-3）式中——周期函數(shù)的角頻率，

h——諧波次數(shù)。

比較式（2-2）和式（2-3），對(duì)h次諧波可得出下列關(guān)系利用三角函數(shù)的正交性，可求得為

從上面分析可知，傅立葉級(jí)數(shù)展開結(jié)果是離散的傅氏系數(shù)組合。電力系統(tǒng)的非正弦量往往有某種對(duì)稱性，對(duì)稱性可使傅立葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化。奇對(duì)稱偶對(duì)稱鏡對(duì)稱雙對(duì)稱如，表2-1中的方波為奇函數(shù)，只含正弦項(xiàng)，將其坐標(biāo)原點(diǎn)變?yōu)槿鐖D2-1（a）示，則其傅立葉級(jí)數(shù)為（2-4）但無論如何選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)，總是有

把各次諧波的有名值或?qū)τ诨ǖ南鄬?duì)值作成以諧波次數(shù)或諧波頻率未橫坐標(biāo)的直線圖，稱為幅頻譜圖或簡(jiǎn)稱頻譜圖。圖2-1（b）為方波的幅頻特性，第h次諧波的幅值與1/h成正比。傅立葉級(jí)數(shù)具有無窮項(xiàng)，但在實(shí)際工程中只截取有限項(xiàng)。表2-1中列出了常見的幾種波形的傅立葉級(jí)數(shù)和表征畸變波形的系數(shù)。二、連續(xù)傅立葉變換設(shè)f（t）為以連續(xù)非周期時(shí)間信號(hào)，若f（t）滿足狄里赫利條件及（2－5）那么，f（t）的傅立葉變換存在，并定義為（2－6）起反變化為（2－7）

是的連續(xù)函數(shù)，稱為信號(hào)f（t）的頻譜密度函數(shù)，或簡(jiǎn)稱為頻譜，它又可進(jìn)一步分成實(shí)部和虛部、幅度譜和相位譜，即（2－8）（2－9）（2－10）式中稱為幅度值，稱為相位譜。顯然，傅立葉變換的結(jié)果是連續(xù)譜。三、離散傅立葉變化為了計(jì)算傅立葉變換，需要用到數(shù)值積分，即取f（t）在R上的離散點(diǎn)的值來計(jì)算這個(gè)積分。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們希望在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析及其他方面的處理工作，對(duì)信號(hào)的要求是：在時(shí)域和頻域應(yīng)是離散的，且都是有限長(zhǎng)。由此，給出DFT的定義。

給定實(shí)的或復(fù)的離散時(shí)間序列，設(shè)該序列絕對(duì)可和，即滿足，則（n＝0，1，…,N-1）（2－11）被稱為序列的離散傅立葉變換。（n＝0，1，…,N-1）（2－12）被稱為序列的逆離散傅立葉變換。式（2－12）中，n相當(dāng)于對(duì)時(shí)間域的離散化，k相當(dāng)于頻率域的離散化，且它們都是以N點(diǎn)為周期的。而離散傅立葉序列是以為周期的，且具有共軛對(duì)稱性。式（2－11）和式（2－12）又可表示為

(2-13)由此，對(duì)于離散傅立葉序列，我們可以用矩陣的形式進(jìn)行表述

(2-14)離散傅立葉變換(DFT)是數(shù)字信號(hào)處理中最基本也是最常用的運(yùn)算之一，它涉及到信號(hào)與系統(tǒng)的分析和綜合這一廣泛的信號(hào)處理領(lǐng)域，實(shí)際上其他許多算法，如相關(guān)、濾波、諧估計(jì)等也都可化為DFT來實(shí)現(xiàn)。由公式(2-13)可知，求出N點(diǎn)需要次復(fù)數(shù)乘法，N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。眾所周知，實(shí)現(xiàn)1次復(fù)數(shù)乘法需要4次實(shí)數(shù)相乘及2次實(shí)數(shù)相加，實(shí)現(xiàn)1次復(fù)數(shù)加法則需要2次實(shí)數(shù)相加。當(dāng)N很大時(shí)，其計(jì)算量是相當(dāng)可觀的。例如，若N=1024，則需要1048576次復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)相乘。所需時(shí)間過長(zhǎng)，難以“實(shí)時(shí)”計(jì)算。四、內(nèi)奎斯特定理和頻譜混疊現(xiàn)象由離散傅立葉變換式(2-13)系數(shù)的共軛對(duì)稱性，即，可以看出，即幅頻特性是與縱坐標(biāo)軸對(duì)稱的。由的周期性，即及，可以看出，即幅頻特性為周期性的偶函數(shù)(見圖2-2)。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為N時(shí)，由式(2-13)僅給出N/2個(gè)頻譜分量的數(shù)值。例如選取每周期128個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，只能得到64個(gè)及以下的諧波幅值。

由此可以對(duì)采樣定理作這樣的解釋：采樣頻率至少是原信號(hào)最高頻率的2倍以上，即，采樣才能正確地表述原信號(hào)的信息。通常將最高頻率的2倍頻率稱為內(nèi)奎斯特頻率。由圖2-3可見，當(dāng)采樣頻率低于內(nèi)奎斯特頻率時(shí)，原信號(hào)中高于的頻譜分量將會(huì)低于的頻率中再現(xiàn)，即會(huì)出現(xiàn)頻譜的混疊，會(huì)使頻譜分析出現(xiàn)誤差。

頻譜的混疊為了防止出現(xiàn)頻譜的混疊，可先使原信號(hào)提供帶寬低于fs/2的低通濾波器，濾去高于fs/2的分量。對(duì)這樣的信號(hào)采樣并作離散傅立葉變換，所得頻譜不發(fā)生混疊。這樣原信號(hào)中低于fs/2的頻率分量能夠得到準(zhǔn)確的表述，但是在濾波的過程中將會(huì)失掉高于fs/2的頻率分量。例如對(duì)于方波信號(hào)，如果不經(jīng)過低通濾波而對(duì)其采樣作離散傅立葉變換，則會(huì)出現(xiàn)頻率混疊而引入誤差；如果經(jīng)過低通濾波，比如使其只包含7次以下的諧波分量，則再對(duì)其采樣作16點(diǎn)以上的離散傅立葉變換的頻譜分析，使不會(huì)出現(xiàn)混疊。但這樣已預(yù)先在方波中舍去了高于7次的諧波分量。

五、快速傅立葉變換

快速傅立葉變換(FFT)最早由J.W.Cooley和J.W.Tukey于1965年提出，他們巧妙地利用W因子的周期性和對(duì)稱性，導(dǎo)出了高效的快速算法，即快速傅立葉變換算法(FFT)。FFT使N點(diǎn)DFT的乘法計(jì)算量由N^2次將為N/2log2次。以N=1024為例，計(jì)算量將為5120次，僅為原來的4.88%。因此人們公認(rèn)，F(xiàn)FT的問世是數(shù)字信號(hào)處理發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也可以稱之為一個(gè)里程碑。

自J.W.Cooley和J.W.Tukey的快速傅立葉變換算法提出之后，圍繞這一算法的新算法不斷涌現(xiàn)。迄今為止，快速傅立葉變換的發(fā)展方向主要有兩個(gè)：一個(gè)是針對(duì)N等于2的整數(shù)次冪的算法，如基2算法、基4算法和分裂基算法等。另一個(gè)是N不等于2的整數(shù)次冪的算法，它是以Winograd為代表的一類算法，如素因子算法和Winograd算法等。下面介紹經(jīng)典的Cooley-Tukey時(shí)間抽取(DIT)基2FFT算法，對(duì)于其他的FFT算法，讀者可參考有關(guān)書籍。時(shí)間抽取(DIT)基2FFT算法：

對(duì)于式(2-12)，令，M為正整數(shù)。我們可將按奇、偶分成兩組，即令及，于是

(2-15)由于式中，故式(2-15)又可表示為

(2-16)

令(2-17)(2-18)那么(2-19a)

都是N/2點(diǎn)的DFT，是N點(diǎn)的DFT，因此單用式(2-19)表示并不完全。但由于

(2-19b)這樣用就可完整表示(前N/2點(diǎn)用式(2-19a)表示，后N/2點(diǎn)用式(2-19b)表示)。時(shí)，及的關(guān)系如圖2-4所示。由以上分析可見，只要求出區(qū)間內(nèi)各個(gè)整數(shù)k值所對(duì)應(yīng)的值，即可求出區(qū)間內(nèi)的全部值，這一點(diǎn)恰恰是FFT能大量節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵所在。由此，一個(gè)

N點(diǎn)的DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)

的DFT后，計(jì)算全部共需次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法，而直接計(jì)算N點(diǎn)的DFT需要次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法，由此可見，僅僅作了一次分解，即可使計(jì)算量差不多節(jié)省了一半。既然這樣分解是有效的，由于，N/2仍然是偶數(shù)，所以可以進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)子序列[即]再按奇偶部分分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)子序列。我們可按上述方法繼續(xù)加以分解，則則可分別表示為

(2-20a)(2-20b)同理可得

(2-21a)(2-21b)若N=8，這時(shí)都是2點(diǎn)的DFT，無需再分，即上述過程可用圖2-5表示。其基本運(yùn)算單元如圖2-6表示。

推廣到點(diǎn)的DFT的一般情況，不難看出，第m次分解的結(jié)果是由點(diǎn)的DFT兩兩組成共個(gè)點(diǎn)的DFT。由于，通過次分解后，最終達(dá)到了N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT的運(yùn)算，從而構(gòu)成了由x(n)到X(k)的M級(jí)運(yùn)算過程。其迭代過程如圖2-7所示。

六、傅立葉變換的特點(diǎn)及其應(yīng)用

1.傅立葉變換的特點(diǎn)傅立葉變換是時(shí)域到頻域相互轉(zhuǎn)換的工具。從物理意義上講，傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以把對(duì)原函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為其權(quán)系數(shù)即傅立葉變換的研究。

從傅立葉變換式中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。雖然傅里葉譜變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從時(shí)域和頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行觀察，但不能把二者有機(jī)結(jié)合起來。這時(shí)因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包括任任何頻域信息，而其傅里葉譜是信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息。也就是說，對(duì)于傅里葉譜中某一頻率，不知道這個(gè)頻率是什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣，在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。

在電能質(zhì)量分析領(lǐng)域中，傅里葉變換得到了廣泛應(yīng)用。但是，在運(yùn)用FFT時(shí)，必須滿足以下條件：①滿足采樣定理的要求，即采樣頻率必須是最高信號(hào)頻率的2倍以上；②被分析的波形必須是穩(wěn)態(tài)的、隨時(shí)間周期變化的。當(dāng)采樣頻率或信號(hào)不能滿足上述條件時(shí)，利用FFT分析就會(huì)產(chǎn)生“頻譜混疊”和“頻譜泄露”現(xiàn)象，給分析帶來誤差。此外，對(duì)于一些非平穩(wěn)信號(hào)，例如電能質(zhì)量領(lǐng)域中的電壓暫降等問題，由于信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要，且信號(hào)在局部有突變，對(duì)它們僅從時(shí)域或頻域上分析是不夠的，因此它們不適合用傅里葉變換來進(jìn)行分析。這是由于FFT變換是對(duì)整個(gè)時(shí)間段的積分，時(shí)間信息得不到充分利用，且信號(hào)若有任何突變量，其頻譜將散布于整個(gè)頻帶。這些問題，可采用后面介紹的小波變換來進(jìn)行分析。2.快速傅里葉變換的應(yīng)用在諧波分析儀中，一般都是對(duì)電壓及電流兩個(gè)時(shí)間信號(hào)同時(shí)進(jìn)行采樣，同時(shí)作頻譜分析，以便快速給出它們的諧波幅值、相角以及諧波功率等。設(shè)有兩個(gè)離散時(shí)間序列，它們的頻譜序列分別為，由于兩者均為實(shí)序列，故可作成復(fù)序列一起進(jìn)行FFT計(jì)算。設(shè)

(2-22)

頻譜算式為

(2-23)對(duì)按FFT方法計(jì)算，得

(2-24)(2-25)由于系數(shù)，故從而得(2-26)由式(2-24)及式(2-26)解得(2-27)所以，可以用兩個(gè)實(shí)序列構(gòu)成一個(gè)復(fù)序列，求其傅立葉變換，然后用式(2-27)求取兩個(gè)實(shí)序列的傅立葉變換。諧波分析儀可以通過及時(shí)測(cè)定電網(wǎng)電壓和電流中各次諧波的含有率和相角，從而掌握電網(wǎng)諧

諧波潮流分布、諧波阻抗和諧波放大等情況；另外，還可以用作電網(wǎng)諧波的實(shí)時(shí)監(jiān)控。諧波分析儀主要由完善的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和很強(qiáng)處理能力的FFT程序、統(tǒng)計(jì)分析程序以及實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)功能的監(jiān)控程序組成。其工作原理框圖如圖2-8

所示。

諧波分析儀的軟件主要由實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)采集子程序、FFT處理與統(tǒng)計(jì)子程序、功能操作子程序和顯示與輸出打印子程序四部分組成，其中FFT處理與統(tǒng)計(jì)子程序是軟件的核心部分。諧波分析儀的基本工作流程如圖2-9所示。

七、短時(shí)傅立葉變換

為了彌補(bǔ)傅里葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)域和頻域局部分析的缺陷，DennisGabor于1946年提出了短時(shí)傅立葉變換(Short-timeFourierTransform，也稱窗口傅立葉變換)。短時(shí)傅立葉變換的基本思想是：在傅立葉變換的框架中，把非平穩(wěn)過程看成是一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加，而短時(shí)性則是通過一個(gè)參數(shù)的平移來覆蓋整個(gè)時(shí)域，也就是說采用一個(gè)窗函數(shù)對(duì)信號(hào)作乘積運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)在附近的開窗和平移，然后再進(jìn)行傅里葉變換。其表達(dá)式為

(2-28)

式中——積分核，；

——的復(fù)共軛。由短時(shí)傅立葉變換公式得知，表示的是的以為中心、左右為的局部時(shí)間內(nèi)的頻譜特性。窗口寬度的大小決定了時(shí)間域的分辨率。式(2-28)中實(shí)際是[即加窗后的]的傅氏變換。設(shè)為窗口函數(shù)的傅氏變換，由（2-29）可知，在時(shí)，短時(shí)傅立葉變換實(shí)際上描述的是信號(hào)頻譜經(jīng)頻域窗

卷積平滑后的結(jié)果[見式(2-29)]。其平滑作用對(duì)原函數(shù)頻譜的影響由的窗口決定，因此窗口函數(shù)的頻域窗口的大小又決定了短時(shí)傅立葉變換的頻域分辨率?？傊虝r(shí)傅立葉變換的時(shí)域和頻域的分辨率是由窗函數(shù)在時(shí)域和頻域的窗口大小直接決定的，一旦窗口函數(shù)選定，其時(shí)頻分辨率就已經(jīng)確定，并且不隨頻率和時(shí)間而變化。通常，為了提高時(shí)域、頻域的分辨率，我們希望、都盡量小。但由傅立葉變換的性質(zhì)可知，、不可能同時(shí)減小，其一方面的減小必引起另一方面的增大。因此，對(duì)同一窗口函數(shù)來說，時(shí)域、頻域的分辨率是相關(guān)聯(lián)的。著名海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理告訴我們：(c為一常數(shù))，因此時(shí)域、頻域的分辨率不可能無限地?zé)o限提高。

由此可見，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但也存在著自身不可克服的缺陷，即一旦窗函數(shù)選定，其時(shí)頻分辨率就已確定，并且不隨頻率和時(shí)間而變化。對(duì)于要分析的非平穩(wěn)信號(hào)來說，也許某一小時(shí)間段上是以高頻信息為主，我們希望以小時(shí)間窗口進(jìn)行分析，而在緊跟著的一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間段上的一些低頻信息，我們希望以大時(shí)間窗口進(jìn)行分析，因此，對(duì)一個(gè)時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，我們很難找到一個(gè)“好的”時(shí)間窗口來適合不同的時(shí)間段，這是短時(shí)傅立葉變換的不足之處。再者，短時(shí)傅立葉變換很難實(shí)現(xiàn)高效算法，由此限制了期應(yīng)用范圍。

第三節(jié)小波變換與電能質(zhì)量擾動(dòng)識(shí)別

小波(wavelet)變換是由法國(guó)理論物理學(xué)家Grossmann與法國(guó)數(shù)學(xué)家Morlet等共同提出的，是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展起來的新領(lǐng)域。經(jīng)過近十多年的探索與研究，小波變換的重要數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加堅(jiān)實(shí)。與傅立葉變換、窗口傅立葉變換(Gabor變換)相比，小波變換是時(shí)間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取有用的信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行

多尺度細(xì)化分析(MultiscaleAnalysis)，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題，因而贏得了“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美譽(yù)。

小波變換在信號(hào)分析、語音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、CT成像、地震勘探、大氣與海洋波的分析、分形力學(xué)、故障診斷等許多方面都取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的重要成果。小波變換在電力系統(tǒng)分析中也有廣泛的應(yīng)用。除了微分方程的求解問題之外，原則上，能用Fourier分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更好的結(jié)果。一、連續(xù)小波變換

定義1設(shè),其Fourier變換為,當(dāng)滿足允許條件

(2-30)

時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波(MotherWavelet)。將基本小波伸縮和平移后得

(2-31)

稱其為一個(gè)小波序列。其中為伸縮參數(shù)，b為平移參數(shù)。對(duì)于任意函數(shù)的連續(xù)小波變換為

(2-32)其重構(gòu)公式為

(2-33)

由于基本小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)滿足一般函數(shù)的約束條件

(2-34)故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。為了滿足完全重構(gòu)條件式(2-34),在原點(diǎn)必須等于0，即

(2-35)二、離散小波變換

伸縮參數(shù)和平移參數(shù)b為連續(xù)取值的小波變換是連續(xù)小波變換，主要用于理論分析方面。在實(shí)際應(yīng)用中，需要對(duì)伸縮參數(shù)和平移參數(shù)b進(jìn)行離散化處理，通常選取，，這里m，n是整數(shù)，是大于1的固定伸縮步長(zhǎng)，且與母小波的具體形式有關(guān)。這種離散化的基本思想體現(xiàn)了小波變換作為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的主要功能。選擇適當(dāng)?shù)姆糯蟊稊?shù)，在一個(gè)特定的位置研究一個(gè)函數(shù)或信號(hào)過程，然后再平移到另一位置繼續(xù)進(jìn)行研究；如果放大倍數(shù)過大，也就是尺度太小，就可按小步長(zhǎng)移動(dòng)一個(gè)距離，反之亦然。這一點(diǎn)通過選擇遞增步長(zhǎng)反比于放大倍數(shù)(也就是與尺度成比例)

很容易實(shí)現(xiàn)。而放大倍數(shù)的離散化則可由上述平移參數(shù)b的離散化來實(shí)現(xiàn)，于是離散小波可以定義為相應(yīng)的小波變換

(2-36)

就稱為離散小波變換。三、二進(jìn)制小波變換

為了使小波變換具有可變化的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變和b的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。換言之，在實(shí)際中，經(jīng)常采用的是動(dòng)態(tài)的采樣網(wǎng)絡(luò)，最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)絡(luò)，即、,每個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度為,而平移為。由此得到的小波

(2-37)稱為二進(jìn)制小波(DyadicWavelet)。二進(jìn)制小波在分析信號(hào)時(shí)具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)為，對(duì)應(yīng)地觀測(cè)到信號(hào)的某部分內(nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)，即減少值；反之，若想了解信號(hào)更粗的內(nèi)容，則可以減少放大倍數(shù)，即增大值。正是在這個(gè)意義上，小波變換被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。

定義2設(shè)函數(shù)，如果存在兩個(gè)常數(shù)使得穩(wěn)定性條件幾乎處處成立，即

(2-38)則為一個(gè)二進(jìn)制小波。若，則式(2-38)稱為最穩(wěn)定條件。而函數(shù)序列叫作的二進(jìn)制小波變換，其中

上式相應(yīng)的逆變換為二進(jìn)制小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對(duì)時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化。因此，二進(jìn)制小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。四、多分辨分析

多分辨分析(Multi-resolutionAnalysis—MRA)，又稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。其思想的形成來源于工程，其創(chuàng)建者S.mallat是在研究圖像處理問題時(shí)建立這套理論的。當(dāng)時(shí)人們研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，并將結(jié)果進(jìn)行比較，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得S.mallat想到是否可以用正交小波基的多尺度特性將圖像展開，以得到圖像不同尺度的“信息增量”。

正是這種想法導(dǎo)致了多分辨分析理論的建立。多分辨分析不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù)。多分辨分析思想又同多采樣率濾波器組不謀而合，使得我們又可將小波變換與數(shù)字濾波器的理論結(jié)合起來。因此，多分辨分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位。

若我們把尺度理解為照相機(jī)的鏡頭的話，當(dāng)尺度由大到小變化時(shí)，就相當(dāng)于將照相機(jī)鏡頭由遠(yuǎn)及近地接近目標(biāo)。在大尺度空間里，對(duì)應(yīng)以遠(yuǎn)鏡頭來觀察目標(biāo)，只能看到目標(biāo)大致的概貌；在小尺度空間里，對(duì)應(yīng)以近鏡頭來觀察目標(biāo)，可觀測(cè)到目標(biāo)的細(xì)微部分。因此，隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗及精地觀察目標(biāo)，這就是多分辨(即多尺度)的思想。定義3

在空間中,多分辨分析是指滿足下列條件的一個(gè)空間序列：（1）單調(diào)性：，對(duì)任意；（2）逼近性：,；（3）伸縮性：；（4）平移不變性：對(duì)于任意，有；（5）正交基存在性：存在，使得構(gòu)成的正交基。

定理1

設(shè)是空間的多分辨逼近，則存在函數(shù)，使

(2-39)

構(gòu)成的規(guī)范正交基，其中稱為尺度函數(shù)。定理2

設(shè)是空間的多分辨逼近，為尺度函數(shù)，H為所對(duì)應(yīng)的濾波器，空間是空間在上一級(jí)空間的正交補(bǔ)空間，則存在函數(shù)，其傅立葉變換滿足

(2-40)使構(gòu)成空間的規(guī)范正交基，其中稱為小波函數(shù)，G為所對(duì)應(yīng)的濾波器。設(shè)是在空間中的投影，分辨對(duì)應(yīng)在分辨率下的平滑逼近，是在空間中的投影，對(duì)應(yīng)量平滑逼近間的細(xì)節(jié)差異，則有如下關(guān)系

(2-41)其中

(2-42a)(2-42b)(2-42c)

式中——對(duì)應(yīng)在分辨率下的離散逼近；

——對(duì)應(yīng)在分辨率下的離散細(xì)節(jié)，亦即小波變換系數(shù)。由于分辨率為的多分辨率分析子空間可以用有限子空間逼近，即

(2-43)任何函數(shù)，都可根據(jù)在空間中的投影和在空間中的投影完全重構(gòu)，即

(2-44)

五、Mallat算法

信號(hào)分析專家Mallat受金字塔算法的啟發(fā)，以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法——Mallat算法(FWT)，這是小波理論突破性的成果，其作用和地位相當(dāng)于傅里葉分析中的快速傅立葉變換(FFT)。

Mallat算法的主要思想是：如已知信號(hào)在分辨率下的離散逼近，則信號(hào)在分辨率下的離散逼近可由尺度函數(shù)構(gòu)成的低通濾波器對(duì)濾波而得；信號(hào)在兩種分辨率下的離散逼近之差——離散細(xì)節(jié)，可由小波函數(shù)構(gòu)成的高通濾波器對(duì)濾波而得。具體離散算法為

(2-45)

式中——分別為低通濾波器和高通濾波器的系數(shù)。從數(shù)字濾波器的角度來看，式(2-45)所描述的系數(shù)一次分解總過程可用如2-11表示。如以表示信號(hào)在尺度2°下的采樣近似值，則連續(xù)重復(fù)以上過程可得如圖2-11所示的原始采樣信號(hào)多尺度小波分解過程算法。

通過圖2-11所示的不斷分解，可得信號(hào)在不同分辨率下的離散逼近和離散細(xì)節(jié)，從而可對(duì)信號(hào)進(jìn)行所希望的分析。Mallat算法不僅包括小波分解過程算法，還包括小波重構(gòu)過程算法。小波重構(gòu)過程是小波分解過程的逆過程，是用低分辨率下的離散逼近和離散細(xì)節(jié)重新構(gòu)造高分辨率下的離散逼近的過程。具體離散重構(gòu)算法如下

(2-46)信號(hào)重構(gòu)過程算法如圖2-12所示。連續(xù)重復(fù)以上過程可得利用小波分解后的系數(shù)重構(gòu)信號(hào)過程，如圖2-13所示。小波變換的出現(xiàn)為電能質(zhì)量分析提供了新的數(shù)學(xué)工具和研究方向。目前,國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者開始應(yīng)用小波變換對(duì)電能質(zhì)量若干問題進(jìn)行研究,其應(yīng)用主要集中在對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)進(jìn)行檢測(cè)和定位、電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮、電能質(zhì)量擾動(dòng)識(shí)別以及暫態(tài)電能質(zhì)量擾動(dòng)建模與分析等方面。在研究問題的過程中,一般采用的小波母函數(shù)有Morlet小波、Daubechies小波、樣條小波、Meyer小波等,而采用的算法一般為Mallat在多分辨(多尺度)分析(MRA)基礎(chǔ)上提出的塔式快速小波算法——Mallat算法。六、基于小波變換的電能質(zhì)量擾動(dòng)分析

一方面，在應(yīng)用小波變換方法對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)進(jìn)行檢測(cè)和定位的問題上,大量的文獻(xiàn)表明,目前基于小波變換對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)進(jìn)行檢測(cè)和定位所采用的小波及相應(yīng)算法大體上可分為兩大類。一種是連續(xù)小波變換。盡管這種方法具有檢測(cè)精度高、抗噪性能好的優(yōu)點(diǎn),但由于計(jì)算量太大,使得它的實(shí)際應(yīng)用受到了限制。另一種是離散正交小波變換。該方法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高{采用濾波器技術(shù)對(duì)長(zhǎng)度為N的序列進(jìn)行離散序列小波變換,需要O(N)次計(jì)算量,而采用FFT方法計(jì)算時(shí)需要O[Nlog(N)]次計(jì)算量}等優(yōu)點(diǎn),克服了連續(xù)小波變換的缺點(diǎn),已成為電能質(zhì)量擾動(dòng)分析中普遍采用的方法。但由于該方法抗噪能力不如連續(xù)小波變換,當(dāng)檢測(cè)到環(huán)境中的背景噪聲較強(qiáng)時(shí),該方法的檢測(cè)精度將大大下降。

另一方面，在電能質(zhì)量擾動(dòng)識(shí)別問題上，可采用小波變換和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)相結(jié)合的方法，即將小波變換在每個(gè)尺度得到的擾動(dòng)信息作為擾動(dòng)信號(hào)的特征量，并將這些特征量作為相應(yīng)ANN的輸入信號(hào)，供ＡＮＮ來辨識(shí)擾動(dòng)類型。該方法可對(duì)波形進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別，并確定擾動(dòng)類型。下面對(duì)小波分析在電能質(zhì)量擾動(dòng)檢測(cè)和定位中的應(yīng)用進(jìn)行舉例說明。

電壓暫降(voltagesag)是配電系統(tǒng)中最常見的一種電壓擾動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)中發(fā)生短路故障、大容量電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)、變壓器或電容器組投切時(shí)，都可能引起電壓暫降。近年來，微處理器控制設(shè)備和電力電子設(shè)備在工業(yè)中得到廣泛的應(yīng)用，這些設(shè)備對(duì)電壓暫降特別敏感，電壓暫降往往會(huì)導(dǎo)致設(shè)備損壞或誤動(dòng)作。因此，電壓暫降已成為近年來各方面都很關(guān)注的電能質(zhì)量問題，因而對(duì)它進(jìn)行監(jiān)測(cè)和統(tǒng)計(jì)也就顯得特別重要。過去常采用電壓下降深度和持續(xù)時(shí)間兩個(gè)指標(biāo)來表征電壓暫降。這兩個(gè)指標(biāo)通常是從電壓均方根值曲線得到的，因此，很難對(duì)敏感的電力電子設(shè)備在供電電壓發(fā)生電壓暫降的起止時(shí)刻、電壓不平衡程度、畸變度和相位移等指標(biāo)。其中，電壓暫降擾動(dòng)起止時(shí)間的精確確定則是為獲取以上指標(biāo)而首先要解決的問題。電壓暫降的起止時(shí)刻常常對(duì)應(yīng)著電壓信號(hào)的奇異點(diǎn)，小波分析由于可在時(shí)-頻域局部化，并且時(shí)窗和頻窗的寬度可調(diào)節(jié)，所以能夠檢測(cè)到突變信號(hào)；當(dāng)取小波母函數(shù)為平衡函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)的小波變換的模在信號(hào)的突變點(diǎn)取得局部極大值；如再考慮多分辨(多尺度)小波分析，則隨著尺度的增大，噪聲引起的小波變換模的極大值點(diǎn)迅速減少，因而突變信號(hào)引起的小波變換模的極大值點(diǎn)得以顯露，所以小波分析不但可以在低信噪比的信號(hào)中檢測(cè)到突變信號(hào)，而且可以濾去噪聲恢復(fù)原信號(hào)。因此可以通過小波分析來檢測(cè)擾動(dòng)產(chǎn)生的奇異點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電壓變換擾動(dòng)起止時(shí)刻的精確確定。

小波變換的一個(gè)重要特點(diǎn)是能表征函數(shù)的奇異性。函數(shù)在某點(diǎn)具有奇異性，是指信號(hào)在該點(diǎn)間斷或其階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。在數(shù)學(xué)上，通常采用Lipschitz指數(shù)來表征信號(hào)的奇異性。如信號(hào)在點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)，則稱信號(hào)在點(diǎn)是奇異的。長(zhǎng)期以來，傅立葉變換是研究信號(hào)奇異性的主要工具。一般可通過觀察信號(hào)的傅立葉變換的衰減性判斷其奇異性。

但由于傅立葉變換缺乏空間局部性，因而只能確定信號(hào)的整體性質(zhì)，而難以確定奇異點(diǎn)在空間的位置及其分布情況。小波變換則具有很好的空間局部化性質(zhì)，因而可用來分析信號(hào)的局部奇異性，通過信號(hào)的小波變換模的極值點(diǎn)在多尺度上的綜合表現(xiàn)來表示信號(hào)的突變或暫態(tài)特征。

圖2-14為一電壓暫降擾動(dòng)波形。由圖可見，對(duì)應(yīng)于電壓暫降擾動(dòng)發(fā)生時(shí)刻(點(diǎn)a處)和電壓暫降擾動(dòng)波形恢復(fù)時(shí)刻(點(diǎn)b處)，電壓的時(shí)域波形具有局部奇異性。由于小波變換所得小波系數(shù)數(shù)值的大小取決于信號(hào)在奇異點(diǎn)附近的特性以及小波變換所選取的尺度，因而在較小的尺度上，它能夠提供信號(hào)的局部化性質(zhì)。因此，信號(hào)在突變點(diǎn)的奇異點(diǎn)可通過小波變換模的局部極小值來描述。1.信號(hào)奇異性檢測(cè)原理

設(shè)積分為1而在無限遠(yuǎn)處衰減為0的任意光滑函數(shù)用表示。由于任何一個(gè)低通光滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為帶通函數(shù)，即滿足，所以可作為小波變換的基本小波。用表示函數(shù)對(duì)尺度因子的伸縮，則對(duì)應(yīng)尺度因子的小波函數(shù)為信號(hào)在尺度上對(duì)應(yīng)于基本小波的小波變換為

(2-47)(2-48)對(duì)于固定的尺度，即信號(hào)的局部的突變點(diǎn)，而的零交叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)于[即信號(hào)被平滑函數(shù)平滑]的拐點(diǎn)。因此，當(dāng)小波取為光滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)[即]

時(shí)，小波變換模極大值的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的突變點(diǎn)。另外，如在某區(qū)間，信號(hào)的小波變換系數(shù)在小尺度上無局部模極大值，則該信號(hào)在該區(qū)間無奇異性，信號(hào)的非Lipschitz指數(shù)的點(diǎn)集的閉包必定包含在信號(hào)的小波變換模極大值的閉包內(nèi)。這說明信號(hào)所有奇異點(diǎn)的位置，在尺度趨于零的過程中都可沿小波變換模極大值線定位，即可以利用小尺度上的小波變換模極大值點(diǎn)的位置來檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)。

由于在電壓暫降擾動(dòng)信號(hào)發(fā)生的起止社科，電壓波形中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)細(xì)小的突變，通過小波變換可將這細(xì)小突變放大、顯示，從而檢測(cè)出這一突變，即能夠檢測(cè)出突變所對(duì)應(yīng)的電壓暫降擾動(dòng)信號(hào)的發(fā)生時(shí)刻和恢復(fù)時(shí)刻，這兩次突變的時(shí)間間隔即為擾動(dòng)持續(xù)時(shí)間。這樣，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)短時(shí)低電壓擾動(dòng)信號(hào)突變時(shí)刻的定位。2.檢測(cè)中的信號(hào)去噪

由于實(shí)際電壓信號(hào)的測(cè)量過程中總會(huì)引入噪聲，即檢測(cè)到的電壓擾動(dòng)信號(hào)是由原始擾動(dòng)信號(hào)和噪聲線性組合而成的。小波變換上線性變換，因此檢測(cè)到的信號(hào)的小波變換值也是由原始擾動(dòng)信號(hào)的小波變換值和噪聲的小波變換值疊加而成的。這樣，小波變換模極大值也就是有可能是由檢測(cè)噪聲所產(chǎn)生。因此，對(duì)于實(shí)際電壓信號(hào)，當(dāng)背景噪聲信號(hào)較強(qiáng)時(shí)，僅利用小波變換模極大值檢測(cè)其奇異點(diǎn)從而判斷擾動(dòng)的發(fā)生時(shí)刻和恢復(fù)時(shí)刻，有可能會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

定理3

函數(shù)的奇異點(diǎn)與小波變換模極大值之間有以下關(guān)系：如為函數(shù)的局部奇異點(diǎn)，即在該點(diǎn)上函數(shù)的小波變換有極大值，則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)對(duì)任意給定的，存在一常數(shù)A，使在采用離散二進(jìn)制尺度的小波變換中，上式變?yōu)椤Ｒ虼擞?/p>

(2-49)由式(2-49)可知，如函數(shù)在t處的Lipschitz指數(shù)為正值，則隨著j的增大，尺度不斷增大，小波變換模極大值的幅值也變大；如函數(shù)具有負(fù)的Lipschitz指數(shù)，則情況相反。通常認(rèn)為檢測(cè)噪聲為噪聲，是一個(gè)幾乎處處奇異的隨機(jī)分布函數(shù)，具有負(fù)的Lipschitz指數(shù)。因此，由式(2-49)可知，其小波變換模極大值的幅值將隨尺度j的增大而減小，從而主要集中在小尺度上。而一般電壓擾動(dòng)信號(hào)具有正的Lipschitz指數(shù)，其小波變換模極大值的幅值隨尺度j的增大而增大。由此，可根據(jù)電壓擾動(dòng)信號(hào)噪聲的小波變換模極大值在不同尺度上傳遞特性的不同，將擾動(dòng)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的小波變換模極大值與由白噪聲引起的小波變換模極大值區(qū)別開來，然后根據(jù)擾動(dòng)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的小波變換模極大值點(diǎn)來判斷電壓電壓暫降擾動(dòng)的開始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)的位置。3.電壓暫降擾動(dòng)信號(hào)檢測(cè)算法

取光滑函數(shù)為三次樣條光滑函數(shù)，則其一階導(dǎo)數(shù)為緊支二次樣條小波函數(shù)。對(duì)應(yīng)的波形如圖2-15所示。三次樣條光滑函數(shù)和緊支二次樣條小波函數(shù)相應(yīng)的傅立葉變換分別為具有緊支集的二次樣條小波函數(shù)相應(yīng)的濾波器傳遞函數(shù)為采用上述小波在5個(gè)相鄰尺度上計(jì)算信號(hào)的小波變換，并將其存入數(shù)組，檢測(cè)在這5個(gè)相鄰尺度上小波變換的極值。如在這5個(gè)相鄰尺度上相應(yīng)位置都有小波極值，而且其值不小于某一定值，則這一點(diǎn)便是候選點(diǎn)。

如上所述，檢測(cè)噪聲也可能產(chǎn)生小波變換模極大值，因此，需采用以下方法將其與擾動(dòng)信號(hào)區(qū)別開來。在不同尺度上，當(dāng)某小波變換的系數(shù)的模大于其相鄰兩點(diǎn)的值且至少嚴(yán)格大于其中一點(diǎn)的值時(shí)，記下該點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的小波變換系數(shù)；然后，將不同尺度上的小波變換模極大值按尺度增加的次序排列起來，即可得信號(hào)的小波變換模極大值圖。在小尺度上，小波變換的時(shí)間定位最精確，但由于檢測(cè)噪聲的存在，特別是當(dāng)噪聲較強(qiáng)時(shí)，有可能無法區(qū)分?jǐn)_動(dòng)信號(hào)的奇異點(diǎn)與檢測(cè)噪聲。但是，隨著尺度數(shù)的增加，由擾動(dòng)信號(hào)奇異點(diǎn)產(chǎn)生的小波變換模極大值逐漸增大，而由檢測(cè)噪聲產(chǎn)生的小波變換模極大值要比檢測(cè)噪聲產(chǎn)生的小波變換模極大值大得多，從而可將兩者區(qū)別開來。為此，可在較大尺度上選擇閾值，將每一小波變換模極大值與該尺度上的最大小波變換模極大值相比，如比值小于閾值，則說明該小波變換模極大值是由噪聲產(chǎn)生的，可將其去除。然后對(duì)于尺度上余下的各極大值點(diǎn)向上搜索其對(duì)應(yīng)的模極大值線，并將尺度上不在任一模極大值線上的極大值點(diǎn)舍去，則在小尺度上剩下的小波變換模極大值點(diǎn)中幅值最大的2個(gè)模極大值所對(duì)應(yīng)的就是電壓暫降發(fā)生的開始點(diǎn)和恢復(fù)點(diǎn)。4.仿真算例圖2-16為實(shí)測(cè)的電壓暫降擾動(dòng)波形。圖2-17為原擾動(dòng)信號(hào)采用本文中提出的緊支二次樣條小波函數(shù)在5個(gè)二進(jìn)尺度上所得小波變換的結(jié)果。圖2-18為原擾動(dòng)信號(hào)及相應(yīng)各尺度上小波變換模極大值。圖2-19為原擾動(dòng)信號(hào)去除檢測(cè)噪聲影響后各尺度上的小波變換模極大值。由圖2-18可見，在第一級(jí)尺度上，由于檢測(cè)噪聲的存在，小波變換模極大值點(diǎn)的密度很大。隨著小波變換尺度的增大，那些與檢測(cè)噪聲相對(duì)應(yīng)的模極大值點(diǎn)的幅值不斷減小，小波變換模極大值點(diǎn)的密度很快減小。由圖2-19可知，在小尺度上，根據(jù)幅值最大的兩個(gè)模極大值點(diǎn)，可以很容易地判斷出相應(yīng)的短時(shí)低電壓發(fā)生的開始點(diǎn)和恢復(fù)點(diǎn)以及擾動(dòng)的持續(xù)時(shí)間。仿真結(jié)果表明：信號(hào)的局部奇異性可通過信號(hào)的小波變換模極大值來表征。信號(hào)奇異點(diǎn)對(duì)應(yīng)的小波變換模極大值與檢測(cè)噪聲對(duì)應(yīng)的小波變換模極大值在不同的小波變換尺度上的傳遞性質(zhì)上不同的。利用這一特性，可以用小波變換對(duì)電能質(zhì)量分析中的電壓暫降信號(hào)的局部奇異性進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)電壓暫降擾動(dòng)的產(chǎn)生、結(jié)束時(shí)刻的精確定位。

第四節(jié)矢量變換與瞬時(shí)無功功率理論

在電工技術(shù)中，常將一組變量以列矩陣來表示，并稱其為矢量；一組變量的線性變換以矩陣形式表示稱為矢量變換。在電能質(zhì)量分析和控制中，往往通過矢量變換使問題的分析求解得以簡(jiǎn)化。例如，當(dāng)三相供電系統(tǒng)供電電壓為對(duì)稱的正弦交流時(shí)，可通過矢量變換，用撤除負(fù)荷電流基波有功分量的補(bǔ)償電流矢量作為可控變量，來實(shí)時(shí)補(bǔ)償三相負(fù)荷的無功功率變動(dòng)量，以抑制電力系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)變化。

矢量變換有多種形式，可分為變換、變換以及120變換等。

從坐標(biāo)變換和電機(jī)工程的觀點(diǎn)來看，變換和120變換屬于定子坐標(biāo)系變換，而變換屬于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系變換。一、矢量變換

1.變換假定同步電機(jī)的定子三相繞組空間上互差120°，且通以時(shí)間上互差120°的三相正弦交流電，此時(shí)，在空間上會(huì)建立一個(gè)角速度為的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。另外，若定子空間上有互相垂直的兩相繞組,且在繞組中通以互差90°的兩相平衡交流電流時(shí)，也能建立與三相繞組等效的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng),因而可用兩相繞組等效代替定子三相繞組的作用。這就是變換的思路,也是變換的思路,也是變換的物理解釋。如圖2-20所示，習(xí)慣上取相軸線與a相軸線重合

(為的是使變換關(guān)系式簡(jiǎn)化并且具有統(tǒng)一的形式)，相繞組軸線則越前相

90°。從上面的分析可以看出，變換是根據(jù)電機(jī)雙反應(yīng)原理所作的變換，其變換后的參考坐標(biāo)仍置于電機(jī)定子側(cè)，abc三相正弦交流電流經(jīng)過變換后，在兩相繞組上呈現(xiàn)為兩相交流電。

假設(shè)同步電機(jī)的定子三相繞組通以時(shí)間上互差120°的三相正弦交流電，其分別為，而經(jīng)過變換后的兩相電流分別為，則變換的公式為

(2-50)其反變換為(2-51)2.dq變換

變換，即著名的派克變換，是一種將參考坐標(biāo)自旋轉(zhuǎn)電機(jī)的定子側(cè)轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)子側(cè)的坐標(biāo)變換。1928年，派克(R.H.Park)提出用坐標(biāo)系統(tǒng)來表示同步電機(jī)基本方程，奠定了同步電機(jī)暫態(tài)分析的理論基礎(chǔ)、經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)，變換在電能質(zhì)量分析、無功補(bǔ)償及電機(jī)調(diào)速等技術(shù)領(lǐng)域又開拓了新的應(yīng)用。

如圖2-21所示，定子三相繞組的軸線a、b、c順序逆時(shí)針排列，轉(zhuǎn)子d軸相對(duì)定子a相軸線逆時(shí)針以角速度旋轉(zhuǎn)(初角度的選擇任意)，q軸超前

d軸90°電角度。

從物理的角度來看，定子三相電流相量的作用與轉(zhuǎn)子兩軸線直流電流以角速度(相對(duì)定子a相軸線)旋轉(zhuǎn)相當(dāng)。相當(dāng)于定子三相基波有功電流的作用，而相當(dāng)于定子三相基波無功電流的作用。這就是變換的思路，也是變換的物理解釋。其矢量圖如圖2-22所示。

由圖2-22可得

(2-52)由式(2-52)可以解出

(2-53)

若由式(2-53)求解式(2-52)，則需增加一個(gè)方程，在有零序電流時(shí)增加，而在無中性線或無零序電流時(shí)，則增加。此外，為使三相和兩相的變換功率守恒(即三相功率之和等于兩相功率之和)，對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行修改，最終可得標(biāo)準(zhǔn)變換矩陣方程式為

(2-54)其反變換矩陣方程式為

(2-55)通過上面分析可以看出，經(jīng)過變換、三相交流系統(tǒng)中的基波電流有功分量和無功分量在d-q坐標(biāo)系表示為直流分量(相當(dāng)于定子三相基波有功電流，而相當(dāng)于定子三相基波無功電流)。換一個(gè)角度講，當(dāng)被變換的三相電流軸既有基波電流，又有高次諧波電流時(shí)，那么，經(jīng)過變換后所獲得的直流分量對(duì)應(yīng)原來的h-1次諧波電流。因此，在電能質(zhì)量分析中，可以利用變換及反變換的結(jié)果來獲取除了基波成分之外的其他諧波分量之和。另外，通過以上分析可知，變換和變換的結(jié)果是有本質(zhì)區(qū)別的。變換屬于定子坐標(biāo)系變換，其變換后的結(jié)果仍是頻率保持不變的交流分量，且變換后兩變量為正交分量；而變換則屬于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系變換，其變換后的結(jié)果為直流分量(對(duì)應(yīng)原來的基波電流)和諧波分量(對(duì)應(yīng)原來的h-1次諧波電流)。【例2-1】若給出無中性線的三相不平衡波動(dòng)負(fù)荷的三相電流，在電源僅向負(fù)荷提供與電壓同相的基波有功電流的情況下，如何實(shí)現(xiàn)負(fù)荷的基波無功電流和諧波電流的補(bǔ)償？解設(shè)三相不平衡波動(dòng)負(fù)荷的三相電流分別為,

通過變換可得

(2-56)將上式中的計(jì)算結(jié)果分解為

(2-57)

式中——分別為的直流分量；

——分別為的交流分量。為補(bǔ)償負(fù)荷的基波無功電流和諧波電流，而電源只向負(fù)荷提供與電壓同相的基波有功電流，只要將變換至軸的電流，經(jīng)選頻電路濾除的直流分量，便可得欲被補(bǔ)償?shù)娜酂o功電流()，從而構(gòu)成補(bǔ)償電流矢量，以該矢量為可控變量，控制靜止無功補(bǔ)償器的輸出。由反變換矩陣方程式(2-55)可算出補(bǔ)償電流為

(2-58)上述變換矢量控制框圖可用2-23表示。

3.120變換

120變換又稱對(duì)稱分量變換，它是一種把三相電流相量用正序、負(fù)序和零序?qū)ΨQ分量來表示的變換。這種變換方法在《電力系統(tǒng)暫態(tài)分析》中已有詳細(xì)闡述，這里不再作詳細(xì)的說明，只列出其變換公式以供參考。其變換公式為

(2-59)

式中，互為共軛。

120變換的反變換公式為

(2-60)4.矢量相互變換的矩陣算式

(1)坐標(biāo)系矢量和坐標(biāo)系矢量

(2-61)(2-62)(2)坐標(biāo)系矢量和120坐標(biāo)系矢量

(2-63)(2-64)(3)坐標(biāo)系矢量和120坐標(biāo)系矢量

(2-65)(2-66)三、瞬時(shí)無功功率理論

三相電路瞬時(shí)無功功率理論由S.Fryze、

W.Quade和Akagi(赤木泰文)等先后提出，隨后

得到廣泛深入地研究并逐漸完善。該理論突破了傳統(tǒng)的以平均值為基礎(chǔ)的功率定義，系統(tǒng)地定義了瞬時(shí)無功功率、瞬時(shí)有功功率等瞬時(shí)功率量，以該理論為基礎(chǔ)，可以得到用于有源電力補(bǔ)償器的諧波和無功電流實(shí)時(shí)檢測(cè)方法。此方法在工程應(yīng)用中受到極大的關(guān)注。

1.瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率

設(shè)三相平衡電路各項(xiàng)電壓和電流的瞬時(shí)值分別為和。為了分析問題方便，把它們變換到兩相正交的坐標(biāo)系上，經(jīng)變換可以得到兩相瞬時(shí)電壓和兩相瞬時(shí)電流，即

(2-67)(2-68)式中

在圖2-24所示的平面上,矢量和分別可以合成為(旋轉(zhuǎn))電壓矢量和電流矢量(實(shí)際上矢量和分別為和在軸和軸的投影)，即

(2-69)(2-70)

式中根據(jù)式(2-67)和式(2-68)引入瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率，有

(2-71)(2-72)式(2-71)和式(2-72)寫成矩陣形式為

(2-73)

式中把式(2-67)、式(2-72)代入上式，可得出對(duì)于三相電壓、電流的表達(dá)式

(2-74)(2-75)

由此可將和作出含項(xiàng)的分解。如果不作變換，在有中線電流的情況下，三相有3個(gè)獨(dú)立電流分量，就不能唯一確定地將三相電流作出含項(xiàng)的分解，這就是為什么要作變換來分析的一個(gè)原因。

2.瞬時(shí)有功電流和瞬時(shí)無功電流

定義4

三相電路瞬時(shí)有功電流和瞬時(shí)無功電流分別為矢量在矢量及其法線上的投影，即

(2-77a)(2-77b)

式中定義5

相的瞬時(shí)無功電流(瞬時(shí)有功電流),為三相電路瞬時(shí)無功電流(瞬時(shí)無功電流)分別在()軸上的投影，即

(2-78a)(2-78b)(2-78c)(2-78d)

3.瞬時(shí)無功功率理論和傳統(tǒng)功率理論比較

傳統(tǒng)意義上的有功功率、無功功率等是在平均值基礎(chǔ)上定義的，而瞬時(shí)無功功率理論軸的概念，都是在瞬時(shí)值的基礎(chǔ)上定義的。瞬時(shí)無功功率理論中的概念，在形式上和傳統(tǒng)理論非常相似，可以看成是傳統(tǒng)理論的推廣和延伸。下面分析三相對(duì)稱電壓和電流均為正弦波時(shí)的情況，設(shè)三相電壓、電流分別為