微積分實(shí)驗(yàn)課程

數(shù)學(xué)建模

與

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模介紹培養(yǎng)興趣、提高能力、增長(zhǎng)知識(shí)數(shù)學(xué)教研室吳建國(guó)TelQ:2542237992010.10.14

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的內(nèi)容。該內(nèi)容的開設(shè)使得學(xué)生學(xué)會(huì)使用計(jì)算機(jī)中的數(shù)學(xué)軟件去做計(jì)算和研究工作，而不再是花大量的時(shí)間去鉆研計(jì)算技巧。本章介紹用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法。在MATLAB軟件中，%后的內(nèi)容為注釋內(nèi)容，程序不執(zhí)行，以下用“↘”表示回車。背景

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

一

什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

二

一元函數(shù)圖形的實(shí)驗(yàn)三數(shù)列的極限四一元函數(shù)的極限五一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法

與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)行的教學(xué)方法進(jìn)行改革，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)這門學(xué)科由于其自身的特性，要想達(dá)到像化學(xué)和物理那樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是比較困難的，但是可以根據(jù)它的特征，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，加進(jìn)新的內(nèi)容，特別是用現(xiàn)代化的學(xué)習(xí)工具，幫助我們加快掌握這門學(xué)科知識(shí)。計(jì)算機(jī)的發(fā)展，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了一個(gè)現(xiàn)代化的環(huán)境，把計(jì)算機(jī)引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，就能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。我們將這種用計(jì)算機(jī)借助于數(shù)學(xué)軟件代替紙和筆以及人的部分腦力勞動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段稱作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

<<微積分實(shí)驗(yàn)>>我們選用的軟件是MATLAB。簡(jiǎn)單的問題只要按規(guī)則輸入表達(dá)式就可以直接得到結(jié)果，復(fù)雜的問題也可以用軟件提供的語(yǔ)言編寫程序完成，而這種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言簡(jiǎn)單且容易掌握。當(dāng)然,我們也應(yīng)認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)只是紙和筆的延伸，計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)探索的工具，計(jì)算機(jī)提供對(duì)抽象概念的直觀感受。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課不是計(jì)算機(jī)程序課，數(shù)學(xué)思維是目的，計(jì)算機(jī)的使用只是手段。二數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，將微積分實(shí)驗(yàn)作為微積分的輔助課程，教學(xué)內(nèi)容互補(bǔ)，不重復(fù)微積分課程講述的基本內(nèi)容，而是讓學(xué)生了解MATLAB軟件的基本使用方法，對(duì)微積分課程所講述內(nèi)容通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去完成。主要介紹利用MATLAB軟件完成微積分基本運(yùn)算的方法，包括畫出初等函數(shù)的圖形，求數(shù)列、函數(shù)的極限，求導(dǎo)數(shù)等。三MATLAB簡(jiǎn)介

MATLAB是一種功能非常強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件，在正式使用它之前應(yīng)對(duì)它有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。這里將介紹MATLAB的歷史、MATLAB的特點(diǎn)及MATLAB工具箱。(一)MATLAB歷史

MATLAB源于MATrixLABoratory一詞，原意為矩陣實(shí)驗(yàn)室。在20世紀(jì)70年代中期，CleveMoler和其同事在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金的資助下研究開發(fā)了調(diào)用UNPACK和EISPACK的FORTRAN子程序庫(kù)。這兩個(gè)程序庫(kù)代表著當(dāng)時(shí)矩陣計(jì)算的最高水平。到20世紀(jì)70年代后期，身為新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系系主任的CleveMoler在給學(xué)生開線性代數(shù)課程時(shí)，他開始用業(yè)余時(shí)間為學(xué)生編寫使用方便的UNPACK和EISPACK的接口程序。CleveMoler給這個(gè)接口程序取名為MATLAB,意思是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”。不久以后，MATLAB受到了學(xué)生的普遍歡迎，并且MATLAB也成了應(yīng)用數(shù)學(xué)界的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。

(二)MATLAB特點(diǎn)

MATLAB語(yǔ)言主要有以下其他語(yǔ)言無可比擬的特點(diǎn)。

1．功能強(qiáng)大

MATLAB4.0以上（不包括4.0版本）的各版本，不僅在數(shù)值計(jì)算上繼續(xù)保持著相對(duì)其他同類軟件的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，而且還開發(fā)了自己的符號(hào)運(yùn)算功能。特別是MATLAB6版本在符號(hào)運(yùn)算功能上絲毫不遜于其他各類軟件．如MathCAD,Mathematica等。這樣，用戶就不必像以前的計(jì)算人員那樣在掌握MATLAB的同時(shí)還要學(xué)習(xí)另一種符號(hào)運(yùn)算軟件,用戶只要學(xué)會(huì)了MATLAB6x,就可以方便地處理諸如矩陣變換及運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算、微積分運(yùn)算、線性與非線性方程求解、常微分方程求解、偏微分方程求解、插值與擬合、統(tǒng)計(jì)及優(yōu)化等問題了。

2．語(yǔ)言簡(jiǎn)單

MATLAB還專門為初學(xué)者（包括其中某一個(gè)工具箱的初學(xué)者）提供了功能演示窗口，用戶可以從中得到感興趣的例子及演示。

3.擴(kuò)充能力強(qiáng)、可開發(fā)性強(qiáng)

MATLAB能發(fā)展到今天這種程度，它的可擴(kuò)充性和可開發(fā)性起著不可估量的作用。MATLAB本身就像一個(gè)解釋系統(tǒng)，對(duì)其中的函數(shù)程序的執(zhí)行以一種解釋執(zhí)行的方式進(jìn)行。這樣的好處是MATLAB完全成了一個(gè)開放的系統(tǒng)，用戶可以方便地看到函數(shù)的源程序，也可以方便地開發(fā)自己的程序，甚至創(chuàng)建自己的“庫(kù)”另外，MATLAB并不“排他”，MATLAB可以方便地與FORTRAN,C等語(yǔ)言接口，以充分利用各種資源。用戶只需將己有的EXE文件轉(zhuǎn)換成MEX文件，就可以方便地調(diào)用有關(guān)程序和子程序。

4.編程易、效率高

從形式上看，MATLAB程序文件是一個(gè)純文本文件，擴(kuò)展名為m.用任何字處理軟件都可以對(duì)它進(jìn)行編寫和修改，因此程序易調(diào)試，人機(jī)交互性強(qiáng)。

(三)MATLAB工具箱及啟動(dòng)

MATLAB工具箱主要包括：

(1)控制系統(tǒng)工具箱(ControlSystemsToolbox)；

(2)系統(tǒng)辨識(shí)工具箱(SystemIdentificationToolbox）；

(3)魯棒控制工具箱(RobustControlToolbox）；

(4)多變量頻率設(shè)計(jì)工具箱(Multivariab一eFrequencyDesignToolbox）；

(5)p分析與綜合工具箱(x-analysisAndSynthesisToolbox)；

(6)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱(NeuralNetworkToolbox)；

(7)最優(yōu)化工具箱(OptimizationToolbox）；

(8)小波分析工具箱(WaveletToolbox）；

(9)通訊工具箱(CommunicationToolbox)；（10)財(cái)政金融工具箱(FinanicalToolbox）；

(11）頗率域系統(tǒng)辨識(shí)工具箱(FrequencyDomainSystem

IdentificationToolbox)；

（12）模糊邏輯工具箱(FuzzyLogicToolbox）；（13）商階譜分析工具箱(HigherOrderSpectralAnalysisToolbox）；（14）圖像處理工具箱(ImageProcessingToolbox）；（15）線性矩陣不等式控制工具箱(LMIControlToolbox)；（16）模型預(yù)測(cè)控制工具箱(ModelPredictiveControlToolbox）；（17)偏徽分方程工具箱(PartialDifferentialEquationToolbox)；（18）信號(hào)處理工具箱(SignalProcessingToolbox）；（19)樣條工具箱(SplineToolbox）；

(20)統(tǒng)計(jì)工具箱(StatisticsToolbox)；

(21)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱(SymbolicMathToolbox)；

(22)電廠系統(tǒng)(PowerSystem)1.進(jìn)入MATLAB

雙擊桌面上MATLAB圖標(biāo),即可進(jìn)入MATLAB系統(tǒng)。這時(shí)，屏幕上會(huì)顯示一個(gè)啟動(dòng)畫面，片刻之后，出現(xiàn)一個(gè)工作屏幕（命令窗口）。命令窗口工作空間瀏覽命令歷史窗口命令窗口、編輯窗口、圖形窗口在MATLAB的命令窗口里，可用Ctrl+C來終止正在運(yùn)行的程序。進(jìn)入matlab后的設(shè)置:1,設(shè)置字號(hào)(缺省設(shè)置為8):File->Priferences->CommandWindowfont->TimesNewRoman,字號(hào)大小設(shè)為24較好.便于演示時(shí)能清楚顯示.2.設(shè)置輸出格式(缺省設(shè)置為短格式):File->Priferences->general->NumericFormat->Rationa.設(shè)置為有理格式.這樣輸出的結(jié)果為有理數(shù)了.本實(shí)驗(yàn)課程采用matlab5.3的免安裝版本,運(yùn)行后只有命令窗口.若安裝6.0以上版本,則窗口界面如上所示.進(jìn)入Matlab界面3.退出MATLAB

要退出MATLAB系統(tǒng),可按如下方式進(jìn)行：

1.在文件菜單(File)中選擇“Exit”或“Quit”。

2.用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口右上角的關(guān)閉圖標(biāo)“X”。2.MATLAB的主要特點(diǎn)

①?gòu)?qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能

②強(qiáng)大的圖形處理能力

③高效、簡(jiǎn)單的程序環(huán)境

④豐富的工具箱微積分運(yùn)算的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí):第一章函數(shù)的極限(重點(diǎn):初等函數(shù)及圖形，數(shù)列、函數(shù)的極限，二個(gè)重要極限，連續(xù)與間斷)第二章導(dǎo)數(shù)(重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的定義，運(yùn)算法則)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

本實(shí)驗(yàn)的目的是熟悉MATLAB軟件在微積分運(yùn)算方面的命令函數(shù)：畫圖形的函數(shù)plot，fplot,ezplot；求極限的函數(shù)limit；求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)diff。

用計(jì)算機(jī)完成微積分的基本運(yùn)算。微積分運(yùn)算實(shí)驗(yàn)

一、繪圖功能二、微積分運(yùn)算的注意事項(xiàng)

三、極限運(yùn)算四、微分與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

作為一個(gè)功能強(qiáng)大的工具軟件，Matlab具有很強(qiáng)的圖形處理功能，提供了大量的二維、三維圖形函數(shù)。由于系統(tǒng)采用面向?qū)ο蟮募夹g(shù)和豐富的矩陣運(yùn)算，所以在圖形處理方面即方便又高效。一、繪圖功能1.二維圖形一、plot—數(shù)據(jù)點(diǎn)繪圖命令命令格式：plot(x,y)

其中x和y為坐標(biāo)向量命令功能：以向量x、y為軸，繪制曲線?！纠?】在區(qū)間0≤X≤2內(nèi)，繪制正弦曲線Y=sin(x)，其程序?yàn)椋簒=0:pi/100:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)【例2】同時(shí)繪制正、余弦兩條曲線y1=sin(x)和y2=cos(x)，其程序?yàn)椋簒=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,x,y2)plot函數(shù)還可以為plot(x,y1,x,y2，x,y3，…)形式，其功能是以公共向量x為X軸，分別以y1，y2，y3，…為Y軸，在同一幅圖內(nèi)繪制出多條曲線。（一）線型與顏色格式：plot(x,y1,’cs’,...)其中c表示顏色，s表示線型?！纠?】用不同線型和顏色重新繪制例2圖形，其程序?yàn)椋簒=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,'go',x,y2,'b-.')其中參數(shù)'go'和'b-.'表示圖形的顏色和線型。g表示綠色，o表示圖形線型為圓圈；b表示藍(lán)色，-.表示圖形線型為點(diǎn)劃線。繪圖基本線型和顏色（二）圖形標(biāo)記在繪制圖形的同時(shí)，可以對(duì)圖形加上一些說明，如圖形名稱、圖形某一部分的含義、坐標(biāo)說明等，將這些操作稱為添加圖形標(biāo)記。title(‘加圖形標(biāo)題');xlabel('加X軸標(biāo)記');ylabel('加Y軸標(biāo)記');text(X,Y,'添加文本');（三）設(shè)定坐標(biāo)軸用戶若對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)不滿意，可利用axis命令對(duì)其重新設(shè)定。axis([xmin

xmax

ymin

ymax])設(shè)定最大和最小值axis（’auto’）將坐標(biāo)系統(tǒng)返回到自動(dòng)缺省狀態(tài)axis（’square’）將當(dāng)前圖形設(shè)置為方形axis（’equal’）兩個(gè)坐標(biāo)因子設(shè)成相等axis（’off’）關(guān)閉坐標(biāo)系統(tǒng)axis（’on’）顯示坐標(biāo)系統(tǒng)【例4】在坐標(biāo)范圍0≤x≤2π,-2≤y≤2內(nèi)重新繪制正弦曲線，其程序?yàn)椋簒=linspace(0,2*pi,60);

%生成含有60個(gè)數(shù)據(jù)元素的向量xy=sin(x);plot(x,y);axis([02*pi-22]);%設(shè)定坐標(biāo)軸范圍（四）加圖例給圖形加圖例命令為legend。該命令把圖例放置在圖形空白處，用戶還可以通過鼠標(biāo)移動(dòng)圖例，將其放到希望的位置。格式:legend('圖例說明','圖例說明');【例5】為正弦、余弦曲線增加圖例，其程序?yàn)椋簒=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,x,y2,'--');legend('sin(x)','cos(x)');（五）加網(wǎng)格線命令若在圖形中加網(wǎng)格線，用gridon。閱讀以下程序：x=-2:0.1:2;%產(chǎn)生橫坐標(biāo)x數(shù)組y=x.^3-3*x;%計(jì)算由y=x^3-3x確定的縱坐標(biāo)y數(shù)組plot(x,y)

%繪圖gridon

%給圖形加上網(wǎng)格線axisequal

%使x,y軸單位刻度相等（一）subplot（m,n,p）該命令將當(dāng)前圖形窗口分成m×n個(gè)繪圖區(qū)，即每行n個(gè)，共m行，區(qū)號(hào)按行優(yōu)先編號(hào)，且選定第p個(gè)區(qū)為當(dāng)前活動(dòng)區(qū)。二、subplot—并列繪圖命令【例6】在一個(gè)圖形窗口中同時(shí)繪制正弦、余弦、正切、余切曲線，程序?yàn)椋簒=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);t=sin(x)./(cos(x)+eps);%eps為系統(tǒng)內(nèi)部常數(shù)ct=cos(x)./(sin(x)+eps);subplot(2,2,1);%分成2×2區(qū)域且指定1號(hào)為活動(dòng)區(qū)plot(x,y);title('sin(x)');axis([02*pi-11]);subplot(2,2,2);plot(x,z);title('cos(x)');axis([02*pi-11]);subplot(2,2,3);plot(x,t);title('tangent(x)');axis([02*pi-4040]);subplot(2,2,4);plot(x,ct);title('cotangent(x)');axis([02*pi-4040]);（二）figure—多圖形窗口繪圖命令需要建立多個(gè)圖形窗口，繪制并保持每一個(gè)窗口的圖形，可以使用figure命令。每執(zhí)行一次figure命令，就創(chuàng)建一個(gè)新的圖形窗口，該窗口自動(dòng)為活動(dòng)窗口，若需要還可以返回該窗口的識(shí)別號(hào)碼，稱該號(hào)碼為句柄。句柄顯示在圖形窗口的標(biāo)題欄中，即圖形窗口標(biāo)題。用戶可通過句柄激活或關(guān)閉某圖形窗口，而axis、xlabel、title等許多命令也只對(duì)活動(dòng)窗口有效。重新繪制上例4個(gè)圖形，程序變動(dòng)后如下：x=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);t=sin(x)./(cos(x)+eps);ct=cos(x)./(sin(x)+eps);H1=figure;%創(chuàng)建新窗口并返回句柄到變量H1plot(x,y);%繪制圖形并設(shè)置有關(guān)屬性title('sin(x)');axis([02*pi-11]);H2=figure;%創(chuàng)建第二個(gè)窗口并返回句柄到變量H2plot(x,z);%繪制圖形并設(shè)置有關(guān)屬性title('cos(x)');axis([02*pi-11]);H3=figure;%同上plot(x,t);title('tangent(x)');axis([02*pi-4040]);H4=figure;%同上plot(x,ct);title('cotangent(x)');axis([02*pi-4040]);（三）hold—圖形保持命令若在已存在圖形窗口中用plot命令繼續(xù)添加新的圖形內(nèi)容，可使用圖形保持命令hold。發(fā)出命令holdon后，再執(zhí)行plot命令，在保持原有圖形或曲線的基礎(chǔ)上，添加新繪制的圖形。閱讀如下程序：x=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'b');%繪制正弦曲線holdon;%設(shè)置圖形保持狀態(tài)plot(x,z,'g');%保持正弦曲線同時(shí)繪制余弦曲線axis([02*pi-11]);legend('cos','sin');holdoff%關(guān)閉圖形保持三、fplot--函數(shù)f(x)繪圖命令fplot函數(shù)則可自適應(yīng)地對(duì)函數(shù)進(jìn)行采樣，能更好地反應(yīng)函數(shù)的變化規(guī)律。fplot函數(shù)格式：fplot(fname，lims)其中fname為函數(shù)名，以字符串形式出現(xiàn)，

lims=[a,b]或[a,b,c,d]，為變量取值范圍。

a,b為x的區(qū)間，c,d為y的區(qū)間。例：fplot('sin(x)',[02*pi],'-+')fplot('[sin(x),cos(x)]',[02*pi],'.')

%同時(shí)繪制正弦、余弦曲線為繪制f(x)=cos(tan(πx))曲線，可先建立函數(shù)文件fct.m，其內(nèi)容為：functiony=fct(x)y=cos(tan(pi*x));用fplot函數(shù)調(diào)用fct.m函數(shù)，其命令為：fplot(‘fct’,[01])四、ezplot—符號(hào)函數(shù)的繪圖命令ezplot函數(shù)格式：ezplot(‘fname’，lims)其中fname為函數(shù)名，以字符串形式出現(xiàn)，

lims=[a,b]或[a,b,c,d]，為變量取值范圍。例：%繪制正弦函數(shù)從0到2pi區(qū)間上的圖形ezplot(‘sin(x)’,[02*pi])%繪制隱函數(shù)f(x,y)=0在[a,b]與[c,d]區(qū)間上的圖形

ezplot('4*x^2+16*y^2-3',[-11-11])%繪制參數(shù)方程x=sinx,y=cosx的圖形ezplot('sin(x)','cos(x)',[02*pi])二、極坐標(biāo)圖函數(shù)polar(theta,rho)用來繪制極坐標(biāo)圖，theta為極坐標(biāo)角度，rho為極坐標(biāo)半徑【例8】繪制sin(2*θ)*cos(2*θ)的極坐標(biāo)圖，程序?yàn)椋簍heta=[0:0.01:2*pi];rho=sin(2*theta).*cos(2*theta);polar(theta,rho);%繪制極坐標(biāo)圖命令title('polarplot');3其它圖形函數(shù)一、階梯圖形函數(shù)stairs(x,y)可以繪制階梯圖形，如下列程序段：x=[-2.5:0.25:2.5];y=exp(-x.*x);stairs(x,y);%繪制階梯圖形命令title('stairsplot');二、條形圖形函數(shù)bar(x,y)可以繪制條形圖形，如下列程序段將繪制條形圖形x=[-2.5:0.25:2.5];y=exp(-x.*x);bar(x,y);%繪制條形圖命令三、填充圖形fill(x,y,’c’)函數(shù)用來繪制并填充二維多邊圖形，x和y為二維多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)向量。字符’c’規(guī)定填充顏色，其取值前已敘述。下述程序段繪制一正方形并以黃色填充：x=[01100];%正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)向量y=[00110];fill(x,y,'y');%繪制并以黃色填充正方形圖再如：x=[0:0.025:2*pi];y=sin(3*x);fill(x,y,[0.50.30.4]);%顏色向量Matlab系統(tǒng)可用向量表示顏色，通常稱其為顏色向量?；绢伾蛄坑肹rgb]表示，即RGB顏色組合；以RGB為基本色，通過r,g,b在0~1范圍內(nèi)的不同取值可以組合出各種顏色。小結(jié)常用繪圖命令：plot:用于數(shù)據(jù)點(diǎn)繪圖。fplot:用于函數(shù)繪圖。ezplot:用于符號(hào)函數(shù)繪圖?？衫L制隱函數(shù)和參數(shù)方程的圖形。區(qū)別與差異：plot,fplot可對(duì)圖形的線形，顏色作出控制，而ezplot則不能。fplot可繪出比較精確的圖形，而ezplot一般較適宜畫不太精確的圖形。二維繪圖函數(shù)小結(jié)plot二維圖形基本函數(shù)fplotf(x)函數(shù)曲線繪制ezplot

符號(hào)函數(shù)繪圖fill填充二維多邊圖形polar極坐標(biāo)圖bar條形圖loglog

雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖semilogxX軸為對(duì)數(shù)的坐標(biāo)圖semilogyY軸為對(duì)數(shù)的坐標(biāo)圖stairs階梯形圖axis設(shè)置坐標(biāo)軸figure創(chuàng)建圖形窗口grid放置坐標(biāo)網(wǎng)格線hold保持當(dāng)前圖形窗口內(nèi)容subplot創(chuàng)建子圖title放置圖形標(biāo)題xlabel

放置X軸坐標(biāo)標(biāo)記ylabel

放置Y軸坐標(biāo)標(biāo)記閱讀下面程序:%繪制擺線:holdont=0:0.01:4*pi;fora=1:1:3x=a*(t-sin(t));y=a*(1-cos(t));

plot(x,y)endh=[3210.5];%在曲線上取不同的點(diǎn)a=(exp(h)-1)./h;%計(jì)算連接點(diǎn)M與與點(diǎn)P的各條割線的斜率x=-1:0.1:3;%選定圖形的自變量范圍plot(x,exp(x),'r');%作函數(shù)圖形holdon;%在圖形上繼續(xù)作圖fori=1:4

plot(h(i),exp(h(i)),'w')%在圖上作出不同的點(diǎn)

plot(x,a(i)*x+1)%作割線的圖endaxissquare%把所有圖形放在一個(gè)正方形框內(nèi)plot(x,x+1,'g')%畫出切線的圖形畫出在點(diǎn)P(0,1)處的切線及若干條割線,觀察割線的變化趨勢(shì),理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義.

三維圖形一、plot3函數(shù)最基本的三維圖形函數(shù)為plot3，它是將二維函數(shù)plot的有關(guān)功能擴(kuò)展到三維空間，用來繪制三維圖形。函數(shù)格式：plot3(x1,y1,z1,c1,x2,y2,z2,c2,…)

其中x1,y1,z1…表示三維坐標(biāo)向量，c1，c2…表示線形或顏色。函數(shù)功能：以向量x，y，z為坐標(biāo)，繪制三維曲線?！纠?】繪制三維螺旋曲線，其程序?yàn)椋簍=0:pi/50:10*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);plot3(y1,y2,t);title('helix'),text(0,0,0,'origin');xlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),zlabel('t');grid;二、mesh函數(shù)mesh函數(shù)用于繪制三維網(wǎng)格圖。在不需要繪制特別精細(xì)的三維曲面結(jié)構(gòu)圖時(shí)，可以通過繪制三維網(wǎng)格圖來表示三維曲面。三維曲面的網(wǎng)格圖最突出的優(yōu)點(diǎn)是：它較好地解決了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在三維空間的可視化問題。函數(shù)格式：mesh(x,y,z,c)其中x，y控制X和Y軸坐標(biāo)，矩陣z是由(x，y)求得Z軸坐標(biāo)，(x,y,z)組成了三維空間的網(wǎng)格點(diǎn)；c用于控制網(wǎng)格點(diǎn)顏色?！纠?0】下列程序繪制三維網(wǎng)格曲面圖x=[0:0.15:2*pi];y=[0:0.15:2*pi];z=sin(y')*cos(x);%矩陣相乘mesh(x,y,z);三、surf函數(shù)surf用于繪制三維曲面圖，各線條之間的補(bǔ)面用顏色填充。surf函數(shù)和mesh函數(shù)的調(diào)用格式一致。函數(shù)格式:surf(x,y,z)其中x，y控制X和Y軸坐標(biāo)，矩陣z是由x，y求得的曲面上Z軸坐標(biāo)。【例11】下列程序繪制三維曲面圖形x=[0:0.15:2*pi];y=[0:0.15:2*pi];z=sin(y')*cos(x);%矩陣相乘surf(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-label');title('3-Dsurf');例繪制馬鞍面的圖形，并用平行截面法觀察馬鞍面的特點(diǎn)x=-4:0.1:4;y=x;[mx,my]=meshgrid(x,y);mz=mx.^2-my.^2;ix=find(mx==2);px=2*ones(1,length(ix));py=my(ix);pz=mz(ix);subplot(1,2,1)holdonmesh(mx,my,mz)plot3(px,py',pz','r*')subplot(1,2,2)plot3(px,py',pz')非數(shù)值的微積分運(yùn)算，在MATLAB中稱為符號(hào)二、微積分運(yùn)算的注意事項(xiàng)

(1)均需使用命令“sym”或“syms”創(chuàng)建符號(hào)變量和(2)先創(chuàng)建符號(hào)變量，然后才能創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式；符號(hào)表達(dá)式，然后才能進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算；運(yùn)算，使用時(shí)有以下要求：求表達(dá)式極限的命令用“l(fā)imit”，基本用法見下表表達(dá)式輸入命令格式備注limit(f,x,a)若a=0，且是對(duì)x求極限，可簡(jiǎn)寫為limit(f)limit(f,x,a,’left’)趨于a的左極限limit(f,x,a,’right’)趨于a的右極限二、極限運(yùn)算例1、求函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的極限。解

輸入及結(jié)果如下：f2=a*x^2+3*x+c

>>symsabcx%定義a,b,c,x為符號(hào)變量>>f=sym(‘a(chǎn)*x^2+b*x+c’);

%定義函數(shù)

>>f1=limit(f,x,2)

%求x->2時(shí)的極限f1=4*a+2*b+c>>f2=limit(f,b,3)

%求b->3時(shí)的極限

[例2]計(jì)算>>symsxt;>>limit(tan(x)/x)ans=1繪圖命令：ezplot('tan(x)/x',[-11])>>limit((x-1)/(x^2-1),1)ans=1/2>>limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0)ans=-sin(x)>>limit(1/x,x,0,'left')

ans=

-inf

>>limit(1/x,x,0,'right')

ans=

inf[例3]求極限>>symsx;>>limit((tan(x))^(1/log(x)),x,0,'right')

ans=

x

ans=

exp(1)[例4]求極限>>symsx>>y=limit(x*(sqrt(x^2+1)-x),x,inf,’right’)

y=

1/2例5、用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)

f(x)=cos(x)的導(dǎo)數(shù)。解

輸入及結(jié)果如下：ans=-sin(x)

>>symstx>>limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0)閱讀以下程序：symsx;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,1)%畫出函數(shù)圖形X=-6:0.1:6;Y=-6:0.1:6;ezplot(f,[-66])holdon;plot(X,-1,-1,Y)>>symsx;>>limit(sin(x)/x)ans=1

%繪圖命令：ezplot(‘sin(x)/x',[-11])[例7]計(jì)算二個(gè)重要極限：>>symsn;>>limit((1+1/n)^(n))ans=exp(1)

%繪圖命令：ezplot('(1+1/n)^n',[11000])例

在區(qū)間[-4,4]上作出函數(shù)的圖形,并研究和>>fplot('(x^3-9*x)/(x