數(shù)字信號(hào)處理第二章-2-2

數(shù)字信號(hào)處理

DigitalSignalProcessing2.5序列的Z變換2.6利用z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性2.5序列的Z變換Z變換在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用就如同拉氏變換在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的作用一樣，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，使其求解大大簡(jiǎn)化。模擬信號(hào)和系統(tǒng)中頻域分析復(fù)頻域分析傅里葉變換拉普拉斯變換時(shí)域離散信號(hào)系統(tǒng)頻域分析復(fù)頻域分析傅里葉變換Z變換1.

定義存在條件：絕對(duì)可和可小到0可大到2.5.1Z變換的定義單邊Z變換：極點(diǎn)和零點(diǎn)的概念：常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示。

使的點(diǎn)叫的零點(diǎn)，使的點(diǎn)叫的極點(diǎn)。欲使Z變換存在，收斂域中不能有極點(diǎn)，也就是說(shuō)收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界的。*FT和ZT的關(guān)系：?jiǎn)挝粓A上的Z變換就是序列的傅立葉變換。z=e

jω表示在Z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。

由于是對(duì)有限項(xiàng)求和，所以除0和兩點(diǎn)是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)Z平面均收斂。1.有限長(zhǎng)序列整個(gè)Z平面均收斂其Z變換為2.5.2

序列特性對(duì)收斂域的影響*即右序列圓外域左序列圓內(nèi)域雙邊序列環(huán)狀域2.

右序列當(dāng)時(shí)

第一個(gè)序列為有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)榈诙€(gè)序列為因果序列，其收斂域?yàn)閷蓚€(gè)收斂域相與，得到收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，沒(méi)有第一項(xiàng)，所以收斂域?yàn)閳A外域3.左序列如果n2<0，沒(méi)有第二項(xiàng)，則收斂域?yàn)楫?dāng)n2>0時(shí)第一項(xiàng)的收斂域?yàn)樽笮蛄?收斂域?yàn)榈诙?xiàng)有限長(zhǎng)序列,收斂域?yàn)閷蓚€(gè)收斂域相與，得到收斂域?yàn)閳A內(nèi)域4.雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看成是一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和。X(z)的收斂域?yàn)閮蓚€(gè)收斂域的公共部分。如果，則兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共收斂域，即收斂域不存在。如果，其收斂域?yàn)?，是一環(huán)狀域。環(huán)狀域

（1）收斂域中無(wú)極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為界。（2）同一個(gè)Z變換函數(shù)，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列是不同的。（3）右序列收斂域必在某個(gè)圓之外，左序列收斂域必在某個(gè)圓內(nèi)。注環(huán)狀域圓內(nèi)域圓外域留數(shù)法（殘數(shù)法）部分分式展開(kāi)法長(zhǎng)除法§2.5.3

序列的逆z變換定義：c是X(z)收斂域內(nèi)一條逆時(shí)針的閉合曲線c1.留數(shù)法逆Z變換是圍線C內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。如果在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用表示，則有留數(shù)定理：討論1.如果Zk是單極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理2.如果Zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理留數(shù)輔助定理則成立條件：F(z)的分母階次比分子階次高二階或以上。

設(shè)在Z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將Z平面上極點(diǎn)分成兩部分：c內(nèi)極點(diǎn)N1個(gè)，c外極點(diǎn)N2個(gè)定理說(shuō)明：在滿足輔助定理?xiàng)l件情況下，如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外極點(diǎn)沒(méi)有高階的，可以改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。例2.5.6，*2.5.7，例6.3.32.長(zhǎng)除法該方法也稱為冪級(jí)數(shù)法，它是指利用Z變換定義，用長(zhǎng)除的方法將X(z)寫成冪級(jí)數(shù)形式，其系數(shù)就是序列x(n)。該方法的缺點(diǎn)是在復(fù)雜的情況下，很難得到x(n)的封閉解形式。說(shuō)明：如果x(n)是右序列，分子分母按Z的降冪（或的升冪）排列,

得到的結(jié)果應(yīng)該是負(fù)冪級(jí)數(shù)：

如果x(n)是左序列，分子分母按Z的升冪（或的降冪）排列,

得到的結(jié)果應(yīng)該是正冪級(jí)數(shù)。*3.部分分式展開(kāi)法該方法適合于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列。

設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階的，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單常用的部分分式之和，通過(guò)查表求得各部分的逆變換，再相加即得原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成：由此式可見(jiàn)：在極點(diǎn)z=0的留數(shù)就是系數(shù),在的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)。由此求得系數(shù)Am后，很容易得到序列。例2.5.10

相加后Z變換的收斂域一般為兩個(gè)序列原來(lái)收斂域的交集，某些情況下個(gè)別零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消后可能擴(kuò)大收斂域?！?.5.4 Z變換的性質(zhì)和定理1、線性*2、序列的移位￥-￥=-==?nnznxnxzX)()]([ZT)(3、乘以指數(shù)序列4、序列乘以n5、復(fù)序列取共軛*7、終值定理如果

x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其他極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則：*6、初值定理*8、序列卷積9、復(fù)卷積定理（序列相乘）

c是v平面收斂域中一條閉合單圍線。10、帕斯維爾定理物理意義：時(shí)域的序列能量=頻域的頻譜能量§2.5.5

利用Z變換解差分方程N(yùn)階線性常系數(shù)差分方程

在數(shù)字信號(hào)處理中，一般只研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)在加入輸入序列之前是處在“零狀態(tài)”下，也就是系統(tǒng)的任何部分都沒(méi)有預(yù)先賦予初值，無(wú)需考慮初始狀態(tài)。這是大多數(shù)系統(tǒng)的實(shí)際工作情況。

在求解給定初始條件的離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)，則應(yīng)用單邊z變換，求出系統(tǒng)的暫態(tài)解。Ⅰ）求零狀態(tài)響應(yīng)Ⅱ）求零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)求移位序列的單邊Z變換：設(shè)設(shè)x(n)是因果序列，已知初始條件y(-1),y(-2),…y(-N)零狀態(tài)解零輸入解考慮了初始狀態(tài)的Z變換稱的傅里葉變換： 為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

(頻率響應(yīng)）?！?.6利用z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性一、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)

單位脈沖響應(yīng)h(n)：設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對(duì)輸入為單位樣值序列的響應(yīng)稱為。稱的Z變換： 為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。如果H(z)的收斂域包含單位圓，即：?jiǎn)挝粯又淀憫?yīng)在單位圓上的Z變換就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。極點(diǎn)位置與h(n)形狀的關(guān)系如圖所示。極點(diǎn)位置與h(n)形狀的關(guān)系單位圓上等幅單位圓外增幅單位圓內(nèi)減幅穩(wěn)定性：要求收斂域包含單位圓。因果、穩(wěn)定：

即H(z)的極點(diǎn)集中在單位圓內(nèi)二、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足：n<0時(shí)，h(n)=0其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域，一定包含*P59，例2.6.1三、利用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性把系統(tǒng)函數(shù)表示為：

其中：是系統(tǒng)零點(diǎn)；是系統(tǒng)極點(diǎn)。A=b0/a0。設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定零點(diǎn)矢量極點(diǎn)矢量其中當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，幅度特性將出現(xiàn)峰值,極點(diǎn)越靠近單位圓，峰值越高越尖銳。但極點(diǎn)過(guò)于靠近單位圓，容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因?yàn)榉忍匦詾闊o(wú)窮。極點(diǎn)在z=0處，矢量長(zhǎng)度始終為1，所以對(duì)幅度響應(yīng)沒(méi)有影響。當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近時(shí)，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值。零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零。當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，谷