數(shù)字信號處理第二章-2-2

數(shù)字信號處理

DigitalSignalProcessing2.5序列的Z變換2.6利用z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.5序列的Z變換Z變換在離散時間系統(tǒng)中的作用就如同拉氏變換在連續(xù)時間系統(tǒng)中的作用一樣，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解大大簡化。模擬信號和系統(tǒng)中頻域分析復(fù)頻域分析傅里葉變換拉普拉斯變換時域離散信號系統(tǒng)頻域分析復(fù)頻域分析傅里葉變換Z變換1.

定義存在條件：絕對可和可小到0可大到2.5.1Z變換的定義單邊Z變換：極點和零點的概念：常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示。

使的點叫的零點，使的點叫的極點。欲使Z變換存在，收斂域中不能有極點，也就是說收斂域總是用極點限定其邊界的。*FT和ZT的關(guān)系：單位圓上的Z變換就是序列的傅立葉變換。z=e

jω表示在Z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。

由于是對有限項求和，所以除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個Z平面均收斂。1.有限長序列整個Z平面均收斂其Z變換為2.5.2

序列特性對收斂域的影響*即右序列圓外域左序列圓內(nèi)域雙邊序列環(huán)狀域2.

右序列當(dāng)時

第一個序列為有限長序列，其收斂域為第二個序列為因果序列，其收斂域為將兩個收斂域相與，得到收斂域為當(dāng)時，沒有第一項，所以收斂域為圓外域3.左序列如果n2<0，沒有第二項，則收斂域為當(dāng)n2>0時第一項的收斂域為左序列,收斂域為第二項有限長序列,收斂域為將兩個收斂域相與，得到收斂域為圓內(nèi)域4.雙邊序列一個雙邊序列可以看成是一個左序列和一個右序列之和。X(z)的收斂域為兩個收斂域的公共部分。如果，則兩個收斂域沒有公共收斂域，即收斂域不存在。如果，其收斂域為，是一環(huán)狀域。環(huán)狀域

（1）收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界。（2）同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列是不同的。（3）右序列收斂域必在某個圓之外，左序列收斂域必在某個圓內(nèi)。注環(huán)狀域圓內(nèi)域圓外域留數(shù)法（殘數(shù)法）部分分式展開法長除法§2.5.3

序列的逆z變換定義：c是X(z)收斂域內(nèi)一條逆時針的閉合曲線c1.留數(shù)法逆Z變換是圍線C內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。如果在圍線c內(nèi)的極點用表示，則有留數(shù)定理：討論1.如果Zk是單極點，則根據(jù)留數(shù)定理2.如果Zk是N階極點，則根據(jù)留數(shù)定理留數(shù)輔助定理則成立條件：F(z)的分母階次比分子階次高二階或以上。

設(shè)在Z平面上有N個極點，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將Z平面上極點分成兩部分：c內(nèi)極點N1個，c外極點N2個定理說明：在滿足輔助定理條件情況下，如果c內(nèi)有多階極點，而c外極點沒有高階的，可以改求c圓外極點留數(shù)之和，最后加一個負(fù)號。例2.5.6，*2.5.7，例6.3.32.長除法該方法也稱為冪級數(shù)法，它是指利用Z變換定義，用長除的方法將X(z)寫成冪級數(shù)形式，其系數(shù)就是序列x(n)。該方法的缺點是在復(fù)雜的情況下，很難得到x(n)的封閉解形式。說明：如果x(n)是右序列，分子分母按Z的降冪（或的升冪）排列,

得到的結(jié)果應(yīng)該是負(fù)冪級數(shù)：

如果x(n)是左序列，分子分母按Z的升冪（或的降冪）排列,

得到的結(jié)果應(yīng)該是正冪級數(shù)。*3.部分分式展開法該方法適合于大多數(shù)單階極點的序列。

設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階的，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單常用的部分分式之和，通過查表求得各部分的逆變換，再相加即得原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個一階極點，可展成：由此式可見：在極點z=0的留數(shù)就是系數(shù),在的極點留數(shù)就是系數(shù)。由此求得系數(shù)Am后，很容易得到序列。例2.5.10

相加后Z變換的收斂域一般為兩個序列原來收斂域的交集，某些情況下個別零點和極點相互抵消后可能擴大收斂域?！?.5.4 Z變換的性質(zhì)和定理1、線性*2、序列的移位￥-￥=-==?nnznxnxzX)()]([ZT)(3、乘以指數(shù)序列4、序列乘以n5、復(fù)序列取共軛*7、終值定理如果

x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其他極點均在單位圓內(nèi)，則：*6、初值定理*8、序列卷積9、復(fù)卷積定理（序列相乘）

c是v平面收斂域中一條閉合單圍線。10、帕斯維爾定理物理意義：時域的序列能量=頻域的頻譜能量§2.5.5

利用Z變換解差分方程N階線性常系數(shù)差分方程

在數(shù)字信號處理中，一般只研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)在加入輸入序列之前是處在“零狀態(tài)”下，也就是系統(tǒng)的任何部分都沒有預(yù)先賦予初值，無需考慮初始狀態(tài)。這是大多數(shù)系統(tǒng)的實際工作情況。

在求解給定初始條件的離散時間系統(tǒng)時，則應(yīng)用單邊z變換，求出系統(tǒng)的暫態(tài)解。Ⅰ）求零狀態(tài)響應(yīng)Ⅱ）求零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)求移位序列的單邊Z變換：設(shè)設(shè)x(n)是因果序列，已知初始條件y(-1),y(-2),…y(-N)零狀態(tài)解零輸入解考慮了初始狀態(tài)的Z變換稱的傅里葉變換： 為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

(頻率響應(yīng)）?！?.6利用z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性一、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)

單位脈沖響應(yīng)h(n)：設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對輸入為單位樣值序列的響應(yīng)稱為。稱的Z變換： 為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。如果H(z)的收斂域包含單位圓，即：單位樣值響應(yīng)在單位圓上的Z變換就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。極點位置與h(n)形狀的關(guān)系如圖所示。極點位置與h(n)形狀的關(guān)系單位圓上等幅單位圓外增幅單位圓內(nèi)減幅穩(wěn)定性：要求收斂域包含單位圓。因果、穩(wěn)定：

即H(z)的極點集中在單位圓內(nèi)二、用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足：n<0時，h(n)=0其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域，一定包含*P59，例2.6.1三、利用系統(tǒng)的零極點分布分析系統(tǒng)的頻率特性把系統(tǒng)函數(shù)表示為：

其中：是系統(tǒng)零點；是系統(tǒng)極點。A=b0/a0。設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定零點矢量極點矢量其中當(dāng)B點轉(zhuǎn)到極點附近時，極點矢量長度最短，幅度特性將出現(xiàn)峰值,極點越靠近單位圓，峰值越高越尖銳。但極點過于靠近單位圓，容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因為幅度特性為無窮。極點在z=0處，矢量長度始終為1，所以對幅度響應(yīng)沒有影響。當(dāng)B點轉(zhuǎn)到零點附近時，零點矢量長度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值。零點越靠近單位圓，谷值越接近零。當(dāng)零點在單位圓上時，谷