數(shù)字信號處理-z變換(new1)

第二章z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT)2.1本章要點Z變換定義序列特性對收斂域的影響Z變換的性質(zhì)離散時間傅立葉變換（序列的傅立葉變換)利用z變換分析信號與系統(tǒng)的頻域特性2.2z變換的定義與收斂域一、z變換定義二、z變換收斂域只有當(dāng)，z變換才有意義。此時的取值范圍稱為z變換的收斂域1、有限長序列：收斂域為：例如2、右邊序列：時，時，其z變換為：收斂域：此時稱該系列為因果序列例如3、左邊序列：時，其z變換為：收斂域：例如：4、雙邊序列：為任意值時，其z變換為：收斂域：第一項收斂域第二項收斂域如果則收斂域為否則不存在z變換圖2-5雙邊序列及其收斂域舉例：，求收斂域及零點、極點解（1）因果序列：(2)左邊序列：零點z=0，極點z=0.5零點z=0，極點z=0.52、假如的z變換代數(shù)表示式是下式，問可能有多少不同的收斂域，它們分別對應(yīng)什么序列？零點極點有三種收斂域：左邊序列雙邊序列右邊序列解：2.3z反變換三種方法：圍線積分法（留數(shù)法），部分分式展開法，長除法*一、圍線積分法（留數(shù)法）若函數(shù)收斂域為則使用時，分母多項式z的階次比分子多項式z的階次高二次或二次以上收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的反時針閉合圍線例：已知求三種收斂域下z的反變換解：（1）在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)有一個一階極點當(dāng)圍線內(nèi)有一個一階極點和一個高階極點故此時改求圍線外留數(shù)。1/44Cn<=-2在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)無極點，故，當(dāng)，圍線內(nèi)有一個高階極點，故此時改求圍線外留數(shù)。1/44Cn<=-2（2）（3）在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)兩個一階極點。當(dāng)在圍線內(nèi)兩個一階極點和一個高階極點，現(xiàn)改求圍線外留數(shù)，由于圍線外無極點，故此時。1/44Cn<=-2二、部分分式展開法一階極點用部分分式展開法簡便。部分分式法：若X(z)用z的正冪表示，則按X(z)/z寫成部分分式，然后求各極點的留數(shù)，最后利用已知的變換關(guān)系求z反變換。例：設(shè)試用部分分式法求z反變換。解：右邊序列例：有一右邊序列

，其

變換為將上式作部分分式展開(用

表示)，由展開式求

(b)將上式表示成

的多項式之比，再作部分分式展開，由展開式求

,并說明所得到的序列與(a)所得的是一樣的。

解：(a)因為且x(n)是右邊序列

所以

(b)

三、長除法*：當(dāng)收斂域，為因果序列，分子分母應(yīng)按z的降冪排列，如果的收斂域為，則為左邊序列，分子分母應(yīng)按z的升冪排列。例：求反變換解：由于是因果序列，分子分母應(yīng)按z的降冪排列?！?2.4z變換的基本性質(zhì)和定理一、線性：若則且收斂域為兩序列的重疊部分如果線性相加后有零點、極點抵消，則收斂域可能擴大例：求的z變換解：例：求的z變換二、序列的移位若則例：若則例：若則注意：移位后z=0是否為極點，是否為極點。單邊z變換：將右移m位后，則有當(dāng)m=1,三、乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）若則例：四、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）若則例：五、共軛序列設(shè)是復(fù)序列，其共軛序列為。若則六、翻褶序列例：有一信號,它與另兩個信號和的關(guān)系是:

其中

，

已知

，

解：根據(jù)題目所給條件可得：

而

所以

七、初值定理對于因果序列，有

例：八、終值定理對于因果序列，且極點在單位園以內(nèi)，（最多在有一階極點）例：九、有限項累加特性對于因果序列，有則十、序列卷積和（時域卷積和定理）設(shè)：則十一、序列相乘（z域復(fù)卷積定理）（略）十二、帕塞瓦定理實部共軛對稱虛部共軛反對稱2.6.1利用z變換求解差分方程最一般的情況是考慮起始狀態(tài)，激勵（輸入）為雙邊序列。對方程兩邊求單邊z變換：（1）若輸入x(n)=0,系統(tǒng)只有初始狀態(tài)不為零，則方程右邊為0，這時輸出稱為零輸入響應(yīng)，用表示。此時方程變?yōu)椋毫爿斎腠憫?yīng)（2）若初始狀態(tài)只有輸入序列x(n)作用下所得到的輸出序列稱為零狀態(tài)響應(yīng)此時方程變?yōu)椋毫銧顟B(tài)響應(yīng)H（z)是零初始狀態(tài)下的單位沖激響應(yīng)的z變換，它完全由系統(tǒng)特性所決定，稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的總響應(yīng)：例：若離散時間系統(tǒng)可用以下一階差分方程表示：設(shè)輸入，初始條件①，求輸出響應(yīng)解（1）由得由所以：（2）2.2離散時間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換本節(jié)要點：（1）離散時間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換（2）離散時間傅里葉反變換（IDTFT)——序列傅里葉反變換（3）序列的傅立葉變換的收斂性——DTFT的存在條件（4）序列傅里葉變換的主要性質(zhì)（5）周期性序列的傅里葉變換2.2離散時間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換2.2.1序列傅里葉變換定義（2.2.1）式（2.2.1）表示序列的傅里葉正變換（離散時間傅里葉變換——DTFT)（2.2.2）式（2.2.2）表示的傅里葉正變換（離散時間傅里葉變換——DTFT)學(xué)習(xí)要點：2.2.2序列的傅立葉變換的收斂性——DTFT的存在條件此時正變換存在且連續(xù)——序列x(n)絕對可和是其傅里葉變換存在的充分條件（1）當(dāng)時，收斂域包含單位圓收斂方式：（2）——序列x(n)絕對平方可和也是其傅里葉變換存在的充分條件收斂方式：（3）兩個條件（序列的絕對可和及平方可和）是傅里葉變換存在的充分條件，不滿足這兩個條件的某些序列（例如周期性序列、單位階躍序列等），只要引入沖激函數(shù)（奇異函數(shù)），則也可得到它們的傅里葉變換。例：求矩形序列的DTFT。其中：MATLAB程序：clc;clearall;N=5;n=-10:10;x=(n>=0).*(n<=4);omega=-pi:0.01*pi:pi;X=sin(N/2*omega)./sin(0.5*omega).*exp(-i*(N-1)./2*omega);absX=abs(X);phaseX=angle(X);subplot(311);stem(n,x,'.');title('x(n)');gridon;subplot(312);plot(omega,absX);title('abs(X)');gridon;subplot(313);plot(omega,phaseX);title('angle(X)');gridon;序列：離散、非周期信號幅頻：連續(xù)、偶函數(shù)相頻：連續(xù)、奇函數(shù)MATLAB結(jié)果圖：2.2.3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)：由于序列傅里葉變換是系列在單位圓上z變換轉(zhuǎn)換過來的（此時的z變換收斂域應(yīng)包含單位圓）。即：故序列傅里葉變換的主要性質(zhì)皆可由z變換的主要性質(zhì)得出。學(xué)習(xí)要點：（1）線性：（2）序列的移位：例：設(shè)求：（1）（2）的序列傅里葉變換解：（2）（1）因為的收斂域為，包含單位圓所以（3）乘以整數(shù)序列(4)乘以復(fù)指數(shù)系列（調(diào)制性）例：設(shè)求：（1）（2）的序列傅里葉變換解：（1）（2）因為的收斂域為，包含單位圓所以（5）時域卷積定理例：設(shè)求：解：6、頻域卷積定理7、序列的線性加權(quán)8、帕斯瓦定理9、序列的反褶：例：設(shè)求：的序列傅里葉變換解：（1）（2）（10）序列的共軛設(shè)是如下圖所示的信號的傅里葉變換，不必求出，試完成下列計算,(a)

(b)

(c)

(d)-3-2-1012345123-14-354nx(n)解：由帕塞瓦爾公式可得：返回∵

∴即由帕塞瓦爾公式可得：返回2、已知對于以下序列，利用性質(zhì)試求其DTFT,即（1）（2）解（1）返回（2）返回思考：是否存在？2.2.5周期性序列的傅里葉變換周期性序列由于不滿足絕對可和或絕對平方可和，需引入沖激函數(shù)，才可求它的傅里葉變換。（1）復(fù)指數(shù)系列（在一定條件下才是時域周期序列）設(shè)則推廣：2、常數(shù)序列的傅里葉變換對設(shè)則x(n)012345-5-4-3-2-1….….n….….13、周期為N的單位抽樣序列串的傅里葉變換對設(shè)（2）（1）x(n)0N2N3N4N5N-5N-4N-3N-2N-N….….n1….….4、一般性周期為N的周期性序列的傅里葉變換設(shè)為的一個周期中的有限長序列。則令(2.2.72)(2.2.72)式中的由下式?jīng)Q定：（2.2.75）（2.2.76）周期序列頻譜也可用傅里葉級數(shù)表示：一些常用的序列傅里葉變換對：序列序列傅里葉變換1序列序列傅里葉變換2.5、序列的z變換與連續(xù)信號的拉氏變換、傅立葉變換的關(guān)系令映射關(guān)系S用直角平面坐標(biāo)

，z用極坐標(biāo)1、與的對應(yīng)關(guān)系2、與關(guān)系單位園上序列的z變換為序列的傅立葉變換11/T1/T(r=1)2.7傅立葉變換的一些對稱性質(zhì)1、共軛對稱序列：如果是共軛對稱序列如果實序列：，稱為偶序列2、共軛反對稱序列：如果是共軛反對稱序列如果實序列：，稱為奇序列任意序列若為實序列，且且偶函數(shù)奇函數(shù)2.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)：LSI系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)

稱為LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。的系統(tǒng)函數(shù)稱為LSI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)單位園上一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：下列三條之一滿足均為LSI穩(wěn)定系統(tǒng)收斂域包含單位園存在且連續(xù)因果系統(tǒng)：：因果穩(wěn)定系統(tǒng)：：二、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系：LSI系統(tǒng)可用若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，對差分方程兩邊求z變換：為零點，為極點。確定系統(tǒng)的性質(zhì)，應(yīng)根據(jù)及收斂域來確定設(shè)N>M:三、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義研究線性系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)或正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的頻域表示法。的單位抽樣響應(yīng)輸入輸出當(dāng)輸入為正弦或復(fù)指數(shù)序列，輸出為同頻的復(fù)指數(shù)序列或正弦序列，其幅度為輸入幅度與頻率響應(yīng)幅度相乘，相位為輸入相位與頻率響應(yīng)相位相加。四、頻率響應(yīng)的幾何確定法利用頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系：（z域收斂域一定要包含單位園）其中稱為零點向量幅度其中稱為極點向量幅度圖2-19頻率響應(yīng)的幾何解釋(a)幾何解釋；

(b)頻率響應(yīng)的幅頻特性曲線例：求因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，頻率響應(yīng)幅頻特性，并判斷該濾波器為高通、低通、帶通、帶阻濾波器該系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)根據(jù)極點位置確定濾波器性質(zhì)：0<a<1無限長IIR低通濾波器序列變換緩慢幅值最大幅值最小-1<a<0：a0-11012345幅值最大幅值最小序列變換最快無限長IIR高通濾波器例、設(shè)系統(tǒng)的差分方程為求其幅頻響應(yīng)解：零點：M-1個：極點：一個（M-1階）：z=0該系統(tǒng)收斂域：穩(wěn)定因果系統(tǒng)例M=8令1>a>0有限長FIR濾波器例：已知有傅里葉變換，用表示下列信號的傅里葉變換。(a)

(b)

(c)解(a)因為(b)(c)例.已知用下列差分方程描述的一個線性移不變因果系統(tǒng)

(a)求這個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點圖并指出其收斂區(qū)域；

(b)求此系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；

(c)此系統(tǒng)