材料力學(xué) 第七章彎曲正應(yīng)力(1,2)

第七章彎曲應(yīng)力CL8TU1純彎曲：橫力彎曲：§7-1純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力一.純彎曲：在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素τdA才能合成剪力FSCL8TU2變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系三個(gè)方面:一.幾何變形(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(zhǎng)(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb正交；(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng)。jastin4.swf1.平面假設(shè)：梁各個(gè)橫截面變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。2.單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。

梁在彎曲變形時(shí)，凹面部分縱向纖維縮短，凸面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為中性層.中性層中性軸中性層中性層與橫截面的交線稱為中性軸一.幾何方程二.物理關(guān)系一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比。dx三.靜力學(xué)方程橫截面對(duì)Z軸的靜矩設(shè)中性軸為zyzM截面的慣性積（y為對(duì)稱軸）截面對(duì)z軸的慣性矩中性層的曲率公式2.橫截面上的最大正應(yīng)力當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：1.正應(yīng)力Wz

稱為抗彎截面模量1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。3.簡(jiǎn)單截面的抗彎模量(1)矩形：y(2)圓：(3)圓環(huán)yxDdZy0D§7-2橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度條件一.橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力二.梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實(shí)驗(yàn)證明在純彎曲情況下這是正確的。對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。理論證明在L/h大于5時(shí)該式的精度能滿足工程要求。利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度；②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)截面尺寸;③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷三.算例[例7-1]：兩矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分別如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：

[例7-2]主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)度a為多少？解：主梁AB:MABPaCD副梁CD:由得M[例7-3]受均布載荷的外伸梁材料許用應(yīng)力

校核該梁的強(qiáng)度。解：由彎矩圖可見(jiàn)該梁滿足強(qiáng)度條件，安全[例7-4]圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。C截面B截面2.54＜＜＜＜注：強(qiáng)度校核（選截面、荷載）（1）（等截面）只須校核Mmax處（2）（等截面）(a)對(duì)稱截面情況只須校核Mmax處使(b)非對(duì)稱截面情況，具體分析，一般要校核M+max與

M-max兩處。例4-14圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力為

12.521166560za或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的

12.521166560za例4-16圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號(hào)碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力為作彎矩圖如上。281375單位：kN·m2、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸此時(shí)查型鋼表得56b號(hào)工字鋼的Wz比較接近要求值誤差小于5%，可用例4-17跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st

]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。解：根據(jù)截面最為合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面對(duì)中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d梁上的最大彎矩于是最大壓應(yīng)力為即梁滿足強(qiáng)度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例4-18圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st

]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]

。

解：1、梁的支反力為zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

據(jù)此作出梁的彎矩圖如下發(fā)生在截面C發(fā)生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力可見(jiàn)：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由B截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件則B、C截面都要考慮。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力考慮截面B

：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考慮截面C：因此梁的強(qiáng)度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4解：[例7-5]圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為［σt］和［σc］，則y1和y2

的最佳比值為多少？（Ｃ為截面形心）

CL8TU9M-PL[例7-6]簡(jiǎn)支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變?chǔ)?6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。解：C點(diǎn)的應(yīng)力由C截面的彎矩得支座反力

[例7-7]圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長(zhǎng)為10mm，E