材力第五章第一講

版權(quán)所有,2000,2002(c)華中理工大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系李國清材料力學(xué)copyright,2000,2002(c)Dept.Mech.,HUST,China機(jī)械、土木大平臺(tái)課程§5–1概述§5–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§5–3求梁的撓度與轉(zhuǎn)角的共軛梁法§5–4

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§5–5

梁的剛度校核第五章彎曲變形

§5–6

簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法5梁的變形5.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線方程,即y=y(x)撓曲線轉(zhuǎn)角撓度幾個(gè)重要概念撓曲線撓曲線-梁變形后的軸線，稱為撓曲線

是一條位于載荷平面內(nèi)的光滑連續(xù)曲線

撓度和轉(zhuǎn)角是度量梁彎曲變形的兩個(gè)基本量橫截面的形心在垂直于軸線（x軸）方向的線位移，稱為撓度，用y表示

橫截面在xy平面的角位移，稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示

1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。與f

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

y

=y

(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量小變形PxvCqC1f

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形fxM>0fxM<0對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD3.7.2梁的撓曲線微分方程梁的(近似)撓曲線二階微分方程細(xì)長(zhǎng)梁(l/h>4)橫力彎曲近似適用純彎曲公司小變形條件：梁的撓曲線二階微分方程的適用性和近似性是什么？梁的撓曲線的其它形式梁的（2階）彎矩方程梁的（3階）剪力方程梁的（4階）彎矩方程梁的（2階）撓曲線方程梁的轉(zhuǎn)角方程梁的撓度方程求解以上微分方程分別需要幾個(gè)邊界條件？梁的邊界條件固定端自由端滑動(dòng)固定端固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座自由端固定和可動(dòng)鉸支座y=0q=~Q=~M=0固定端y=0q=0Q=~M=~滑動(dòng)固定端y=~q=0Q=0M=~自由端y=~q=~Q=0M=0位移條件靜力條件梁的連續(xù)條件相鄰梁段的交接處，相鄰兩截面應(yīng)具有相同的撓度與轉(zhuǎn)角，即滿足連續(xù)、光滑條件位移的連續(xù)條件a位移的連續(xù)條件在梁的各部分撓曲線y連續(xù)，撓度y連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（光滑）積分法求梁的變形對(duì)于等剛度梁，梁撓曲線的二階微分方程可寫為對(duì)此方程連續(xù)積分兩次，可得利用邊界條件確定上面二式中的積分常數(shù)C1、C2，即可得梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程例3.11求圖所示受載的懸臂梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。梁內(nèi)彎矩方程:連續(xù)積分兩次得利用兩個(gè)邊界條件:自由端的撓度和轉(zhuǎn)角最大求得c1、c2都為零。將其代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程:例312

圖示抗彎剛度為EIz的簡(jiǎn)支梁受集中力P作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得兩個(gè)支反力顯然，AC段與CB段彎矩方程的表達(dá)式不一樣。分別列出AC、CB段彎矩方程并積分APBLCRAyxRBbaAC段CB段邊界條件：支承條件連續(xù)條件光滑條件APBLCyxba利用邊界條件解得最大轉(zhuǎn)度，顯然在支座處從AB，中間必經(jīng)過0最大撓度當(dāng)P力作用在跨中央時(shí)，ymax發(fā)生在梁中央。當(dāng)P力無限接近端點(diǎn)B時(shí)，即b0時(shí)簡(jiǎn)支梁無論P(yáng)作用在何處用疊加法求梁的變形在幾個(gè)載荷共同作用下引起的某一力學(xué)量等于各載荷單獨(dú)作用下所引起的此量的代數(shù)和疊加原理小變性條件（幾何線性）材料遵循胡克定律（物理線性）適用條件P1P2小變性條件：計(jì)算P2的作用時(shí)，忽略P1的作用對(duì)幾何尺寸的影響。例3.13試用疊加法求圖（a）所示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大。可用疊加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對(duì)截面B的相對(duì)撓度，即考慮圖（b）解除AB段的剛化并令BC段剛化考慮圖（c）由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位，使C點(diǎn)有相應(yīng)的撓度將圖3.46（b）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端C的撓度這種分析方法叫做梁的逐段剛化法。梁的剛度條件在工程設(shè)計(jì)中，除了要保證梁的強(qiáng)度條件外，還要保證其剛度條件，即梁的變形不能超過允許的限度。即此兩式稱為梁的剛度條件。式中[y]、[q]分別為構(gòu)件的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，對(duì)不同構(gòu)件有不同的要求，如：吊車梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l為跨長(zhǎng)）；機(jī)械中的一般軸，[y]=（0.0003～0.0005）l；機(jī)械中的精密軸，[y]=（0.0001～0.0002）l；

軸上齒輪，[q]=（0.001～0.002）rad（弧度）。例6－7已知:q=10kN/m，L=3m，試設(shè)計(jì)截面。ABLqhb解：(1)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)最大彎矩發(fā)生在A截面，A截面為危險(xiǎn)截面強(qiáng)度條件代入強(qiáng)度條件：(2)按剛度條件設(shè)計(jì)剛度條件為代入剛度條件可得綜合考慮強(qiáng)度和剛度條件，可取2.提高梁的剛度的措施所謂提高梁的剛度，即盡量降低梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角，除與荷載大小有關(guān)外，還與Ln成正比，與EIz成反比。因此，在不改變荷載的情況下，要減小梁的變形可采用以下兩方面的措施。疊加法求梁的變形在幾個(gè)載荷共同作用下引起的某一力學(xué)量等于各載荷單獨(dú)作用下所引起的此量的代數(shù)和疊加原理運(yùn)用條件小變性條件材料遵循胡克定律例3.13試用疊加法求圖（a）所示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對(duì)截面B的相對(duì)撓度，即考慮圖（b）解除AB段的剛化并令BC段剛化考慮圖（C）由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位到的位置，使C點(diǎn)有相應(yīng)的撓度將圖3.46（b）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端C的撓度這種分析方法叫做梁的逐段剛化法。a.增大梁的抗彎剛度EIz大部分鋼材的E值是相近的，因此，增大梁的抗彎剛度，主要是增大Iz值。將截面面積布置在距中性軸較遠(yuǎn)處，可在面積不變的情況下獲得較大的Iz，這樣不但能降低應(yīng)力，還能減小位移。討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xfPLa應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf§6-4按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：彎曲變形例4按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)

撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa疊加例5按疊加原理求C點(diǎn)撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加彎曲變形q00.5L0.5LxdxbxfC例6

結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf§6-5梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；、設(shè)計(jì)載荷。彎曲變形(但：對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例7下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試核此桿的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單

載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形校核剛度彎曲變形dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應(yīng)變能的計(jì)算：§6–6

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

彎曲變形應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr例8

用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？彎曲變形Paaqxf二、梁的沖擊問題1.假設(shè)：

沖擊物為鋼體；

不計(jì)被沖擊物的重力勢(shì)能和動(dòng)能；沖擊物不反彈；

不計(jì)聲、光、熱等能量損耗（能

量守恒）。

彎曲變形mgLhABCABCxffd彎曲變形沖擊前、后，能量守恒，所以：ABCxffdhBACmgE=P三、動(dòng)響應(yīng)計(jì)算：解：求C點(diǎn)靜撓度動(dòng)響應(yīng)計(jì)算等于靜響應(yīng)計(jì)算與動(dòng)荷系數(shù)之積.例9

結(jié)構(gòu)如圖，AB=DE=L，A、C

分別為

AB和

DE的中點(diǎn)，求梁在重物mg的沖擊下，C面的動(dòng)應(yīng)力。C1A1

D彎曲變形LC2動(dòng)荷系數(shù)求C面的動(dòng)應(yīng)力彎曲變形hBACmgE=PC1A1DLC2§6-7

簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LRBABxf幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例10

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC彎曲變形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBC彎曲變形xfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）§6-8如何提高梁的承載能力強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形彎曲變形一、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著?營造法式

?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義

?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為Rbh一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaa彎曲變形