靜電場的邊值問題-03-1

FieldandWaveElectromagnetic電磁場與電磁波2011.10.10作業(yè)情況1班：人2班：人合計：人情況:1.

電場強度2.

真空中的靜電場點電荷復習電偶極子的電矩xPzyrO3.

電位電位的數學表示電位差的數學表示電荷q有P1點移至P2點時，電場力作的總功為4.介質極化6.and7.邊界條件

5.介質中的靜電場方程

9.電場能量

8.電容若電荷分布已知，計算靜電場的三種方法是，直接根據電荷分布計算電場強度通過電位求出電場強度利用高斯定律計算電場強度點電荷xPzyrOabqabq第三章靜電場的邊值問題

主要內容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。1.電位微分方程

2.鏡像法

3.直角坐標系中的分離變量法4.圓柱坐標系中的分離變量法

5.球坐標系中的分離變量法

1.電位微分方程已知電位

與電場強度E

的關系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質，電場強度E

的散度為

那么，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

InCartesiancoordinates:Insphericalcoordinates:Incylindricalcoordinates:拉普拉斯方程對于無源區(qū)，，上式變?yōu)?/p>

已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產生的電位為上式為泊松方程在自由空間的特解。

利用格林函數可以求出泊松方程在有限空間的通解。

靜電場與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件初始條件邊界條件數學物理方程描述物理量隨時間和空間的變化特性。根據給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。此處邊界條件實際上是指給定的邊值，它不同于前一章描述靜電場的邊界上場量變化的邊界條件。根據已知區(qū)域邊界條件（定解條件）的不同，電位邊值問題分為三類：第一類是給定區(qū)域邊界上的電位值，這類問題又稱為狄里赫利(Dirichlet)問題第二類是給定區(qū)域邊界上的電位的法向導數值，又稱為紐曼(Neumann)問題第三類是混合邊值問題，在區(qū)域的一部分邊界上給定電位值，另一部分邊界上給定電位的法向導數值。

表明:

在介質分界面上，電位是連續(xù)的。用電位函數

表示分界面上的銜接條件

設點1與點2分別位于分界面的兩側，其間距為d，d→0,則電位的銜接條件在分界面兩側：電位法向導數發(fā)生躍變邊值問題研究方法計算法解析法積分變換法分離變量法鏡像法（電軸法）微分方程法保角變換法實驗法作圖法實測法模擬法定性定量數學模擬法物理模擬法數值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法半解析法/半數值法格林函數法Example1.一維泊松方程的解ThetwometalplateshavinganareaAandaseparationdformaparallel-platecapacitor.TheupperplateisheldatpotentialofV0

,andthelowerplateisgrounded.Determine(a)thepotentialdistribution(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedistributiononeachplate(d)the

capacitanceoftheparallel-platecapacitorSolution:Choose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.勻強電場，電位V只是隨高度z的變化而變化4.特解（帶入邊界條件求解未知系數）3.方程的通解Example2.

The

inner

conductorofradius

a

ofa

coaxialcable

isheldatapotentialof

V0whiletheouterconductorofradius

b

isgroundedDetermine(a)the

potentialdistributionbetweentheconductors

(b)the

electricfieldintensity(c)the

chargedensity

ontheinnerconductor

(d)the

capacitanceofthe

perunitlengthChoose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.Solution:4.特解（帶入邊界條件求解未知系數）

3.方程的通解Example3

Theupperandlowerconductingplatesofalargeparallel-platecapacitorareseparatedbyadistancedandmaintainedatpotentialsV0and

0respectively.Adielectricslabofdielectricconstantanduniformthickness

0.8d

isplacedoverthelowerplate.?EandD

yxD2D1E2E1(1)

求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域(2)

分區(qū)：由于填充兩種介質，因此場量在分界面上會發(fā)生突變，因此，分成兩個子區(qū)域(3)

建立坐標系：豎直向上為y軸方向，建立坐標系(4)

場分布分析：在兩種介質中都是勻強電場，電位V只是隨高度y的變化而變化V(y)，而與x，z無關，(5)

寫出場方程與邊界條件：待求量是兩個區(qū)域的電位V1

、V2，場方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（無源）

yxD2D1E2E1區(qū)域1：區(qū)域2：yxD2D1E2E1

寫出通解：一維邊值問題電位的邊界條件，兩個介質的銜接條件：yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yQdHalf－spaceproblemExample.

Considerthecaseofa

positivepointcharge

Q,locatedatadistancedabovealarge

grounded(zero-potential)conductingplane.

Theproblemistofindthepotentialateverypointabovetheconductingplane(y>0).(1)chap2：感應電荷很難求(2)直接解方程:yQdHalf－spaceproblem點電荷＆感應電荷產生的場，靜態(tài)平衡后，導體表面是等勢面，電力線與其正交。而這種電力線的分布與以xoz平面為對稱面，在（0，d，0）處點電荷Q，（0，－d，0）處有－Q的一對點電荷在x>0空間的電力線分布相似。(3)另辟蹊徑：(等效原理)感應（極化）電荷產生的場，由假想的簡單電荷（像點電荷線電荷等）分布產生的場來等效(4)問題：引入像電荷后求得的場，是不是原問題的場？判斷的依據

（靜電場的唯一性定理）是不是滿足原問題的場方程＆邊界條件？uniquenesstheorem：meansthatasolutionofPoisson’sequation(ofwhichLaplace’sequationisaspecialcase)thatsatisfiesthegivenboundaryconditionsisauniquesolution.(滿足邊界條件的泊松方程的解是惟一的)

Itdoesnotmeanthatonlyonemethodcanbeusedtoobtainthesolutionoftheelectrostaticproblem.(不止一種方法求解)Theimplicationoftheuniquenesstheoremisthatasolutionofanelectrostaticproblemwithitsboundaryconditionsistheonlypossiblesolution

irrespectiveofthemethodbywhichthesolutionisobtained.(不管用什么方法得到的利用邊界條件求的方程的解都是正確的惟一解)Asolutionobtainedevenbyintelligentguessingistheonlycorrectsolution(甚至猜測得到的解也是正確的惟一解)

靜電場的惟一性定理電位滿足的泊松方程在給定第一類邊界條件或第二類邊界條件時，也就是邊界上的電位或者電位的法向導數值給定時，其解是唯一的。對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的電位或電位的法向導數給定時，或導體表面電荷分布給定時，空間的靜電場被惟一性地確定，這個結論稱為靜電場惟一性定理。ImageChargeImagemethod

V(x,0,z)=0yQ–Q根據場疊加原理，寫出點電荷和像電荷在上半空間任意一點P處產生的場的表達式判斷的條件：等效問題的場就是原問題的場2.鏡像法

實質:以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。依據：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變原來的邊界條件。關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

（1）點電荷與無限大的導體平面

介質

導體

qrP

介質q

rP

hh

介質

以一個鏡像點電荷q'代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產生，即

無限大導體平面的電位為零

電場線與等位面的分布特性與電偶極子的上半部分完全相同。電場線等位線z*根據電荷守恒原理，鏡像點電荷的電荷量應該等于導體表面上感應電荷的總電荷量。*上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。

介質

導體

qrP

介質q

rP

hh

介質

q

對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q3.直角坐標系中的分離變量法

在直角坐標系中，拉普拉斯方程展開式為

令式中左邊各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量x

求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導數為零，說明了第一項等于常數。代入上式，兩邊再除以，得

同理，再分別對變量y

及z

求導，得知第二項及第三項也分別等于常數。令各項的常數分別為，求得式中kx

，ky

，kz

稱為分離常數，它們可以是實數或虛數。三個分離常數不是獨立的，必須滿足下列方程由上可見，經過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同?；蛘呤街蠥,B,C,D為待定常數。例如，含變量x

的常微分方程的通解為當kx為虛數時，令，則上述通解變?yōu)?/p>

或者含變量x

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常數也取決于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。

這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導電平面封閉，且與半無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。Odxy

=0

=0

=0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榻膺x取直角坐標系。槽中電位分布與z無關，這是一個二維場的問題。應用分離變量法，令為了滿足及，Y(y)

的解應為