第2節(jié) 空間幾何體的表面積和體積

了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積，就是各側(cè)面面積之和，

表面積是各個(gè)面的面積的和，即側(cè)面積與底面積之和.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積3.幾何體的體積公式[思考探究]如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示：對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.1.已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半

徑是(

)A.

B.3C.4D.5解析：設(shè)球半徑為R，則πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：B2.圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那

么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是(

)A.4πSB.2πS

C.πSD.πS解析：底面半徑是，所以正方形的邊長(zhǎng)是2π

＝2，故圓柱的側(cè)面積是(2)2＝4πS.答案：A3.將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使BD＝a，

則三棱錐D－ABC的體積為(

)A.B.C.a3D.a3

解析：設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)E，沿AC折起后依題意得，當(dāng)BD＝a時(shí)，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱錐D－ABC的高為DE＝

a，所以三棱錐D－ABC的體積V＝答案：D4.若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球

的表面積為

.解析：正方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑.答案：27π5.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積

是

.解析：此幾何體為一圓錐與圓柱的組合體.圓柱底面半徑為r＝a，高為h1＝2a，圓錐底面半徑為r＝a，高為h2＝a.故組合體體積為V＝πr2h1＋πr2h2＝2πa3＋πa3＝.答案：求解有關(guān)棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其幾何圖形特征，從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的關(guān)系，如棱柱中的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺(tái)中的直角梯形等.(2009·寧夏、海南高考)一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積(單位：cm2)為(

)A.48＋12

B.48＋24C.36＋12D.36＋24[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)

如圖所示三棱錐.AO⊥底面BCD，O點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，BC＝CD＝6(cm)，BC⊥CD，AO＝4(cm)，AB＝AD.S△BCD＝6×6×＝18(cm2)，S△ABD＝×6×4＝12(cm2).取BC中點(diǎn)為E.連結(jié)AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝＝＝5(cm)，∴S△ABC＝S△ACD＝×6×5＝15(cm2)，∴S表＝18＋12＋15＋15＝(48＋12)(cm2).[答案]

A1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有如下關(guān)系，用圖

表示如下：2.求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公

式V＝Sh進(jìn)行計(jì)算即可.常用方法為：割補(bǔ)法和等體

積變換法：

(1)割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分

割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，

從而得出幾何體的體積.(2)等體積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面.①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”.

(2009·遼寧高考)正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn).則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為(

)A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)∵G為PB中點(diǎn)，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多邊形ABCDEF是正六邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC，∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.[答案]

C1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的

面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及側(cè)面展開(kāi)圖中各

線(xiàn)段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及解決

相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.2.計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)

的底面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸

截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30°).[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)如圖所示，過(guò)C作CO1⊥AB于O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，＝π×R×R＝πR2，＝π×R×R＝πR2，∴S幾何體表＝S球＋＋＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.∴旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為πR2.能否求出該幾何體的體積？＝πR3－πO1C2(AO1＋BO1)＝πR3－π×(R)2·2R＝πR3－πR3＝πR3.解：V幾何體＝V球－＝πR3－πO1C2·AO1－πO1C2·BO1幾何體的折疊與展開(kāi)問(wèn)題是立體幾何的重要內(nèi)容之一，解決折疊與展開(kāi)問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清折疊與展開(kāi)前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化情況，從而畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形解決問(wèn)題.2009年全國(guó)高考Ⅱ中出現(xiàn)了正方體的折疊與展開(kāi)問(wèn)題，很好的考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理能力，代表了一種考查方向.[考題印證](2009·全國(guó)卷Ⅱ)紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是

(

)A.南B.北

C.西

D.下【解析】

如圖所示.規(guī)律：展開(kāi)圖中間隔一個(gè)為相對(duì)的面.【答案】

B

[自主體驗(yàn)]

已知一多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開(kāi)圖如圖所示，則該多面體的體積V＝

.解析：該多面體是一個(gè)正方體和正四棱錐的組合體，正四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1.由圖知，OB＝BD＝，SB＝1，∴SO＝∴V四棱錐＝∴V多面體＝1＋.答案：1＋1.把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來(lái)

的(

)A.2倍B.2倍

C.倍

D.倍解析：設(shè)球原來(lái)半徑為r，則S＝4πr2，V＝πr3，又設(shè)擴(kuò)大后半徑為R，則4πR2＝8πr2，∴R＝r，∴V擴(kuò)＝πR3＝π(r)3，∴＝2.答案：B2.(2009·陜西高考)若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體

各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為(

)A.B.C.D.

解析：這個(gè)凸多面體由兩個(gè)全等的正四棱錐組成，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為＝1，高等于，所以體積V＝2××12×＝.答案：B3.一個(gè)圓臺(tái)的兩底面的面積分別為π、16π，側(cè)面積為25π，

則這個(gè)圓臺(tái)的高為(

)A.3B.4C.5D.解析：由圓臺(tái)側(cè)面積公式得S＝π(R＋r)l＝π(4＋1)l＝25π.得l＝5，故高為＝4.答案：B4.(2010·廣州模擬)將圓心角為，面積為3π的扇形，作

為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于

.解析：設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則有×