第2章 力動量能量

蘭州城市學(xué)院大學(xué)物理學(xué)蘭州城市學(xué)院培黎工程技術(shù)學(xué)院

蘭州城市學(xué)院力動量能量第二章蘭州城市學(xué)院第2章力動量能量

2.1

牛頓運(yùn)動定律

2.2功和能

2.3動量與沖量

2.4狹義相對論質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)初步

蘭州城市學(xué)院2.1

牛頓運(yùn)動定律

杰出的英國物理學(xué)家，經(jīng)典物理學(xué)的奠基人．他的不朽巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》總結(jié)了前人和自己關(guān)于力學(xué)以及微積分學(xué)方面的研究成果，其中含有三條牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，以及質(zhì)量、動量、力和加速度等概念。在光學(xué)方面，他說明了色散的起因，發(fā)現(xiàn)了色差及牛頓環(huán)，他還提出了光的微粒說。

蘭州城市學(xué)院古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle，公元前384一公元前322)認(rèn)為：力是維持物體運(yùn)動的原因。古代物理學(xué)的形式是屬于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)性的，對事物的認(rèn)識主要是憑直覺的觀察、憑猜測和臆想。

蘭州城市學(xué)院伽利略（Galileo，1564一1642）近代科學(xué)的先驅(qū)伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)：如果把水平面制作得越是光滑，則小球會滾得更遠(yuǎn)。實(shí)驗(yàn)一

蘭州城市學(xué)院實(shí)驗(yàn)二力不是維持運(yùn)動的原因。

如果斜面的傾角無限?。ㄆ矫妫?，那么小球?qū)⒀仄矫鎺缀蹩梢砸恢睗L動過去。

伽利略對力學(xué)的貢獻(xiàn)在于把有目的的實(shí)驗(yàn)和邏輯推理和諧地結(jié)合在一起，構(gòu)成了一套完整的科學(xué)研究方法。

蘭州城市學(xué)院1.牛頓第一定律（慣性定律）數(shù)學(xué)形式：

任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動的狀態(tài)，直到其他物體對它作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。三個重要概念：

慣性——質(zhì)點(diǎn)不受力時保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的的性質(zhì)，其大小用質(zhì)量量度。

力——使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動狀態(tài)的原因，力是改變速度的原因而不是維持速度的原因。

慣性系——質(zhì)點(diǎn)處于靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)(質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài))運(yùn)動相對某一參考系而言，牛頓運(yùn)動定律適用的參考系。蘭州城市學(xué)院2牛頓第二定律定義：動量的變化率與外力成正比當(dāng)V<<C時，m為常量幾點(diǎn)說明：（1）牛頓運(yùn)動方程只適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。（2）牛頓第二定律中和的關(guān)系為瞬時關(guān)系。（3）力的疊加原理:當(dāng)幾個外力同時作用于物體時，其合外力所產(chǎn)生的加速度與每一個外力所產(chǎn)生的加速度的矢量和是一樣的。

蘭州城市學(xué)院（4）矢量性：具體運(yùn)算時應(yīng)寫成分量式在直角坐標(biāo)系中，分量式和在自然坐標(biāo)系中，分量式

蘭州城市學(xué)院3牛頓第三定律（作用力和反作用力定律）兩個物體之間作用力和反作用力，沿同一直線，大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上．（物體間相互作用規(guī)律）

蘭州城市學(xué)院對牛頓第三定律的幾點(diǎn)說明：(1)

作用力和反作用力總是成對出現(xiàn)的，同時產(chǎn)生，同時

消失。(2)

作用力和反作用力是分別作用在兩個相互作用的物體

上的，不能相互抵消。(3)

作用力和反作用力總是屬于同種性質(zhì)的力。

蘭州城市學(xué)院2.1.2力學(xué)中幾種常見的力1

力的基本類型

四種基本自然力的特征1、引力（或稱為萬有引力）2、電磁力3、強(qiáng)力4、弱力力的種類相互作用的物體力的強(qiáng)度力程萬有引力一切質(zhì)點(diǎn)

無限遠(yuǎn)弱力大多數(shù)粒子

小于電磁力電荷

無限遠(yuǎn)強(qiáng)力核子、介子等

蘭州城市學(xué)院溫伯格薩拉姆格拉肖弱相互作用電磁相互作用電弱相互作用理論三人于1979年榮獲諾貝爾物理學(xué)獎

。

魯比亞,范德米爾實(shí)驗(yàn)證明電弱相互作用，1984年獲諾貝爾獎

。電弱相互作用強(qiáng)相互作用萬有引力作用“大統(tǒng)一”（尚待實(shí)現(xiàn)）

蘭州城市學(xué)院1

萬有引力：如果拋射速度足夠大，則物體將繞地球轉(zhuǎn)動，而永不落地。行星繞太陽的運(yùn)動

蘭州城市學(xué)院行星1：軌道半徑為R1，加速度為a1，運(yùn)行周期為T1行星2：軌道半徑為R2，加速度為a2，運(yùn)行周期為T2根據(jù)開普勒第三定律：引力與距離的平方成反比蘭州城市學(xué)院萬有引力定律：引力常量:

任何兩個質(zhì)點(diǎn)之間都存在互相作用的引力，引力的方向沿著兩個質(zhì)點(diǎn)的連線方向；其大小與兩個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量ml和m2乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)之間距離r

的平方成反比。

第一宇宙速度：

第二宇宙速度：

蘭州城市學(xué)院2.重力：重力是物體所受地球引力的一個分量。引力重力注：重力是地球?qū)ξ矬w萬有引力的一個分力，方向?yàn)樨Q直向

下，并非指向地心

蘭州城市學(xué)院3.彈性力：物體在外力作用下因發(fā)生形變而產(chǎn)生欲使其恢復(fù)原來形狀的力（k

稱為勁度系數(shù)）0x胡克定律

蘭州城市學(xué)院(1)靜摩擦力當(dāng)物體與接觸面存在相對滑動趨勢時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與相對滑動趨勢方向相反。靜摩擦力的大小隨外力的變化而變化4.摩擦力：

蘭州城市學(xué)院（2）滑動摩擦:當(dāng)物體相對于接觸面滑動時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與滑動方向相反。為滑動摩擦系數(shù)最大靜摩擦力：為靜摩擦系數(shù)

蘭州城市學(xué)院(3)

黏滯阻力當(dāng)物體穿過液體或氣體運(yùn)動時，會受到流體阻力。(1)當(dāng)物體速度不太大時，流體為層流，阻力主要由流體的

粘滯性產(chǎn)生。(2)當(dāng)物體速率超過某限度時（低于聲速），流體出現(xiàn)旋渦，這時流體阻力與物體速率的平方成正比。(3)

當(dāng)物體與流體的相對速度提高到接近空氣中的聲速時，這時流體阻力將迅速增大。

蘭州城市學(xué)院2.1.3

牛頓運(yùn)動定律的應(yīng)用應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解題時一般分以下幾個步驟：(1)

隔離物體，分析受力．首先根據(jù)題意確定研究對象，并分別把每個研究對象與其它物體隔離開來，然后分析它們的受力情況，單獨(dú)畫出每個研究對象的受力示意圖。(2)

建立坐標(biāo)系，列方程．選擇合適的坐標(biāo)系，將給計(jì)算帶來很大方便．坐標(biāo)軸的方向盡可能地與多數(shù)矢量平行或垂直．根據(jù)牛頓第二和第三定律列出方程式．所列的方程式個數(shù)應(yīng)與未知量的數(shù)量相等．若方程式的數(shù)目少于未知量的個數(shù)，則應(yīng)由運(yùn)動學(xué)和幾何學(xué)的知識列出補(bǔ)充的方程式。

蘭州城市學(xué)院(3)

求解方程．在解方程代人數(shù)據(jù)時，一定要注意統(tǒng)一單位，解得結(jié)果后通常還應(yīng)進(jìn)行必要的驗(yàn)算、分析和討論。應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解題時一般分以下幾個步驟：(4)

當(dāng)物體受的力為變力時，就應(yīng)該用牛頓第二定律的微分方程形式求解。

蘭州城市學(xué)院質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本運(yùn)動方程解題步驟：（1）確定研究對象。對于物體系，畫出隔離圖。（2）進(jìn)行受力分析，畫出示力圖。（3）建立坐標(biāo)系（4）對各隔離體建立牛頓運(yùn)動方程（分量式）（5）解方程,求出相應(yīng)物理量蘭州城市學(xué)院解:分別取m1和m2為研究對象，受力分析如圖(b)所示。利用牛頓第二定律列方程得例1：如圖所示，在傾角30o的光滑斜面(固定于水平地面)上有

兩物體通過滑輪相連，已知m1=3kg，m2=2kg，且滑輪和繩子質(zhì)量可略。求:每一物體的加速度以及繩子的張力。繩子中的張力解以上方程組，得

蘭州城市學(xué)院解:求整個系統(tǒng)的加速度時，可先將三物體看成是一個整體，并設(shè)FN為三物體共同對桌面的總壓力，利用牛頓第二、三定律可得例2：如圖所示，將質(zhì)量分別為m1，m2，m3和m的四個物體連接，桌面與這些物體之間的摩擦系數(shù)都是μ。設(shè)繩子不變，桌子與滑輪位置不變，繩子質(zhì)量、滑輪質(zhì)量及繩與滑輪間的摩擦可忽略不計(jì)。求:該系統(tǒng)的加速度以及各物體之間的張力

蘭州城市學(xué)院解方程組得隔離物體，分別取m1，m2，m3為研究對象，求對m1利用牛頓第二定律可得同理可得：

蘭州城市學(xué)院例3質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在空中由靜止開始下落，在速度不太大的

情況下，質(zhì)點(diǎn)所收阻力F=-kv

，式中k

為常數(shù)。

(1)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系；

(2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程分離變量得兩邊積分得由此得求:

以質(zhì)點(diǎn)開始下落時刻為計(jì)時起點(diǎn)，開始下落的位置作為坐標(biāo)

原點(diǎn)O，豎直向下的方向?yàn)閥

軸的正方向，則質(zhì)點(diǎn)所受重力為

mg，阻力為

f=-kv

，故按牛頓第二定律，有解:

蘭州城市學(xué)院由定義可知，質(zhì)點(diǎn)加速度為當(dāng)

時，(解釋了人為啥不會被冰雹砸傷)由速度的定義可知分離變量得注意到運(yùn)動的初始條件，則積分可得

蘭州城市學(xué)院xy例4質(zhì)量為m

的小球最初位于A

點(diǎn)，然后沿半徑為R

的光滑圓弧面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用。mgFN解：A

蘭州城市學(xué)院xyA

蘭州城市學(xué)院解:例5：試證明圓柱形容器內(nèi)以角速度繞中心軸作勻速旋轉(zhuǎn)的流體表面為旋轉(zhuǎn)拋物面。流體表面任取一質(zhì)量為?m

的質(zhì)元為研究對象。?m受重力和流體其它部分對它作用力的合力N。由于?m并未沿切面流動，所以N的方向應(yīng)垂直于該處切面，如圖所示。流體繞軸旋轉(zhuǎn)時，?m將以O(shè)'為圓心，以x為半徑作勻速圓周運(yùn)動。根據(jù)牛頓第二定律，有分量式為：

蘭州城市學(xué)院2.1.4非慣性系中的力學(xué)問題慣性力

應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律求解力學(xué)問題時，只能選擇慣性系，因?yàn)樵诜菓T性系中牛頓運(yùn)動定律不再成立。然而，在實(shí)際問題中常常遇到非慣性系，即相對慣性系作變速運(yùn)動的參考系．如相對地面作變速運(yùn)動的火車、升降機(jī)以及旋轉(zhuǎn)的圓盤等都是非慣性系1

平動加速系參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)相對慣性系作變速運(yùn)動，但坐標(biāo)軸沒有轉(zhuǎn)動

平移慣性力

相對某一慣性系作加速直線運(yùn)動的參考系，叫做平動加速參考系，它是一種非慣性系。

蘭州城市學(xué)院S是慣性系，牛頓定律成立。小球水平方向不受力，靜止。a0mma0a0S系小球靜止小球加速–a0mS

系S’是非慣性系，牛頓定律不成立！若形式上應(yīng)用牛頓定律，必須認(rèn)為小球受慣性力小球放在光滑的加速運(yùn)動的小車內(nèi)注：慣性力是由于非慣性系相對慣性系運(yùn)動的加速度引起的！

蘭州城市學(xué)院S

a0

·mFaa

a0

S：故由得定義慣性力（inertialforce）—則有

慣性系S′：修改牛頓第二定律，使之于適用平動非慣性系：—非慣性系中的牛頓第二定律S平動蘭州城市學(xué)院2

轉(zhuǎn)動參考系:相對慣性系轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)動參考系

物體受到彈簧的拉力F，這個力就是使小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力

轉(zhuǎn)臺(非慣性系)上的觀察者雖然也看到彈簧被拉長，小球卻相對轉(zhuǎn)臺靜止．為了使物體保持平衡的事實(shí)仍然遵從牛頓第二定律，必須想像還有一個與向心力等值而反向的慣性力Fi作用在物體上蘭州城市學(xué)院3

慣性力的應(yīng)用舉例

m為物體A的慣性質(zhì)量，B為指針，O為指針上的支點(diǎn)，C為表盤，K為平衡彈簧。當(dāng)飛機(jī)加速上升時，m受到向下的慣性力，指針會向上偏轉(zhuǎn)；飛機(jī)加速下降時，m受到向上的慣性力，指針會向下偏轉(zhuǎn)

炮彈上安裝的慣性引信同樣是利用慣性力的作用來引爆炮彈的蘭州城市學(xué)院解:例6：設(shè)電梯相對地面以加速度a上升，電梯中有一質(zhì)量可忽略不計(jì)的滑輪，在滑輪的兩側(cè)用輕繩掛著質(zhì)量為m1和m2的重物，已知m1>m2，如圖所示。求:(1)m1和m2相對電梯的加速度；(2)繩中的張力設(shè)m1和m2相對電梯的加速度大小為a'，繩中張力大小為T。以電梯為參考系，這是一個非慣性系．在此參考系中，m1和m2受重力、繩的拉力和慣性力，慣性力的方向與電梯相對地面加速度a的方向相反，如圖(b)所示。為了方便，圖中字母僅表示各矢量的大小，方向?yàn)榧^指向。ab

蘭州城市學(xué)院對m1和m2分別以各自相對電梯的加速度方向?yàn)檎较?，于是有因繩子和滑輪的質(zhì)量均忽略不計(jì)，所以有三式聯(lián)立求解，可得

蘭州城市學(xué)院例7：在水平軌道上有一節(jié)車廂以加速度ao行駛，在車廂中有一質(zhì)量為m的小球靜止地懸掛在天花板上，如圖所示。求:試以車廂為參照系求。線與豎直方向的夾角?解:在車廂參照系內(nèi)觀察小球是靜止的，即ao=0。它受的力除重力和懸線的拉力外還有一個慣性力由于，

在上兩式中消去時間t，即得

蘭州城市學(xué)院2.2

功和能2.2.1

功功率1

恒力的功

2

變力的功Oab在直角坐標(biāo)系中在ab段所做的功：元功在自然坐標(biāo)系中L位移元

蘭州城市學(xué)院注意（1）功是代數(shù)量，且有正負(fù)（2）合力的功等于各分力的功的代數(shù)和

蘭州城市學(xué)院3

功率（力在單位時間內(nèi)所做的功）平均功率瞬時功率在

?t

時間內(nèi)所做的功為

A注：功率等于功對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于力和速度的標(biāo)積功率的單位名稱為瓦特，簡稱瓦，符號為W

蘭州城市學(xué)院2.2.2功的計(jì)算在直角坐標(biāo)系中，力和元位移表示為可得：在自然坐標(biāo)系中，力和元位移表示為：可得：注：前者借助于坐標(biāo)系，都是力的分量，

它們都是代數(shù)量；后者與坐標(biāo)系無關(guān)，而是由力和位移的大小及其夾角的余弦共同確定.

蘭州城市學(xué)院在工程上常用圖示法計(jì)算功

如圖所示，圖中曲線表示切向力

隨路徑變化的函數(shù)關(guān)系，由下式可知，窄條面積等于元功，曲線下的面積等于從Sa到Sb該力所做的功

蘭州城市學(xué)院

對幾種常見力的功的計(jì)算

1重力的功重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)路徑無關(guān)。

xyzmG結(jié)論:重力ab

蘭州城市學(xué)院x02、彈性力的功彈簧彈性力由x1

到x2

路程上彈性力的功為彈性力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)路徑無關(guān)。

結(jié)論:

蘭州城市學(xué)院3

萬有引力的功

Mabm萬有引力萬有引力的功只也與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)路徑無關(guān)。

結(jié)論:

蘭州城市學(xué)院4

摩擦力的功摩擦力F

做功摩擦力的功與質(zhì)點(diǎn)路徑有關(guān)摩擦力方向與質(zhì)點(diǎn)速度方向相反結(jié)論:摩擦力蘭州城市學(xué)院求:力F對物體所做的功解:物體在a、b之間任一位置c的受力情況如圖所示，其中Fk為彈簧對物體的拉力．因物體極緩慢地移動，故可認(rèn)為物體所受合外力為零．采用自然坐標(biāo)系，切向合外力為零，即例8：如圖中的半圓面是一個固定的半圓柱體截面，柱面光滑，半徑為R。一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端與一個質(zhì)量為m的小物體相連。開始時物體位于a處，彈簧無形變．物體在一個位于豎直平面內(nèi)并且始終和圓柱面相切的拉力F作用下，極緩慢地從a處移到處b(彈簧形變在彈性限度內(nèi))，已知∠

蘭州城市學(xué)院根據(jù)胡克定律有代入上式，得

質(zhì)點(diǎn)從a處移動到b處，即角位置從0增大α到，力F對物體所做的功為不難看出，因合力為零，所以合力的功為零。因支持力N不做功，所以

三力做功的代數(shù)和必為零。顯然，重力做功為

，而彈簧拉力做功為蘭州城市學(xué)院例9：一質(zhì)點(diǎn)沿如圖所示的路徑運(yùn)動。求:求力對該質(zhì)點(diǎn)所做的功。(1)沿ODC；(2)沿OBC。解:

(1)質(zhì)點(diǎn)沿OC從O運(yùn)動到C

在O到D的路徑上，y=0，x從0變到2m；在D到C

的路徑上，力F與路徑垂直而不做功。因此，F(xiàn)所做的功為(2)質(zhì)點(diǎn)沿OBC從O運(yùn)動到C。同理可得：沿不同路徑從O到C，力對質(zhì)點(diǎn)所做的功不相等結(jié)論:

蘭州城市學(xué)院2.2.3

動能定理1

質(zhì)點(diǎn)動能定理（1）合力做的功等于質(zhì)點(diǎn)始、末狀態(tài)動能的增量（2）Ek

是一個狀態(tài)量，

A

是過程量。（3）動能定律適用于慣性系。

注意元功第二定律在質(zhì)點(diǎn)速度由

v0

變化到

v的過程中，外力做功為蘭州城市學(xué)院2

質(zhì)點(diǎn)系動能定律求和(2)

A包括內(nèi)力做功和外力做功(3)系統(tǒng)的動能與外力、內(nèi)力

都有關(guān)(1)對系統(tǒng)所做的功A等于系

統(tǒng)動能的增量討論蘭州城市學(xué)院求:試求到繩子與豎直線的夾角為15o的b處時小球的速率解:小球質(zhì)量為m，在b處速率為v,小球受重力mg和繩的拉力T的作用。根據(jù)動能定理，有例10：一小球系在長L=1.0m的細(xì)繩下端，繩的上端固定在天花板上，如圖所示。在初始位置a，繩子與豎直線的夾角

，由靜止釋放

由于的方向始終和小球的運(yùn)動方向垂直,重力對小球做的功為依題意，可得代入已知條件

蘭州城市學(xué)院求:若子彈接著穿過同樣的第二塊木板，速率降為多少?解:設(shè)子彈穿過第二塊木板時速率為v3．由于兩塊板中的阻力對子彈做功相同，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動能定理，有例11：速率為v1=700m·s-1的子彈，水平穿過第一塊木板后速率降為v2=500m·

s-1

解得：

蘭州城市學(xué)院2.2.4

保守力勢能1保守力（做功而只取決于物體的始末位置，與路徑無關(guān)）質(zhì)點(diǎn)沿閉合路徑一周保守力所做的功為零保守力：重力、萬有引力、彈性力非保守力：摩擦力abL1L2結(jié)論:

蘭州城市學(xué)院2

勢能保守力做的功等于勢能增量的負(fù)值。重力的功彈性力的功引力的功說明abL1引入勢能函數(shù)Ep令Epb=0，

則質(zhì)點(diǎn)在某處的勢能，等于質(zhì)點(diǎn)從該處移動至零勢能點(diǎn)保守力所做的功。Epb=0Epa=?蘭州城市學(xué)院例萬有引力勢能rMm以無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)(1)勢能零點(diǎn)可以任意選取，某一點(diǎn)的勢能值是相對的。(3)勢能是對保守內(nèi)力而引入的。對外力沒有勢能的概念。(2)

任意兩點(diǎn)間的勢能差是絕對的。引力勢能“所有者”？說明

蘭州城市學(xué)院3

勢能曲線(a)、(b)、(c)

分別給出了重力勢能、彈性勢能和萬有引力勢能的勢能曲線

勢能曲線不僅可以求出質(zhì)點(diǎn)在保守力場中各點(diǎn)所受保守力的大小和方向，而且還可以定性討論質(zhì)點(diǎn)在保守力場中的運(yùn)動情況及平衡的穩(wěn)定性等問題

蘭州城市學(xué)院求:(1)勢能函數(shù)；(2)質(zhì)點(diǎn)位于地面附近上空時，勢能函數(shù)的近似式解:(1)地球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力為例12：已知地球的質(zhì)量為M，半徑為R，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)與地心的距離為r。選地面為零勢能面

根據(jù)勢能定義式，可得勢能函數(shù)為(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)距地面高度為h，則r=R+h，地面附近上空的勢能為蘭州城市學(xué)院解:如圖所示，質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)位于參考點(diǎn)O點(diǎn)，質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)沿圖示任意路徑從位置a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)，路徑上某一點(diǎn)的位矢為r，此點(diǎn)處的位移元ds與位矢r的夾角為?。令位矢:例13：試判斷萬有引力是否為保守力

相對于

的微小增量：在質(zhì)點(diǎn)m2從位置點(diǎn)a運(yùn)動到點(diǎn)b的過程中，質(zhì)點(diǎn)m1對質(zhì)點(diǎn)m2的引力的功為可見，萬有引力是保守力

蘭州城市學(xué)院2.2.5功能原理機(jī)械能守恒定律1

質(zhì)點(diǎn)系的功能原理外力做功系統(tǒng)機(jī)械能非保守內(nèi)力做功注意：守恒條件只有保守內(nèi)力做功當(dāng)

，機(jī)械能

E

守恒—機(jī)械能守恒定律

蘭州城市學(xué)院求:試分別列出以下列物體為系統(tǒng)時的功能關(guān)系式（1）M，m（2）M，m，k，地球（3）M，m，k（4）M，m，地球解:根據(jù)功能原理和題目所要求的四類系統(tǒng)，可分別得出如下關(guān)系式例14：如圖所示，在水平桌面上放置一質(zhì)量為M的木塊，M的一端與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，并固定在墻上，另一端經(jīng)輕滑輪與下垂的重物m相連，設(shè)與桌面間摩擦系數(shù)為μ，其余為光滑接觸，開始時M靜止于平衡位置

蘭州城市學(xué)院從上例的解答可得下述結(jié)論：(2)

系統(tǒng)內(nèi)某保守力做功的量值與其相應(yīng)的勢能增量是相同的，

在功能關(guān)系中絕不可重復(fù)計(jì)入(1)

內(nèi)力和外力的確定與所選取的系統(tǒng)有關(guān)(3)

等式兩邊的位移、速度等物理量必須相對(或換算到)同

一慣性參考系進(jìn)行運(yùn)算(4)

在機(jī)械運(yùn)動范圍內(nèi)，我們所討論的只是機(jī)械能(動能和勢

能)．蘭州城市學(xué)院2

機(jī)械能守恒定律

僅當(dāng)外力和非保守內(nèi)力都不做功或其元功的代數(shù)和為零時，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但它們的總和(即總機(jī)械能)保持不變．這就是質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律(2)在實(shí)際問題中，機(jī)械能守恒的條件是無法嚴(yán)格滿足的但是當(dāng)摩擦力等非保守內(nèi)力的功同系統(tǒng)的機(jī)械能相比可忽略不計(jì)時，仍可用機(jī)械能守恒定律來處理問題（1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性參考系，且物體的位移、速

度必須相對同一慣性參考系說明

蘭州城市學(xué)院（2）決不能把功和能看成是等同的，功總是和系統(tǒng)能量的改變

和轉(zhuǎn)換過程相聯(lián)系，而能量則只和系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)．3

能量守恒定律

對一個封閉系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)的各種形式的能量可以相互轉(zhuǎn)換，也可以從系統(tǒng)的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，但無論發(fā)生何種變化，能量既不能憑空地產(chǎn)生也不能憑空地消失，能量總和總是一個常量．這就是能量守恒定律（1）在能量守恒定律中，系統(tǒng)的能量是不變量、守恒量。系統(tǒng)

內(nèi)的能量在發(fā)生轉(zhuǎn)換時，常用功來量度說明

蘭州城市學(xué)院求:求M落到地面時的速率V1(m始終在桌面上)。若物體與桌面的靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)均為μ，結(jié)果又如何?

解:以m和M及地球做為系統(tǒng)，分析知系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)物體開始下落時為狀態(tài)A，M落到地面前瞬間為狀態(tài)B，取地面為重力勢能零點(diǎn)，則例15：如圖所示，一輕繩跨過一個定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及M的物體，M離地面的高度為h，若滑輪質(zhì)量及摩擦力不計(jì)，m與桌面的摩擦也不計(jì)，開始時兩物體均為靜止，即：

和

分別為狀態(tài)B時兩物體的運(yùn)動速率

蘭州城市學(xué)院

如果物體m與桌面有摩擦，那么對于上述所取的系統(tǒng)，這個摩擦力做的功可視為系統(tǒng)的外力負(fù)功(若將桌面看作地球的一部分，則摩擦力為非保守內(nèi)力)，根據(jù)功能原理得代入

蘭州城市學(xué)院求:A點(diǎn)與拋物線最高點(diǎn)C

的高度差

解:例16：如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊從A點(diǎn)由靜止開始沿軌道下滑，在B點(diǎn)拋出．在從A到B的過程中，摩擦力對滑塊做功為A，滑塊在B點(diǎn)拋出時的水平速率為u設(shè)A、C

兩點(diǎn)高度差為h，C點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)功能原理有所以，解得

蘭州城市學(xué)院2.2.6宇宙速度1

人造地球衛(wèi)星第一宇宙速度將上式代入可解得：蘭州城市學(xué)院當(dāng)時的發(fā)射速度最小，就是第一宇宙速度，即

蘭州城市學(xué)院第一宇宙速度

蘭州城市學(xué)院聯(lián)立方程求解得：說明

在地面上發(fā)射物體使其脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度稱為第二宇宙速度2

人造行星第二宇宙速度只要物體具有不小于

的發(fā)射速度，就能脫離地球的引力作用 蘭州城市學(xué)院人造行星

蘭州城市學(xué)院3飛出太陽系第三宇宙速度使物體脫離太陽引力的束縛而飛出太陽系所需的最小發(fā)射速度稱為第三宇宙速度然后以太陽為參考系．物體在太陽引力作用下飛行．設(shè)太陽的質(zhì)量為Ms，物體脫離地球引力時，相對太陽的速度為V's，與太陽之間的距離可近似為地球與太陽之間的距離Rs．要想脫離太陽引力作用，物體的機(jī)械能至少應(yīng)為：先以地球?yàn)閰⒖枷?。設(shè)從地球發(fā)射一個速度為V3的物體，脫離地球引力時，它相對地球的速度為V'，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

蘭州城市學(xué)院代入相關(guān)數(shù)值解之最后考慮地球繞太陽的公轉(zhuǎn)．設(shè)地球公轉(zhuǎn)速度為，據(jù)牛頓第二定律，有蘭州城市學(xué)院質(zhì)心位矢xyzmio對于質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)m1m2坐標(biāo)2.3動量與沖量2.3.1質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定律1質(zhì)心

蘭州城市學(xué)院2

質(zhì)心運(yùn)動定律2.1

質(zhì)心的速度質(zhì)點(diǎn)系動量2.2質(zhì)心的加速度及其動力學(xué)規(guī)律質(zhì)點(diǎn)系動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)只取決于外力，與內(nèi)力無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)系動量等于總質(zhì)量與質(zhì)心速度的積說明說明

蘭州城市學(xué)院水平紙面蘭州城市學(xué)院解:例17：求半徑為R

的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心選如圖所示的坐標(biāo)軸．由于球殼對oy軸對稱，質(zhì)心顯然位于圖中的oy軸上．在半球殼上取一圓環(huán)，圓環(huán)的平面與oy軸垂直．圓環(huán)的面積為：設(shè)勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量面密度為σ，圓環(huán)的質(zhì)量則為：可得勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)心處于質(zhì)心位于處，其位置矢量為

蘭州城市學(xué)院例18:

質(zhì)量為m

的勻質(zhì)鏈條，全長為

L，開始時，下端與地面的距離為

h。解dl在落地時的速度根據(jù)動量定理地面受力求:當(dāng)鏈條自由下落在地面上的長度為l

時，地面所受鏈條的作用力？LhmllNN′G

蘭州城市學(xué)院例19：人從船頭到船尾，船長l

求：人和船各移動的距離解質(zhì)心靜止初態(tài)末態(tài)人相對船的位移

蘭州城市學(xué)院2.3.2沖量動量動量定理1沖量(1)恒力的沖量(2)變力的沖量設(shè)在t0到t的時間內(nèi)，恒力持續(xù)作用于質(zhì)點(diǎn)，則力與其作用時間的乘積定義為該恒力的沖量，用表示，即設(shè)在t0到t的時間內(nèi)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力隨時間變化，可以把力持續(xù)作用的時間分成許多微小的時間間隔，在每一間隔內(nèi)，可以將力視為恒力，于是力在dt間隔內(nèi)的沖量為

蘭州城市學(xué)院表明，合力的沖量等于各個分力在同一時間內(nèi)沖量的矢量和(1)若有幾個力同時作用在質(zhì)點(diǎn)上，則合力的沖量為說明（2）在SI中沖量的單位名稱為牛頓每秒，符號為：N.s

蘭州城市學(xué)院牛頓定律結(jié)論元沖量2質(zhì)點(diǎn)動量定理對質(zhì)點(diǎn)的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動量的增量動量定理微分形式動量定理積分形式.蘭州城市學(xué)院3質(zhì)點(diǎn)系動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量求和內(nèi)力之和為0

蘭州城市學(xué)院(2)直角坐標(biāo)系在有限時間內(nèi)(1)系統(tǒng)動量的變化等于外力的沖量，和內(nèi)力無關(guān)。說明積分——微分形式——積分形式質(zhì)點(diǎn)系動量定理(3)只適用于慣性系。

蘭州城市學(xué)院求:此過程中氫分子對器壁的平均沖力

解:根據(jù)動量定理，氫分子所受器壁的沖量等于氫分子動量的增量，即選取如圖所示的坐標(biāo)系，把沖量和動量進(jìn)行分解例20：已知?dú)浞肿拥馁|(zhì)量m=3.3x10-27kg，與器壁碰撞前后的速度大小不變，均為

=1.6x103m●s-1，且碰撞前后的速度方向與器壁法線方向夾角均為α=60o，如圖所示．設(shè)碰撞時間?t=10-13s，

蘭州城市學(xué)院代入上式解得解得將數(shù)值代入，可解出氫分子對器壁的平均沖力與等值反向，即垂直指向器壁，大小為5.28×10-11N

蘭州城市學(xué)院2.3.3

動量守恒定律當(dāng)

時，質(zhì)點(diǎn)系動量

不變(1)

動量守恒的分量表述(2)

動量守恒定律適用于慣性系———質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律討論質(zhì)點(diǎn)系動量定理蘭州城市學(xué)院求:(1)炮車的反沖速度；(2)若炮筒長為，則在發(fā)射炮彈的過程中炮車移動的距離為多少?

解:例21：如圖所示，一輛停在水平地面上的炮車以仰角?發(fā)射一顆炮彈，炮彈的出膛速度相對于炮車為u，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為m和M。忽略地面的摩擦(1)以炮彈和炮車為系統(tǒng)，選地面為參考系，根據(jù)相對運(yùn)動速度變換關(guān)系，可得在水平方向建立ox軸，并以炮彈前進(jìn)的一方為正方向．由于系統(tǒng)動量在水平方向的分量守恒，因此

蘭州城市學(xué)院在x方向的分量式為可得炮車的反沖速度為(2)

以表示炮彈在炮筒內(nèi)運(yùn)動過程中任意時刻相對炮車的速率在發(fā)射炮彈的過程中，炮車的位移為有

，可得炮車的位移為蘭州城市學(xué)院不難看出，應(yīng)用動量守恒定律解題的一般步驟是：說明1.按問題的要求和計(jì)算方便，選定系統(tǒng)，分析要研究的過程2.對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，并根據(jù)動量守恒條件，判斷系統(tǒng)是

否滿足動量守恒，或系統(tǒng)在哪個方向上動量守恒

3.確定系統(tǒng)在研究過程中的初動量和末動量．應(yīng)注意各動量

中的速度是相對同一慣性系而言的．4.建立坐標(biāo)系，列出動量守恒方程．求解，必要時進(jìn)行討論蘭州城市學(xué)院解:例22：一輛靜止在水平光滑軌道上且質(zhì)量為M的平板車上站著兩個人，設(shè)人的質(zhì)量均為m求:試求他們從車上沿同方向，以相對于平板車水平速率u同時跳下和依次跳下時，平板車的速率大小

(1)兩個人同時跳下．取兩個人和平板車為一個系統(tǒng)，該體系在水平方向不受力，故動量守恒．設(shè)兩人跳下后平板車的速率為

，于是有(2)兩個人依次跳下。先取兩個人和平板車為一個系統(tǒng)，該體系在水平方向不受力，故動量守恒．設(shè)第一個人跳下后平板車的速率為

，于是有

蘭州城市學(xué)院解得當(dāng)?shù)诙€人跳下時，取平板車和第二個人為一個系統(tǒng)，顯然，也滿足動量守恒定律，設(shè)第二個人跳下后平板車的速率為

，于是有蘭州城市學(xué)院2.3.4角動量角動量守恒定律1力對參考點(diǎn)的力矩如圖所示，定義力F對參考點(diǎn)O的力矩M

的大小等于此力和力臂(從參考點(diǎn)到力的作用線的垂直距離)的乘積，即力矩M的定義式又可表示為（1）方向用右手螺旋法則確定（2）在國際單位制中，力矩的單位是牛[頓]·米(N·m)

蘭州城市學(xué)院2

質(zhì)點(diǎn)角動量O大小方向：垂直

，所在平面2

力矩1

質(zhì)點(diǎn)的角動量大?。悍较颍捍怪?，所在平面蘭州城市學(xué)院3質(zhì)點(diǎn)的角動量定理說明1.

和是對于慣性系中的同一個參考O

點(diǎn)而言的。積分形式微分形式?jīng)_量矩是質(zhì)點(diǎn)角動量變化的原因角動量變化的快慢取決于力矩2力矩決定了質(zhì)點(diǎn)角動量變化的快慢蘭州城市學(xué)院4質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律──質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒守恒條件2.F=01.

r=03.

=0

或

π即“有心力”問題F力對太陽中心O點(diǎn)的力矩為0，行星的角動量守恒例行星運(yùn)動的開普勒第二定律SO單位時間掃過面積相等守恒

蘭州城市學(xué)院(1)有心力問題：過

O點(diǎn)，

MO=0，

角動量守恒(2)

動量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用討論

蘭州城市學(xué)院5質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理和角動量守恒定律(1)質(zhì)點(diǎn)系角動量定理ho質(zhì)點(diǎn)系角動量根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動量定理，對于第

i個質(zhì)元求和一對內(nèi)力矩，大小相等，方向相反，所以質(zhì)點(diǎn)系角動量變化的快慢取決于外力矩，和內(nèi)力作用無關(guān)說明蘭州城市學(xué)院有以下三種情況：(2)質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定律──質(zhì)點(diǎn)系角動量守恒定律2.所有的外力都通過參考點(diǎn)1.體系不受任何外力(即孤立體系)3.

每個外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零蘭州城市學(xué)院解:分析知，在A到B的過程中,子彈、木塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒例23：在光滑的水平桌面上，放著質(zhì)量為M的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在點(diǎn)O，彈簧的勁度系數(shù)為k，設(shè)有一質(zhì)量為的子彈以初速度

垂直于OA射向M并嵌入木塊內(nèi)，如圖所示，彈簧原長為L0，子彈擊中木塊，木塊M運(yùn)動到B點(diǎn)時刻，彈簧長度變?yōu)長，此時OB垂直于OA，求:在B點(diǎn)時，木塊的運(yùn)動速度

擊中瞬時，在水平面內(nèi)，子彈和木塊組成的系統(tǒng)沿方向動量守恒，若設(shè)為子彈嵌入木塊時的速率，即有

蘭州城市學(xué)院聯(lián)立求得由A到B的過程中，木塊對O的角動量守恒，設(shè)與OB方向成?角，則有求得與OB夾角?：

蘭州城市學(xué)院解:求:桿轉(zhuǎn)動的角速度

這三個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)對O點(diǎn)的角動量守恒，由于可解得例24：如圖所示，質(zhì)量分別為m1，m2的兩個小鋼球固定在一個長為a的輕質(zhì)硬桿的兩端，桿的中點(diǎn)有一軸使桿可在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，桿原來靜止．另一小球質(zhì)量為m3，以水平速度

沿垂直于桿的方向與m2發(fā)生碰撞，碰后二者粘在一起。設(shè)

蘭州城市學(xué)院2.3.5開普勒定律(1)每個行星各自在一個橢圓軌道上運(yùn)動，太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)德國天文學(xué)家開普勒1609年和1618年發(fā)表了描述太陽系行星運(yùn)行的三條結(jié)論，史稱開普勒定律(2)從太陽指向行星的位矢在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等(3)每個行星運(yùn)動周期的平方與其橢圓軌道長半軸的立方成正比

蘭州城市學(xué)院令1開普勒第一定律得：上式表示一個橢圓，即：太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)。這就是開普勒第一定律

蘭州城市學(xué)院2.星體的機(jī)械能e<1時，行星的機(jī)械能E<0，凡是被太陽引力束縛而繞太陽運(yùn)動的星體的機(jī)械能都是負(fù)值e=0時，即把行星繞太陽的運(yùn)動看成圓運(yùn)動時e=1時，即當(dāng)星體沿著拋物線運(yùn)動時，E=0

只受引力作用的星體的機(jī)械能雖然守恒，但不一定為負(fù)。只有當(dāng)星體為引力束縛而繞太陽運(yùn)動時，星體的機(jī)械能才是負(fù)值

蘭州城市學(xué)院3開普勒第二定律行星繞太陽做橢圓運(yùn)動時，相等時間內(nèi)位矢掃過的面積相等。=是一個常量，而且是行星繞太陽運(yùn)動時位矢在單位時間內(nèi)掃過的面積

蘭州城市學(xué)院4開普勒第三定律這表明行星運(yùn)動周期的平方與橢圓軌道長半軸的立方成正比。行星繞太陽運(yùn)動一周的時間叫做行星的運(yùn)動周期T。設(shè)某行星的運(yùn)動周期為，橢圓軌道的長、短半軸分別是a、b，則有

蘭州城市學(xué)院2.3.6變質(zhì)量系統(tǒng)問題如有一人造衛(wèi)星由三級火箭從地面靜止發(fā)射，每級火箭的燃料燃燒完后便自動脫落。設(shè)想氣體的噴射速率恒為u=2.5km·s-1，且略去燃料完后脫落燃料容器的質(zhì)量

蘭州城市學(xué)院1碰撞過程分析2.3.7碰撞開始碰撞時，兩球相互擠壓，發(fā)生形變，由形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力使兩球的速度發(fā)生變化直到兩球速度變得相等為止，這時形變達(dá)到最大，這是碰撞的第一階段，稱為壓縮階段由于形變?nèi)匀淮嬖?，彈性恢?fù)力繼續(xù)作用，使兩球速度繼續(xù)改變而有相互脫離接觸的趨勢，兩球壓縮的程度逐漸減小，直到兩球脫離接觸時為止，這是碰撞過程的第二階段，稱為恢復(fù)階段，整個碰撞過程到此結(jié)束。

蘭州城市學(xué)院2正碰(1)完全彈性碰撞若兩小球在碰撞前后的速度都在兩球的連心線上，則稱這種碰撞為對心碰撞，也稱正碰

蘭州城市學(xué)院在彈性正碰中，碰后兩球的分離速度與碰前兩球的接近速度量值相等聯(lián)立兩式解得

蘭州城市學(xué)院(2)完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞的特點(diǎn)是，碰撞后兩物體不再分開，而以相同的速度運(yùn)動系統(tǒng)損失的動能為

蘭州城市學(xué)院(3)非完全彈性碰撞若e=0，為完全非彈性碰撞若e=1，為完全彈性碰撞若0<

e<1，為一般碰撞撞碰撞后兩物體彼此分開，但由于壓縮后的物體不能完全恢復(fù)原狀而有部分形變被保留下來，因此，系統(tǒng)也只是動量守恒，而動能有損失；碰撞后兩球的分離速度與碰撞前兩球的接近速度之比為一定值，比值由兩球材料的性質(zhì)決定．該比值稱為恢復(fù)系數(shù)

蘭州城市學(xué)院等大球相碰大球碰小球小球碰大球蘭州城市學(xué)院3斜碰