第4章參數(shù)估計(jì)

第4章參數(shù)估計(jì)主要內(nèi)容4.1

參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題4.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.4樣本容量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)1、估計(jì)量與估計(jì)值的概念2、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別3、評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)4、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法5、兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法6、樣本容量的確定方法4.1參數(shù)估計(jì)的基本原理一、估計(jì)量與估計(jì)值二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)三、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量與估計(jì)值

(estimator&estimatedvalue)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x

=80，則80就是的估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimate)用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等區(qū)間估計(jì)(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x置信水平將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信區(qū)間(confidenceinterval)由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)影響區(qū)間寬度的因素1、總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來(lái)測(cè)度2、樣本容量，3、置信水平(1-)，影響z的大小評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性(unbiasedness)估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏有效性(efficiency)對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)一致性(consistency)隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)4.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì)二、總體比率的區(qū)間估計(jì)三、總體方差的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比率方差總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知小樣本

(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)總體比率的區(qū)間估計(jì)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體比率在1-置信水平下的置信區(qū)間為解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比率，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間總體方差的區(qū)間估計(jì)1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差

2的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為221-2總體方差1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2分布【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3解:已知n＝25，1-＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為

該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g4.3

兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)二、兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)三、兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值之差比率之差方差比兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(獨(dú)立大樣本)1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1２、2２

已知若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n130和n230)兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z1.1２，2２已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為1２、2２未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為【例】某地區(qū)教育委員會(huì)想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。建立兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間

兩個(gè)樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)

中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2解:兩個(gè)總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為5.03分~10.97分兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(獨(dú)立小樣本)(小樣本:1２=2２

)1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知但相等：1２=2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)2.總體方差的合并估計(jì)量估計(jì)量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得合并估計(jì)量為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘~7.26分鐘兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本:1222

)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知且不相等：1２2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為自由度【例】沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得自由度為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.192分鐘~9.058分鐘兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(匹配大樣本)假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n130和n230)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(匹配小樣本)假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n1<30和n2<30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為【例】由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下表。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2

95%的置信區(qū)間

10名學(xué)生兩套試卷的得分學(xué)生編號(hào)試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分~15.67分1.假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的2.兩個(gè)總體比率之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比率之差的估計(jì)【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間兩個(gè)總體比率之差的估計(jì)解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)1. 比較兩個(gè)總體的方差比用兩個(gè)樣本的方差比來(lái)判斷如果S12/S22接近于1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差很接近如果S12/S22遠(yuǎn)離1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)FF1-F總體方差比1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果：男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得