第5章地基中的應(yīng)力計(jì)算

土體中應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化

引起地基土的變形，導(dǎo)致建筑物的沉降、傾斜或水平位移。

當(dāng)應(yīng)力超過(guò)地基土的強(qiáng)度時(shí)，地基就會(huì)因喪失穩(wěn)定性而破壞，造成建筑物倒塌。5.1概述土中的應(yīng)力按引起的原因可分為:由土本身有效自重在地基內(nèi)部引起的自重應(yīng)力;由外荷(靜荷載或動(dòng)荷載)在地基內(nèi)部引起的附加應(yīng)力。應(yīng)力計(jì)算的基本假設(shè)：

1.假設(shè)地基土為連續(xù)、均勻、各向同性、半無(wú)限的線彈性體

2.彈性理論。研究目的：確定土體的初始應(yīng)力狀態(tài)研究方法：土體簡(jiǎn)化為連續(xù)體，應(yīng)用連續(xù)體力學(xué)(例如彈性力學(xué))方法來(lái)研究土中應(yīng)力的分布。5.2

土中自重應(yīng)力假設(shè)天然土體是一個(gè)半無(wú)限體，地面以下土質(zhì)均勻，天然重度為

(kN/m3)，則在天然地面下任意深度z(m)處的豎向自重應(yīng)力cz(kPa)，可取作用于該深度水平面上任一單位面積上土柱的重量zl計(jì)算，即：

cz=zcz沿水平面均勻分布，且與z成正比，即隨深度增加而增加，且直線性分布。地基中除有作用于水平面上的豎向自重應(yīng)力外，在豎直面上還作用有水平向的側(cè)向自重應(yīng)力。由于地基中的自重應(yīng)力狀態(tài)屬于側(cè)限應(yīng)力狀態(tài),故x=y=0，且cx=cy，根據(jù)廣義虎克定理，側(cè)向自重應(yīng)力cx和cy應(yīng)與cz成正比，而剪應(yīng)力均為零，即

cx=cy=K0cz

xy=yz=zx＝０

式中K0

―比例系數(shù)，稱為土的側(cè)壓力系數(shù)或靜止土壓力系數(shù)。它是側(cè)限條件下土中水平向有效應(yīng)力與豎直向有效應(yīng)力之比。均質(zhì)土中的應(yīng)力圖粒間應(yīng)力是通過(guò)土顆粒接觸點(diǎn)傳遞的，是影響土體強(qiáng)度的重要因素，故粒間力在截面上的平均應(yīng)力成為有效應(yīng)力。定義：土中自重應(yīng)力為土自身有效重力在土體內(nèi)引起的應(yīng)力成層土中豎向自重應(yīng)力沿深度的分布成層地基土中自重應(yīng)力

若天然地面下深度z范圍內(nèi)各層土的厚度自上而下分別為h1、h2、…

hn，成層土自重應(yīng)力為高度z土柱中各層土重的總和，可得到的計(jì)算公式：

式中

c—天然地面下任意深度z處的豎向有效自重應(yīng)力(kPa)；

n

—深度z范圍內(nèi)的土層總數(shù)

hi

—第i層土的厚度(m)；

i—第i層土的天然重度，對(duì)地下水位以下的土層取有效重度i

(kN/m3)。

地下水位位于同一土層中，計(jì)算自重應(yīng)力時(shí)，地下水位面應(yīng)作為分層的界面。在地下水位以下，如埋藏有不透水層,由于不透水層中不存在水的浮力，所以層面及層面以下的自重應(yīng)力應(yīng)按上覆土層的水土總重計(jì)算。注意【例題5—1】

某建筑場(chǎng)地的地質(zhì)柱狀圖和土的有關(guān)指標(biāo)列于圖5—3和表5—1中。試計(jì)算地面下深度為2.5m、5.0m和9.0m處的自重應(yīng)力，并繪制自重應(yīng)力分布圖。解：計(jì)算過(guò)程及結(jié)果見(jiàn)下表基底壓力的分布規(guī)律主要是取決于上部結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)的剛度和地基的變形條件，是三者共同作用的結(jié)果?；A(chǔ)剛度的影響

柔性基礎(chǔ)能隨著地基土表面而變形，作用在基礎(chǔ)底面上的壓力分布與作用在基礎(chǔ)上的荷載分布完全一樣。因此，若上部荷載均勻分布，基底接觸壓力也為均勻分布。

絕對(duì)剛性基礎(chǔ)的基礎(chǔ)底面保持平面，即基礎(chǔ)各點(diǎn)的沉降大小一樣，基礎(chǔ)底面上的壓力分布不同于上部荷載的分布情況。5.3基底壓力和基底附加壓力建筑物荷載通過(guò)基礎(chǔ)傳遞給地基，基礎(chǔ)底面?zhèn)鬟f給地基表面的壓力，稱基底壓力。基底壓力和與地面沉降柔性基礎(chǔ)絕對(duì)剛性根據(jù)彈性理論中圣維南原理，在總荷載保持定值的前提下，地表下一定深度處，土中應(yīng)力分布受基底壓力分布的影響并不顯著，而只取決于荷載合力的大小和作用點(diǎn)位置。因此，除了在基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中，對(duì)于面積較大的片筏基礎(chǔ)、箱形基礎(chǔ)等需要考慮基底壓力的分布形狀的影響外，對(duì)于具有一定剛度以及尺寸較小的柱下單獨(dú)基礎(chǔ)和墻下條形基礎(chǔ)等，其基底壓力可近似地按直線分布的圖形計(jì)算，即可以采用材料力學(xué)計(jì)算方法進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。基底壓力計(jì)算假設(shè)

基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算

1.中心荷載下的基底壓力

中心荷載下的基礎(chǔ)，其所受荷裁的合力通過(guò)基底形心?；讐毫俣榫鶆蚍植迹藭r(shí)基底平均壓力設(shè)計(jì)值p(kPa)按下式計(jì)算：式中p

—作用任基礎(chǔ)上的豎向力設(shè)計(jì)值(kN)；

G—基礎(chǔ)自重設(shè)計(jì)值及其上回填土重標(biāo)準(zhǔn)值的總重(kN)；G=GAd,G

其中為基礎(chǔ)及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，但在地下水位以下部分應(yīng)扣去浮力，即取10kN/m3；d為基礎(chǔ)埋深，必須從設(shè)計(jì)地面或室內(nèi)外平均設(shè)計(jì)地面算起(m)；

A—基底面積(m2)，對(duì)矩形基礎(chǔ)A＝lb，l和b分別為矩形基底的長(zhǎng)度和寬度(m)。

對(duì)于荷載沿長(zhǎng)度方向均勻分布的條形基礎(chǔ)，則沿長(zhǎng)度方向截取一單位長(zhǎng)度的截條進(jìn)行基底平均壓力設(shè)計(jì)值p(kPa)的計(jì)算，此時(shí)上式中A改為b(m)，而F及G則為基礎(chǔ)截面內(nèi)的相應(yīng)值(kN/m)。2.偏心荷載下的基底壓力單向偏心荷載下的矩形基礎(chǔ)如圖所示。設(shè)計(jì)時(shí)通常取基底長(zhǎng)邊方向與偏心方向一致，此時(shí)兩短邊邊緣最大壓力設(shè)計(jì)值pmax與最小壓力設(shè)計(jì)值pmin

(kPa)按材料力學(xué)短柱偏心受壓公式計(jì)算：式中M

—作用于矩形基底的力矩設(shè)計(jì)值（kN.m）；

W

—基礎(chǔ)底面的抵抗矩，W＝bl2/6（m）。

把偏心荷載(如圖中虛線所示)的偏心矩e=M/(F+G)引入上式得：

當(dāng)e＜l/6時(shí)，基底壓力分布圖呈梯形；當(dāng)e=l/6時(shí)，則呈三角形；當(dāng)e＞l/6時(shí)，按式(2)計(jì)算結(jié)果，距偏心荷載較遠(yuǎn)的基底邊緣反力為負(fù)值，即pmin<0

。

由于基底與地基之間不能承受拉力，此時(shí)基底與地基局部脫開(kāi)，使基底壓力重新分布。因此，根據(jù)偏心荷載應(yīng)與基底反力相平衡的條件，荷載合力應(yīng)通過(guò)三角形反力分布圖的形心[圖(c)中實(shí)線所示分布圖形]，由此可得基底邊緣的最大壓力pmax為：式中k—單向偏心荷載作用點(diǎn)至具有最大壓力的基底邊緣的距離(m)。

基底附加壓力

一般情況下，建筑物建造前天然土層在自重作用下的變形早已結(jié)束。因此，只有基底附加壓力才能引起地基的附加應(yīng)力和變形。如果基礎(chǔ)砌置在天然地面上，那末全部基底壓力就是新增加于地基表面的基底附加壓力。實(shí)際上，一般淺基礎(chǔ)總是埋置在天然地面下一定深度處，該處原有的自重應(yīng)力由于開(kāi)挖基坑而卸除。因此，建筑物建造后的基底壓力中應(yīng)扣除基底標(biāo)高處原有的土中自重應(yīng)力后，才是基底平面處新增加于地基的基底附加壓力，基底平均附加壓力設(shè)計(jì)值p0值按下式計(jì)算：p0=p-c=p-0d

式中p—基底平均壓力設(shè)計(jì)值(kPa)；

c—土中自重應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)值，基底處c＝0d

(kPa)；

0

—基礎(chǔ)底面標(biāo)高以上天然土層的加權(quán)平均重度，，其中地下水位下土層的重度取有效重度；

d—基礎(chǔ)埋深，必須從天然地面算起，對(duì)于新填土場(chǎng)地則應(yīng)從天然地面起算，d=d1+d2+...+dn(m)?；灼骄郊訅毫Φ挠?jì)算

地基附加應(yīng)力是指建筑物荷重在土體中引起的附加于原有應(yīng)力之上的應(yīng)力。它是使地基產(chǎn)生變形和引起建筑物沉降的主要原因。

地基附加應(yīng)力計(jì)算的假定

(1)地基土是均質(zhì)、各向同性的半無(wú)限空間線彈性體。

(2)直接采用彈性力學(xué)理論解答。

(3)基底壓力是柔性荷載，不考慮基礎(chǔ)剛度的影響。

疊加原理

疊加原理建立在彈性理論基礎(chǔ)之上，當(dāng)?shù)鼗砻嫱瑫r(shí)作用有幾個(gè)力時(shí)，可分別計(jì)算每一個(gè)力在地基中引起的附加應(yīng)力，然后每一個(gè)力在地基中引起的附加應(yīng)力累加求出附加應(yīng)力的總和。 5.4

地基附加應(yīng)力豎向集中力作用下的地基附加應(yīng)力─布辛奈斯克解

法國(guó)J.布辛奈斯克(Boussinesq,1885)運(yùn)用彈性理論推出了在彈性半空間表面上作用一個(gè)豎向集中力時(shí)，半空間內(nèi)任意點(diǎn)M(x、y、z)處的六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量的彈性力學(xué)解答:

在六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量的公式中，豎向正應(yīng)力z具有特別重要的意義，它是使地基土產(chǎn)生壓縮變形的原因。利用幾何關(guān)系，則z式改寫(xiě)為：

K

稱之為集中力作用下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)。集中作用下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz的分布特征如下：1.在集中力P作用線上的z分布附加應(yīng)力z隨深度z的增加而減少，值得注意的是，當(dāng)z＝0時(shí)，z＝∞。說(shuō)明該解不適用于集中力作用點(diǎn)處及其附近區(qū)域，因此在選擇應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)時(shí)，不應(yīng)過(guò)于接近集中力作用點(diǎn)；另一方面也說(shuō)明在靠近P作用線處應(yīng)力z很大。2.在r＞0的豎直線上的z分布

當(dāng)z＝0時(shí)z＝0；隨著z的增加，z從零逐漸增大，至一定深度后又隨著z的增加逐漸變小。3.在z＝常數(shù)的水平面上的z分布

z值在集中力作用線上最大，并隨著r的增加而逐漸減小。隨著深度z增加，集中力作用線上的z減小，而水平面上應(yīng)力的分布趨于均勻。

集中作用力下土中的應(yīng)力σz分布σz的等值線集中力作用下地基內(nèi)的地基附加應(yīng)力─明德林解

地基內(nèi)豎向和水平集中力作用下半空間的應(yīng)力地基內(nèi)豎向集中力作用下的求解問(wèn)題地基內(nèi)水平集中力作用下的求解問(wèn)題地表水平集中力作用下的地基附加應(yīng)力─西羅提解

Ph

設(shè)矩形荷載面的長(zhǎng)度和寬度分別為l和b，作用于地基上的豎向均布荷載p0。求矩形荷載面角點(diǎn)下的地基附加應(yīng)力，然后運(yùn)用角點(diǎn)法求得矩形荷載下任意點(diǎn)的地基附加應(yīng)力。

以矩形荷載面角點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)。在荷載面內(nèi)座標(biāo)為(x,y)處取一微面積dxdy，并將其上的分布荷載以集中力p0dxdy來(lái)代替，則在角點(diǎn)M下任意深度z的M點(diǎn)處由該集中力引起的豎向附加應(yīng)力dz為：均布豎向矩形荷載下的地基附加應(yīng)力將它對(duì)整個(gè)矩形荷載面A進(jìn)行積分：令則式中

m=l/b

n=z/b，Kc為均布矩形荷載角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)，簡(jiǎn)稱角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)，可按m及n值由表查得。必須注意，在應(yīng)用角點(diǎn)法計(jì)算Kc值時(shí)，b恒為短邊，l恒為長(zhǎng)邊。任意點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算—角點(diǎn)法

利用角點(diǎn)下的應(yīng)力計(jì)算公式和應(yīng)力疊加原理，推求地基中任意點(diǎn)的時(shí)加應(yīng)力的方法稱為角點(diǎn)法。(a)O點(diǎn)在荷載面邊緣z=(KcI+KcII)p0

(b)O點(diǎn)在荷載面內(nèi)

z=(KcI+KcII+KcIII+KcIV)p0

如果O點(diǎn)位于荷載面中心，則是KcI=KcII=

KcIII=KcIV

得z

＝4

KcI

(c)O點(diǎn)在荷載面邊緣外側(cè)z=(KcI

KcII+

KcIIIKcIV)p0(d)O點(diǎn)在荷載面角點(diǎn)外側(cè)z=(KcI

KcIIKcIII+KcIV)p0

應(yīng)用角點(diǎn)法計(jì)算Kc值時(shí)，b恒為短邊，l恒為長(zhǎng)邊?！纠}5—2】

以角點(diǎn)法計(jì)算圖5—15所示矩形基礎(chǔ)甲的基底中心點(diǎn)垂線下不同深度處的地基附加應(yīng)力σz的分布,并考慮兩相鄰基礎(chǔ)乙的影響（兩相鄰柱距離為6m，荷載同基礎(chǔ)甲）。解：（1）計(jì)算基礎(chǔ)甲的基底平均附加壓力基礎(chǔ)及其上回填土的總重：基底平均壓力設(shè)計(jì)值：基底處的土中自重壓力標(biāo)準(zhǔn)值：基底平均附加壓力設(shè)計(jì)值：（2）計(jì)算基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)o下由本基礎(chǔ)荷載引起的σz，基底中心點(diǎn)可看成是四個(gè)相等小矩形荷載Ⅰ(oabc)的公共角點(diǎn)長(zhǎng)寬比為l/b=2.5/2=1.25。取不同深度可通過(guò)表5-2查得地基附加應(yīng)力系數(shù)Kc，計(jì)算計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表A，并將計(jì)算結(jié)果繪成σz分布。（3）計(jì)算基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)o下由兩相鄰基礎(chǔ)乙的荷載引起的σz，此時(shí)中心點(diǎn)可看成是四個(gè)與Ⅰ(oafg)相同的矩形和另外四個(gè)與Ⅱ(oaed)相同的巨形的公共角點(diǎn)，其長(zhǎng)寬比為l/b=8/2.5=3.2和l/b=4/2.5=1.6。同樣可通過(guò)表5-2查得地基附加應(yīng)力系數(shù)Kc，計(jì)算計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表B，并將計(jì)算結(jié)果繪成σz分布。表A

基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)o下由本基礎(chǔ)荷載引起的σz計(jì)算點(diǎn)l/bz(m)z/bKcⅠ

(kPa)01234567891.251.251.251.251.251.251.251.251.251.25012345678100.00.51.01.52.02.53.03.54.04.50.2500.2350.1870.1350.0970.0710.0540.0420.0320.0224×0.250×100=1004×0.235×100=944×0.187×100=755439282217139表B基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)o下由兩相鄰基礎(chǔ)乙的荷載引起的σz【例題5—3】

如圖5—16所示，地基分別作用均布基底附加壓力為，用角點(diǎn)法計(jì)算A點(diǎn)下10m處的附加應(yīng)力σz。解：通過(guò)A點(diǎn)將荷載面積分成1、2、3、4、5五個(gè)子區(qū)域，利用表5-3即可查出地基附加應(yīng)力系數(shù)Kc，結(jié)合疊加原理，A點(diǎn)下附加應(yīng)力計(jì)算公式為各矩形區(qū)角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)為故A點(diǎn)下10m處的附加應(yīng)力為設(shè)豎向荷載沿矩形面一邊b方向上呈三角形分布(沿另一邊l的荷載分布不變)，荷載的最大值為p0，取荷載零值邊的角點(diǎn)1為座標(biāo)原點(diǎn)，則可將荷載面內(nèi)某點(diǎn)(x，y)處所取微面積dxdy上的分布荷載以集中力(x/b)p0dxdy代替。由該集中力引起角點(diǎn)1下深度z處M點(diǎn)的附加應(yīng)力為dz為：

三角形分布的豎向矩形荷載下的地基附加應(yīng)力三角形分布的豎向矩形荷載下的地基附加應(yīng)力令

m=l/b

n=z/b在整個(gè)矩形荷載面積進(jìn)行積分后得角點(diǎn)1下任意深度z處豎向附加應(yīng)力z為：其中顯然可以推出荷載最大邊角點(diǎn)2下任意深度z處的豎向附加應(yīng)力Kt1和Kt2都是m=l/b和n=z/b的函數(shù)，可查表得到均布水平矩形荷載下的地基附加應(yīng)力其中：Kh為均布水平荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)b為平行于水平荷載方向的邊長(zhǎng)l

為垂直于水平荷載方向的邊長(zhǎng)均布豎向圓形荷載下的地基附加應(yīng)力為均布圓形荷載中心點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)，可查表求得。

地基表面上作用無(wú)限長(zhǎng)的條形荷載，荷載沿寬度可按任何形式分布，且在每一個(gè)截面上的荷載分布相同(沿長(zhǎng)度方向則不變)，此時(shí)地基中產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)屬于平面問(wèn)題。因此，對(duì)于條形基礎(chǔ)，如墻基、擋土墻基礎(chǔ)、路基、壩基等，?？砂雌矫鎲?wèn)題考慮。線荷載和條形荷載下的地基附加應(yīng)力

當(dāng)荷載面積的長(zhǎng)寬比l/b＞10時(shí)，計(jì)算的地基附加應(yīng)力值與按l/b＝

時(shí)的解相比誤差甚少。在半空間表面無(wú)限長(zhǎng)直線上，作用一個(gè)豎向均布線荷載。求在地基中任意點(diǎn)M處引起的附加應(yīng)力。設(shè)一個(gè)豎向線荷載

(kN/m)作用在y座標(biāo)軸上，則沿y軸某微分段dy上的分布荷載以集中力

代替，從而求得地基中任意點(diǎn)M處由P引起的附加應(yīng)力dz為：線荷載作用下的地基附加應(yīng)力－弗拉曼（Flamant）解

積分求得M點(diǎn)的z:

線荷載作用下的應(yīng)力狀態(tài)屬于彈性力學(xué)中的平面應(yīng)變問(wèn)題，按廣義虎克定律和y＝0的條件可得：在平面問(wèn)題中需要計(jì)算的應(yīng)力分量有z、x和xz三個(gè)。同理，按上述方法可推導(dǎo)出：均布的豎向條形荷載

當(dāng)?shù)鼗砻鎸挾葹閎的條形面積上作用著豎向均布荷載p0(kPa)，此時(shí),地基內(nèi)任意點(diǎn)M的附加應(yīng)力z可利用弗拉曼解和積分的方法求得。首先在條形荷載的寬度方向上取微分段d，將其上作用的荷載視為線荷載，則在M點(diǎn)引起的豎向附加應(yīng)力dz為:

沿寬度b積分，即可得整個(gè)條形荷載在M點(diǎn)引起的豎向附加應(yīng)力:均布豎向條形荷載下的σz條形基礎(chǔ)下求地基內(nèi)的附加應(yīng)力時(shí)，必須注意坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇。

Ksz、Ksx、Ksxz值可按m＝x/b和n=z/b的數(shù)值查表得到。定義Ksz，Ksx，Ksxz分別為均布豎向條形荷載下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)、水平向附加應(yīng)力系數(shù)和附加剪應(yīng)力系數(shù)，則均布條形荷載下地基中附加應(yīng)力σz的分布均布條形荷載下地基中附加應(yīng)力的分布規(guī)律—結(jié)論地基附加應(yīng)力的分布規(guī)律可由等值線方式表示出來(lái)，如圖，為均布條形荷載下三種附加應(yīng)力等值線。地基附加應(yīng)力等值線(a)均布條形荷載下z等值線圖(b)均布方形荷載下z等值線圖(c)條形荷載下的x的等值線圖(d)條形荷載下的xz的等值線圖當(dāng)?shù)鼗砻鎸挾葹閎的條形面積上作用著最大強(qiáng)度為pt的三角形分布荷載，首先在條形荷載的寬度方向上取微分段d，