第9章維納濾波

第九章維納濾波

(WienerFiltering)2/5/20231主要內容9.1概述9.2波形線性均方估計的正交原理9.3維納-霍夫（Wiener-Horf)積分方程9.4非因果的維納濾波問題9.5因果的維納濾波器9.6預測問題9.7后驗維納濾波與互補維納濾波9.8維納濾波器的應用2/5/20232在實際應用中，有用信號往往會受到一些外界干擾，我們實際觀察到的是受到噪聲干擾了的信號。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號分離出來，是信號處理中經(jīng)常遇到的問題。

9.1概述2/5/20233在傳輸或測量信號s(n)時，由于信道噪聲或者測量噪聲w(n)，接收或測量到的數(shù)據(jù)x(n)將與s(n)不同。設噪聲是加性的:

即:x(n)=s(n)+w(n)2/5/20234如果s(n)和w(n)的頻譜是分離的，那么設計一個具有恰當頻率特性的線性濾波器即能有效地抑制噪聲并提取信號，這就是前面經(jīng)典數(shù)字信號處理理論中詳細討論過的數(shù)字濾波器的設計問題.但是如果s(n)和w(n)的頻譜互相重疊,或者s(n)和w(n)是隨機信號，它們的頻譜根本就不存在，問題就要復雜得多，這就是本章要討論的內容。2/5/20235隨機性是生物醫(yī)學信號的特點之一，在本章中主要討論噪聲中隨機信號的線性估計問題。維納濾波適用于平穩(wěn)隨機過程。觀察x(t)中既含有隨機信號s(t)又含有噪聲n(t)。2/5/20236經(jīng)處理器處理后得一估計值作為對所希望取得的信息d(t)的估計值，d(t)可能是s(t)，也可能是預測值s(t+a)，導數(shù)ds(t)/dt等。估計的任務就是要求與d(t)的差值在一定判據(jù)意義下取得極小值。2/5/20237處理器判據(jù)極小9-1估計原理方框圖2/5/20238根據(jù)待估計量d(t)的形勢，波形估計問題可分為三類：濾波問題：由t0~tf一段時期內的觀察x(t),t0≤t≤tf，估計t=tf瞬間信號s(t)的值s(t)。即：d(t)=s(t)。預測問題：由t0~tf一段時期內的觀察x(t),估計t>tf的某一時刻待估計信號的可能值。即：d(t)=s(t+a)，a>0。平滑問題：由t0~tf一段時期內的觀察x(t),估計t0<t<tf期內待估計信號的值.也叫內插問題。2/5/20239在本章應用中作以下假設：x(t)中信號s(t)和噪聲信號n(t)是加法地結合的，即：x(t)=s(t)+n(t)。處理器所采用的算法限于線性運算。即：如該處理器的沖擊響應是h(t),則：所采用的判據(jù)是均方誤差最小，即：2/5/2023109.2波形線性均方估計的正交原理設信號是隨機過程s(t)，觀察是t0~tf期內測得的隨機過程x(t),t?[t0，tf],為了簡化討論，設s(t)和x(t)都是零均值的。采用最小均方誤差作為估計判據(jù)。即：又限定估計是由觀察x(t)經(jīng)線性濾波器h(t)得出的：2/5/202311最優(yōu)線性均方估計的選取原則是使估計誤差與所有的觀察值x(),?[t0，tf]正交，也就是說，如果對每一個?[t0，tf]都有：則均方誤差最小，它等于：2/5/202312證明：2/5/202313例9.1簡單預測問題設觀察中沒有噪聲，即x(t)=s(t)，又待估計量是信號的預測值d(t)=s(t+a)，a>0，設只用t時刻的觀察值x(t)對d(t)作線性估計：按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求。2/5/202314解：根據(jù)正交原理，估計誤差：應和觀察值x(t)=s(t)正交，即：2/5/202315例9.2設觀察中沒有噪聲，即x(t)=s(t)，又待估計量是信號的預測值d(t)=s(t+a)，a>0，設估計算子采用：按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求估計系數(shù)a和b。2/5/202316解：此時正交原理表現(xiàn)為：2/5/202317由于Rss‘(t)是奇函數(shù)，所以Rss‘(0)=0

把上式化簡得到：2/5/202318代入均方誤差式中，得到：因為Rss(0)>0,此式最后一項大于零，所以，它要比例9.1的LMS要小，主要是他利用了更多的測量信息，估計效果更好些。2/5/2023199.3維納-霍夫（Wiener-Horf)積分方程觀察x(t)由信號s(t)和噪聲n(t)相加組成，觀察時間t0~tf，則：

x(t)=s(t)+n(t),?[t0，tf]

待估計過程是d(t)，x(t)經(jīng)線性處理得到估計為：要求估計均方誤差最小，試求h(t)2/5/202320根據(jù)正交原理可知：即t時刻的估計誤差要和t0~tf區(qū)間所有時刻的觀察值x()正交，推得：2/5/202321這就是h(t)應滿足的條件,稱為維納-霍夫積分方程，只要相關函數(shù)Rxd和Rxx已知，就可以由此解出h(t).而h(t)一經(jīng)解出，就有：問題是維納-霍夫方程是一個積分方程，未必能求出解析解答。2/5/2023229.4非因果的維納濾波問題對于濾波問題，利用從t0=-∞一直到tf=t時刻為止的全部觀察來估計t時刻的信號s(t)。此時有：

t0=-∞,tf=td(t)=s(t)

于是維納-霍夫方程變?yōu)椋?/5/202323做變量替換，t-=,t-=,得到：或：此時：2/5/2023249.4.1連續(xù)時間形式的解如果不要求濾波器是因果的，可以把觀察時間的上限tf擴展到-∞,也就是利用x(t)在全時間軸上的值來進行估計。此時維納-霍夫方程為：2/5/202325把它做付氏變換有：如果n(t)和s(t)統(tǒng)計獨立，則有：做反傅里葉變換得到濾波器的沖擊響應h(t)2/5/202326例9.3

設信號的功率譜是：噪聲是白色的，其功率譜是常數(shù)而且噪聲與信號統(tǒng)計獨立，求維納濾波器的頻率特性和沖擊響應。

2/5/202327解：此時有求付里葉反變換得到：它顯然是非因果的，物理不可實現(xiàn)的th(t)o2/5/202328在離散情況下，在不要求物理可實現(xiàn)的條件下?？梢灶愃仆瞥鲆韵陆Y論：維納-霍夫原方程為：現(xiàn)在放寬為：9.4.2離散時間形式的解2/5/202329

因此濾波器的頻率特性是：實際中一般采用Z變換的傳遞函數(shù)將H(z)做反演Z變換得到?jīng)_擊響應h(n)2/5/202330可見H(ej)

決定于信號與噪聲的功率譜密度;當噪聲為零時,即Snn(ej)

=0;H(ej)=1，信號全部通過；當信號為零時,即Sss(ej)

=0;H(ej)=0，噪聲被全部抑制掉;因此維納濾波器確有濾除噪聲的能力。非因果維納濾波器的幅頻特性如下圖所示。2/5/2023312/5/2023320非因果維納濾波器的幅頻特性wSss(ej)Snn(ej)H(ej)12/5/202333例9.4

設信號的自相關函數(shù)是：噪聲是白色的設計非因果的維納濾波器2/5/202334傳遞函數(shù)：解：此時有2/5/202335它是非因果的，而且是無限長的，可以取短近似，如只取4項為：2/5/2023369.5因果的維納濾波器非因果維納濾波器需要用全時間上的觀察值來估計s(n),所以不能實時實現(xiàn)，即使采用把h(n)截短的近似估計，也必須延遲若干拍，待xn+k輸入后（k是截短范圍)才能做出本次估計。維納濾波器的時域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）2/5/202337設計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應h(n)或傳遞函數(shù)H(Z)的表達式，其實質就是解維納－霍夫（Wiener－Horf）方程。我們從時域入手求最小均方誤差下的h(n)。這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設計，既：

2/5/202338在此主要介紹兩種方法：FIR型：限制處理器的形式，只用最近的p+1個觀察值[x(n),x(n-1),┅,x(n-p)]來估計s(n),即：預白化處理，把觀察序列值x(n)白化。變成白噪聲w(n)，再對w(n)做可實現(xiàn)的最優(yōu)濾波，如圖：X(n)d(n)預白化H2w(n)白色2/5/2023399.5.1FIR型處理由正交原理得：2/5/202340令:m=n-m,上式可改寫為：用矩陣表示：RxxH=G

2/5/202341只要Rxx是非奇異的，就可以求得H:

H=Rxx-1GRxx是對稱且Toplitz型的這時的最小均方誤差為：2/5/202342隨機信號都可以看成是由一白色噪聲W(n)激勵一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應，如圖所示：信號模型圖9.5.2預白化處理2/5/202343預白化方法是基于如下事實：當x(n)是方差x2=1的白噪聲時，有：

Rxx(m-n)=1當m=n=0其它所以上式直接就可以得出：

h(m)=Rxs(m)m=0~∞

離散維納--霍夫方程為:2/5/202344

對白色的x(n)而言，它的維納解是Rxs(m)的

m≥0的部分也可以寫成:h(m)=Rxs(m)u(m)它的付氏變換寫作：

[Sxs(ej)]+或用Z變換表示：

H(z)=[Sxs(z)]+符號[.]+表示原函數(shù)m>0部分對應的付氏變換和Z變換。2/5/202345X(n)S(n)+n(n)d(n)=s(n)預白化H2(z)w(n)白色H1(z)E[.]2極小優(yōu)化-+預白化算法處理框圖2/5/202346復習一個Z變換的性質如果h(n)=h(-n),則有:

H(z)=H(z-1);那么，如果z1是Ｈ(Ｚ)的極點，1/Z1一定是H(z)的極點;同樣，零點也有這樣的性質；還有如果h(n)是實函數(shù)，則Ｈ(z)極點一定是共軛對稱的．2/5/2023471.預白化濾波器H1(z)的設計

對x(n)的可實現(xiàn)白化濾波器H1(z)可如下求得:2/5/202348

2.最優(yōu)濾波器H2(z)的設計

因為W(n)是白色的，所以：2/5/202349最后得總濾波器:2/5/202350證明：2/5/202351

例9.5設x(n)=s(n)+n(n),s、n統(tǒng)計獨立,且：

設計可實時實現(xiàn)的維納濾波器。解：2/5/202352因此得：

可見：

2/5/202353括弧中的因子可按下式做部分分式分解：前一項對應與n0部分，后一項對應與n<0部分。分解得A=B=0.6。

2/5/202354因此得:2/5/202355這種處理器有兩種具體實現(xiàn)方法：(ⅰ)把h(n)截短成有限長，再與x(n)做卷積：(ⅱ)按IIR方式遞歸實現(xiàn)：2/5/2023569.6預測問題預測的任務是根據(jù)觀察x(n)對d(n)的未來值做預報。提法全然不變，只是待估過程d(n)的具體含義變了，因此估計結果也改變。在最常見的一步預測情況下：

因此：2/5/2023579.6.1一般解答因為此時維納-霍夫方程中的唯一變化是Rxd(m)成為Rxs(m+1),所以一步預測時離散時間的維納-霍夫方程是:2/5/202358(i)在非因果情況下，把上式放寬成：從而得：當s(n)和n(n)互相獨立時，上式變成：2/5/202359（ii）在因果情況下，解答是：例9.6

試為例9.5設計可實現(xiàn)的一步預測器。

因為：2/5/202360本例中：做部分分式分解，上式可分成:前一項對應于n>0部分，故:2/5/202361因此:得:或用IIR方式實現(xiàn)：2/5/2023629.6.2用有限項FIR濾波器實現(xiàn)此時:由正交原理：得維納-霍夫方程組:2/5/202363用矩陣形式表示:這里的自相關陣仍是對稱且Toeplitz型的。2/5/202364例9.7

用p=2的FIR結構給例9.5設計維納一步預測器。2/5/202365故得:解得：故2/5/2023669.7后驗維納濾波與互補維納濾波9.7.1后驗維納濾波維納濾波是以信號和噪聲的相關函數(shù)或功率譜已有先驗知識為前提的。如果這些統(tǒng)計特性未知，就需先作出它們的估計，然后再據(jù)以設計維納濾波器。但是從嚴格意義上說，這時所得結果并不是真正的維納濾波器，所以稱之為后驗“維納”濾波。2/5/202367從頻域上應用后驗維納濾波的核心問題是由各次觀察xi(n)中分解出信號的譜估計和噪聲的譜估計。通?？刹捎孟率霾襟E：1.先對各次觀察求均值，設做N次觀察：式中，s(n)是確定性的誘發(fā)響應，ni(n)是第i次刺激后記錄中的噪聲。2/5/202368

則平均誘發(fā)響應：然后求的功率譜。如果s(n)和ni(n)統(tǒng)計獨立，各次噪聲也互相獨立，則:2/5/2023692.再分別對每一次觀察xi(n)求功率譜:并求這些功率譜的平均值:2/5/2023703.聯(lián)立解1,2中最后兩式，便可求得Sss(ej)

和Snn(ej)

的估計：2/5/202371據(jù)此，得后驗"維納"濾波器如下：（i）用于對單次觀察進行濾波：（ii）用于對平均誘發(fā)響應x(n)進行濾波：2/5/202372許多研究者用這種濾波方法對各種平均誘發(fā)響應進行了濾波，但效果報道不一。有的效果較好，有的卻不甚見效。其原因除了譜估計不是真實值，因此所得得H()只能是近似的估計外，還由于“維納”濾波的其它假設也未必能滿足。其中：

過程不是平穩(wěn)的;“信號和噪聲是相加的”這一假設是一個有用模型，但刺激愈接近閾值不正確；信號與噪聲未必統(tǒng)計獨立。實際上刺激對作為噪聲的自發(fā)活動往往也有一些作用。2/5/202373為了改進后驗“維納”濾波的效果。又做出了許多改進方案，介紹如下：1.交替集均法此法除按前式求外,又按下式計算另一種平均值：

即：每當序號i為偶數(shù)時，就將觀察值取負號，通過這樣的“相加”，S(n)將被平均掉，因此的功率譜將只反映噪聲：2/5/202374便可得"維納"濾波器。

這個方法的優(yōu)點式計算量大為下降：只需要求兩次功率譜[一次對，一次對]，而采用前法卻需要求N+1次功率譜[對每個xi(n)求，還要對求]。但理論分析可以證明，所得譜估計方差較大是這種方法的缺點。2/5/202375

2.譜平滑：把前面得到的功率譜和加以平滑，然后再代維納濾波公式，可以改善濾波效果。設施加在和上的譜窗口分別是Ｗ1(ej)和Ｗ2(ej)，則平滑后的譜分別是:2/5/202376然后把它們代入維納濾波公式，得：窗口長度要比較數(shù)據(jù)長度短，其具體值要在方差和偏差之間取折中。時窗寬則譜窗窄，因此平滑作用小，偏差小，方差大。反之，時窗窄則譜窗寬，平滑作用顯著，因此偏差大，方差小。2/5/2023779.7.2互補維納濾波維納濾波器得基本假設是信號為隨機的，但是實際工作中信號常有些確定性結構，并非純粹隨機，因此應用效果未必好。因此對它簡單應用維納濾波效果未必好，因為這樣處理所得的充其量也只是真實S(t)在最小均方誤差意義下的逼近，不是真實S(t)。對這類S(t)是確定性信號的情況，采用互補維納濾波可能是更合理的方案。2/5/202378以做兩次觀察為例。如果設計濾波器時，H1(z)和H2(z)是分別獨立設計的,如圖(a)然后再把處理結果相加，效果就未必好.H2(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)2/5/202379如果設計時多引入一個限制條件，如：效果就會好些，如圖(b)。1-H1(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)x2(n)x1(n)2/5/202380因為此時:H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)+n1(n)-n2(n)2/5/202381

可見處理結果中信號s(n)成分不變。H1(z)的任務是把n1-n2變成對n2的最優(yōu)抵消。由于n2和n1-n2都是隨機信號,所以應用維納濾波的效果就比較好。2/5/2023829.8

維納濾波器的應用（ApplicationofWienerfilter）要設計維納濾波器必須知道觀測信號和估計信號之間的相關函數(shù)，即先驗知識。如果我們不知道它們之間的相關函數(shù)，就必須先對它們的統(tǒng)計特性做估計，然后才能設計出維納濾波器，這樣設計出的濾波器被稱為“后驗維納濾波器”。2/5/2023839.8.1.在生物醫(yī)學信號處理中比較典型的應用就是關于誘發(fā)腦電信號的提取。大腦誘發(fā)電位（EvokedPotential，EP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關結構在特定刺激情況下的狀態(tài)反應。在神經(jīng)學研究以及臨床診斷、手術監(jiān)護中有重要意義。2/5/202384EP信號十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電（EEG）之中，從EEG背景中提取誘發(fā)電位一直是個難題：EP的幅度比自發(fā)腦電低一個數(shù)量級，無法從一次觀察中直接得到；EP的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計上EP是非平穩(wěn)的、時變的腦誘發(fā)電位。通過多次刺激得到的腦電信號進行疊加來提取EP，這是現(xiàn)今