第三章學(xué)案2 概率的基本性質(zhì)

開始學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三1.一般地,對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱

(或稱

),

記作

(或

).2.一般地,若

,且

,那么稱事件A與事件B相等,記作A=B.3.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的

(或

)，記作

(或

).事件B包含事件A事件A包含于事件B和事件并事件A∪BA+B返回4.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱事件為事件A與事件B的

(或

),記作

(或

).5.若A∩B為不可能事件(A∩B=),那么稱事件A與事件

B

.6.若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A

與事件B互為

.7.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則

.積事件交事件互斥對立事件A∩BABP（A∪B）=P（A）+P（B）返回學(xué)點一判斷事件之間的關(guān)系

【分析】本題考查互斥事件與對立事件的概念.1.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)恰有1名男生與恰有2名男生;(2)至少有1名男生與全是男生;(3)至少有1名男生與全是女生;(4)至少有1名男生與至少有1名女生.返回

【解析】(1)因為“恰有1名男生”與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生,所以它們是互斥事件;當(dāng)恰有兩名女生時它們都不發(fā)生,所以它們不是對立事件.

(2)因為恰有兩名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.

(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生,所以它們互斥;由于它們必有一個發(fā)生,所以它們對立.

(4)由于選出的是一名男生一名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.返回

【評析】互斥事件是概率知識中的重要概念,必須正確理解.

(1)互斥事件是對兩個事件而言的.若有A,B兩個事件,當(dāng)事件A發(fā)生時,事件B就不發(fā)生;當(dāng)事件B發(fā)生時,事件A就不發(fā)生(即事件A,B不可能同時發(fā)生),我們就把這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件,否則就不是互斥事件.

(2)對互斥事件的理解,也可以從集合的角度去加以認(rèn)識.如果A,B是兩個互斥事件,反映在集合上,是表示A,B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合彼此互不相交.如果事件A1,A2,A3,…,An中的任何兩個都是互斥事件,即稱事件A1,A2,…,An彼此互斥,反映在集合上,表現(xiàn)為由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交.返回

【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的定義進(jìn)行判斷,判斷是否為互斥事件,主要看兩事件是否同時發(fā)生;判斷是否為對立事件,首先看是否為互斥事件,然后再看兩事件是否必有一個發(fā)生,若必有一個發(fā)生,則為對立事件,否則,不是對立事件.2.判斷下列給出的每對事件,是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明道理.

從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花,點數(shù)從1到10各

10張)中,任取一張.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.返回

【解析】(1)是互斥事件,不是對立事件.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”與“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的,所以是互斥事件,同時,不能保證其中必有一個發(fā)生,這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此,兩者不是對立事件.

(2)既是互斥事件,又是對立事件.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”,兩個事件不可能同時發(fā)生,且其中必有一個發(fā)生,所以它們既是互斥事件,又是對立事件.

(3)不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對立事件.返回

【評析】搞清對立事件與互斥事件的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生,如抽得點數(shù)為10,因此,兩者不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對立事件.返回某城市有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報”,事件C為“至多訂一種報”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.解:(1)由于事件C“至多訂一種報”中有可能“只訂甲報”,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件.

(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件.由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致返回事件E一定不發(fā)生,且事件E發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生,故B與E還是對立事件.

(3)事件B“至少訂一種報”中有可能“只訂乙報”,即有可能“不訂甲報”,即事件B發(fā)生,事件D也可能發(fā)生,故B與D不互斥.

(4)事件B“至少訂一種報”中有這些可能:“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”;事件C“至多訂一種報”中有這些可能:“什么也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.由于這兩個事件可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件.

(5)由(4)分析可知,事件E“一種報也不訂”只是事件C的一種可能,故事件C與事件E有可能同時發(fā)生,故C與E不互斥.返回(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？2.經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:

【分析】本題考查互斥事件求概率.

【解析】記事件在窗口等候的人數(shù)為0,1,2,3,4,5人及5人以上分別為A,B,C,D,E,F.

(1)至多2人排隊等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.排隊人員012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04返回學(xué)點二利用概率加法公式和求概率

(2)方法一:至少3人排隊等候的概率是P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因為至少3人排隊等候與至多2人排隊等候是對立事件,故由對立事件的概率公式,至少3人排隊等候的概率是P(D∪E∪F)=1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.∴至多2人排隊等候的概率是0.56,至少3人排隊等候的概率是0.44.返回

【評析】（1）必須分析清楚事件A,B互斥的原因，只9有互斥事件才可考慮用概率加法公式.

(2)所求的事件，必須是幾個互斥事件的和.

(3)滿足上述兩點才可用公式P(A∪B)=P(A)+P(B).

(4)當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時,可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.返回目錄返回如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張,那么取到紅心(事件A)的概率是,取到方塊(事件B)的概率是,問:(1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少?(1)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?解:(1)事件A與事件B不可能同時發(fā)生,所以事件A與B是互斥事件,且C=A∪B.故由互斥事件的概率加法公式得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=∴取到紅色牌的概率是.返回

(2)當(dāng)取一張牌時,取到紅色牌與取到黑色牌不可能同時發(fā)生,所以事件C,D是互斥事件,又事件C與D必有一個發(fā)生,所以C與D為對立事件,∴P(D)=1-P(C)=∴取到黑色牌的概率是.返回學(xué)點三將較復(fù)雜的事件分解成互斥事件試解釋下列情況中概率的意義:同時拋擲兩枚骰子,求至少有一個5點或6點的概率.

【分析】視其為等可能事件,進(jìn)而求概率.

【解析1】同時拋擲兩枚骰子,可能結(jié)果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)返回

【分析2】利用對立事件求概率.共有36個不同的結(jié)果，其中至少有一個5點或6點的結(jié)果有20個，所以至少有一個5點或6點的概率P（A）=

【解析2】至少有一個5點或6點的對立事件是沒有5點或6點，如上表，沒有5點或6點的結(jié)果共有16個，則沒有5點或6點的概率為.至少有一個5點或6點的概率為.返回

【評析】(1)本題常出現(xiàn)的錯誤有兩類：一類是不符合題意，認(rèn)為含5的有6個，含6的有6個，∴至少有一個5點或6點的共有12個，從而所求概率為；另一類是沒有搞清楚A,B是否為互斥事件，直接利用公式P（A∪B）=P(A)+P(B)=

.（2）解題時，將所有基本事件全部列出來是避免重復(fù)和遺漏的有效方法；對于用直接法難于解決的問題，可求其對立事件的概率，進(jìn)而求得其概率.返回一枚硬幣連擲3次,求至少出現(xiàn)一次正面的概率.解:記A1表示“擲3次硬幣有一次出現(xiàn)正面”,A2表示“擲3次硬幣有兩次出現(xiàn)正面”,A3表示“擲3次硬幣有三次出現(xiàn)正面”,A表示“擲3次硬幣至少出現(xiàn)一次正面”.因為每次擲硬幣會出現(xiàn)正反面兩種情況,所以擲3次硬幣總情形數(shù)為2×2×2=8.又因為A1包含三個基本事件,A2包含三個基本事件,A3包含一個基本事件,且易知A1,A2,A3互斥,所以P(A)=P(A1)+P（A2）+P（A3）返回

即至少出現(xiàn)一次正面的概率為.方法二：用

表示“擲3次硬幣，三次均出現(xiàn)反面”的事件，且=18，根據(jù)對立事件的概率滿足

P(A)+=1.

所以P(A)=1-

=

即至少出現(xiàn)一次正面的概率為.返回

(1)兩個事件互斥是指由事件A,B所含的結(jié)果所組成的集合的交集是空集.

(2)若事件A與B是互斥事件,那么在事件討論的全過程中,事件A與B同時發(fā)生的機會一次都沒有,即事件A或B發(fā)生與否有三種可能:①A發(fā)生,B不發(fā)生;②A不發(fā)生,B發(fā)生;③A,B都不發(fā)生.

(3)兩個事件互斥的定義可以推廣到n個事件中去,三個或三個以上的事件彼此互斥是指它們中的任何兩個事件都是互斥的.1.如何理解互斥事件?返回2.如何理解對立事件?

(1)確定對立事件的條件①兩事件不能同時發(fā)生,即對立事件是以兩事件互斥為前提;②在同一次試驗中,必有一個發(fā)生.

(2)事件A與的結(jié)果構(gòu)成集合間的關(guān)系①A∩=;②A∪=Ω,兩個對立事件的關(guān)系,如圖3-2-1所示.關(guān)于“對立事件”,應(yīng)從以下三個方面加深對它的理解.

(ⅰ)強調(diào)語句圖3-2-1返回對立事件的定義強調(diào)了兩條:①不可能同時發(fā)生,即對立事件是以互斥事件為前提的;②必有一個發(fā)生.

(ⅱ)A與用表示A的對立事件,從集合的角度看,A和所含的結(jié)果組成的集合是全集中互為補集的兩個集合,這時A和的交是不可能事件,A和的并是必然事件，即A∩

=,A∪

=Ω.返回3.如何理解對立事件的概率加法公式?對立事件A與的概率之和等于1，即P(A)+P()=1.常見變形:P()=1-P(A)或P(A)=1-P().(1)∵A,是互斥事件且A∪=Ω,又∵P(A∪)=P(Ω)=1,∴P(A)+P()=1.(2)公式P()=1-P(A)很有用,?？墒垢怕实挠嬎愕玫胶喕?當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時,可轉(zhuǎn)而去求其對立事件的概率.返回

(1)對立事件是針對兩個事件來說的.一般地,兩個事件對立,則這兩個事件是互斥事件;反之,若兩事件是互斥事件,則這兩個事件未必是對立事件.如擲骰子試驗中,“出現(xiàn)奇數(shù)點”與

“出現(xiàn)偶數(shù)點”是對立事件;“