2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2-3_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE28學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE第二章概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及分布列的概念。2。掌握超幾何分布及二項分布,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用,了解分布密度曲線的特點及表示的意義.3.理解條件概率與事件相互獨立的概念。4。會計算簡單的離散型隨機(jī)變量的均值和方差,并能利用均值和方差解決一些實際問題.一、離散型隨機(jī)變量的分布列1.定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1,a2,…,隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i=1,2,…),記作:________________________①或把上式列成下表X=aia1a2…P(X=ai)p1p2…上述表或①式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.2.求隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)明確隨機(jī)變量X的取值.(2)準(zhǔn)確求出X取每一個值時的概率.(3)列成表格的形式.3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)________,i=1,2,…。(2)________________.二、條件概率與獨立事件1.A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)=eq\f(PAB,PA).2.對于兩個事件A,B,如果________________,則稱A,B相互獨立.若A與B相互獨立,則A與eq\x\to(B),eq\x\to(A)與B,eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立.3.求條件概率的常用方法(1)定義:即P(B|A)=________。(2)借助古典概型公式P(B|A)=________。三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.定義:一般地,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值是a1,a2,…,an,這些值對應(yīng)的概率是p1,p2,…,pn,則EX=________________叫作這個離散型隨機(jī)變量X的均值.E(X-EX)2是(X-EX)2的均值,并稱之為隨機(jī)變量X的方差,記為________.2.意義:均值刻畫的是X取值的“中心位置”,而方差刻畫的是一個隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度.方差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的____________.四、超幾何分布與二項分布1.超幾何分布一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件次品,從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出n件產(chǎn)品中次品的件數(shù).那么P(X=k)=________________(k∈N),X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,其均值EX=________.2.二項分布在n次相互獨立的試驗中,每次試驗“成功”的概率均為p,“失敗"的概率均為1-p.用X表示這n次獨立重復(fù)試驗中成功的次數(shù),則P(X=k)=____________(k=0,1,2,…,n).稱為X服從參數(shù)為n,p的二項分布.其均值為EX=np,方差為DX=np(1-p).五、正態(tài)分布1.正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為f(x)=eq\f(1,σ\r(2π))exp{-eq\f(x-μ2,2σ2)},-∞〈x〈∞,其中exp{g(x)}=eg(x).2.正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)(1)函數(shù)圖像關(guān)于直線x=μ對稱.(2)σ(σ〉0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦".(3)P(μ-σ〈X〈μ+σ)=68.3%.P(μ-2σ<X〈μ+2σ)=95。4%。P(μ-3σ<X〈μ+3σ)=99.7%.類型一條件概率的求法例1口袋中有2個白球和4個紅球,現(xiàn)從中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個,則:(1)第一次取出的是紅球的概率是多少?(2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少?(3)在第一次取出紅球的條件下,第二次取出的是紅球的概率是多少?反思與感悟條件概率是學(xué)習(xí)相互獨立事件的前提和基礎(chǔ),計算條件概率時,必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.一般地,計算條件概率常有兩種方法:(1)P(B|A)=eq\f(PAB,PA);(2)P(B|A)=eq\f(nAB,nA).在古典概型中,n(AB)指事件A與事件B同時發(fā)生的基本事件個數(shù);n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個數(shù).跟蹤訓(xùn)練1擲兩顆均勻的骰子,已知第一顆骰子擲出6點,問“擲出點數(shù)之和大于或等于10”的概率.類型二互斥、對立、獨立事件的概率例2英語老師要求學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個英語單詞,每周五對一周內(nèi)所學(xué)單詞隨機(jī)抽取若干個進(jìn)行檢測(一周所學(xué)的單詞每個被抽到的可能性相同).(1)英語老師隨機(jī)抽了4個單詞進(jìn)行檢測,求至少有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的單詞的概率;(2)某學(xué)生對后兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為eq\f(4,5),對前兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為eq\f(3,5),若老師從后三天所學(xué)單詞中各抽取一個進(jìn)行檢測,求該學(xué)生能默寫對的單詞的個數(shù)ξ的分布列和均值.反思與感悟(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件,也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具.(2)涉及“至多"“至少”“恰有”等字眼的概率問題,務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系.(3)公式“P(A+B)=1-P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))”常應(yīng)用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率.跟蹤訓(xùn)練2紅隊隊員甲,乙,丙與藍(lán)隊隊員A,B,C進(jìn)行圍棋比賽,甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0。6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立.(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率;(2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求P(ξ≤1).類型三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差例3某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4?,F(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和均值.反思與感悟求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟跟蹤訓(xùn)練3某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定,小王到該銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的均值與方差.類型四正態(tài)分布例4某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績服從正態(tài)分布N(500,502),請您判斷考生成績X在550~600分的人數(shù).反思與感悟(1)記住正態(tài)總體在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于分布密度曲線具有完美的對稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此運(yùn)用對稱性結(jié)合圖像解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題.跟蹤訓(xùn)練4已知X~N(-1,σ2),若P(-3≤X≤-1)=0。4,則P(-3≤X≤1)的值是________.類型五分類討論數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用例5某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題,其中前兩個問題回答正確各得10分,回答不正確得0分,第三個問題回答正確得20分,回答不正確得-10分.如果一個挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是0.8,回答第三個問題正確的概率為0。6,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分ξ的分布列和均值;(2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率.反思與感悟解需要分類討論的問題的實質(zhì)是:整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題來解決.轉(zhuǎn)化成部分問題后增加了題設(shè)條件,易于解題,這也是解決需要分類討論問題的總的指導(dǎo)思想.跟蹤訓(xùn)練5某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到過疫區(qū),B肯定是受A感染,對于C,因為難以斷定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2).同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3)。在這種假定之下,B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機(jī)變量.寫出X的分布列(不要求寫出計算過程).1.拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過4,則出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率為()A。eq\f(1,3)B。eq\f(1,4)C。eq\f(1,6)D。eq\f(1,2)2.國慶節(jié)放假,甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別是eq\f(1,3),eq\f(1,4),eq\f(1,5).假定三人的行動相互之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A。eq\f(59,60)B。eq\f(3,5)C。eq\f(1,2)D。eq\f(1,60)3.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ〈ξ<μ+σ)=68.3%,P(μ-2σ〈ξ<μ+2σ)=95。4%)A.4.6% B.13.6%C.27。2% D.31.7%4.某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的,該市的4位申請人中恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為________.5.一個均勻小正方體的六個面中,三個面上標(biāo)有數(shù)字0,兩個面上標(biāo)有數(shù)字1,一個面上標(biāo)有數(shù)字2,將這個小正方體拋擲2次,求向上的數(shù)之積的分布列和均值.1.條件概率的兩個求解策略(1)定義法:計算P(A),P(B),P(AB),利用P(A|B)=eq\f(PAB,PB)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PB|A=\f(PAB,PA)))求解.(2)縮小樣本空間法:利用P(B|A)=eq\f(nAB,nA)求解.其中(2)常用于古典概型的概率計算問題.2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件,也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具.(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率問題,務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系.(3)公式“P(A∪B)=1-P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))”常應(yīng)用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率.3.求解實際問題的均值與方差的解題思路:先要將實際問題數(shù)學(xué)化,然后求出隨機(jī)變量的概率分布列,同時要注意運(yùn)用超幾何分布、二項分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì).對于正態(tài)分布問題,新課標(biāo)要求不是很高,只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識,主要是:(1)掌握正態(tài)分布的分布密度函數(shù).(2)理解分布密度曲線的性質(zhì).(3)記住正態(tài)分布在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率,運(yùn)用對稱性結(jié)合圖像求相應(yīng)的概率.

答案精析知識梳理知識點一1.P(x=ai)=pi(i=1,2,…),3.(1)pi>0(2)p1+p2+…=1知識點二2.P(AB)=P(A)P(B)3.(1)eq\f(PAB,PA)(2)eq\f(nAB,nA)知識點三1.a(chǎn)1p1+a2p2+…+arprDX2.平均程度越小知識點四1.eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n-k,N-M),C\o\al(n,N))neq\f(M,N)2.Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)題型探究例1解記事件A:第一次取出的是紅球;事件B:第二次取出的是紅球.(1)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個,所有基本事件共6×5個;第一次取出的是紅球,第二次是其余5個球中的任一個,符合條件的事件有4×5個,所以P(A)=eq\f(4×5,6×5)=eq\f(2,3).(2)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個,所有基本事件共6×5個;第一次和第二次都取出的是紅球,相當(dāng)于取兩個球,都是紅球,符合條件的事件有4×3個,所以P(AB)=eq\f(4×3,6×5)=eq\f(2,5).(3)利用條件概率的計算公式,可得P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(\f(2,5),\f(2,3))=eq\f(3,5)。跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)“擲出點數(shù)之和大于或等于10"為事件A,“第一顆骰子擲出6點”為事件B。方法一P(A|B)=eq\f(PAB,PB)=eq\f(\f(3,36),\f(6,36))=eq\f(1,2)。方法二“第一顆骰子擲出6點”的情況有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共6種,∴n(B)=6。“擲出點數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆骰子擲出6點”的情況有(6,4),(6,5),(6,6)共3種,即n(AB)=3.∴P(A|B)=eq\f(nAB,nB)=eq\f(3,6)=eq\f(1,2).例2解(1)設(shè)“英語老師抽到的4個單詞中,至少有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的”為事件A,由題意可得P(A)=eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,6)+C\o\al(4,6),C\o\al(4,12))=eq\f(3,11)。(2)由題意可得ξ可取0,1,2,3,則P(ξ=0)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(2,5)=eq\f(2,125),P(ξ=1)=Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(2,5)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(3,5)=eq\f(19,125),P(ξ=2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(2,5)+Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(3,5)=eq\f(56,125),P(ξ=3)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(3,5)=eq\f(48,125).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(2,125)eq\f(19,125)eq\f(56,125)eq\f(48,125)故Eξ=0×eq\f(2,125)+1×eq\f(19,125)+2×eq\f(56,125)+3×eq\f(48,125)=eq\f(11,5)=2。2.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)“甲勝A”為事件D,“乙勝B”為事件E,“丙勝C”為事件F,則eq\x\to(D),eq\x\to(E),eq\x\to(F)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件.因為P(D)=0.6,P(E)=0。5,P(F)=0.5.由對立事件的概率公式,知P(eq\x\to(D))=0.4,P(eq\x\to(E))=0。5,P(eq\x\to(F))=0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DEeq\x\to(F),Deq\x\to(E)F,eq\x\to(D)EF,DEF。由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立,因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P=P(DEeq\x\to(F))+P(Deq\x\to(E)F)+P(eq\x\to(D)EF)+P(DEF)=0.6×0.5×0。5+0。6×0.5×0.5+0。4×0。5×0。5+0.6×0。5×0.5=0。55。(2)由題意,知ξ的可能取值為0,1,2,3。P(ξ=0)=P(eq\x\to(D)eq\x\to(E)eq\x\to(F))=0.4×0.5×0.5=0.1,P(ξ=1)=P(eq\x\to(D)eq\x\to(E)F)+P(eq\x\to(D)Eeq\x\to(F))+P(Deq\x\to(E)eq\x\to(F))=0。4×0。5×0.5+0。4×0。5×0。5+0。6×0。5×0。5=0。35,所以P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=0.45。例3解(1)從10人中選出2人的選法共有Ceq\o\al(2,10)=45(種),事件A:參加次數(shù)的和為4,情況有:①1人參加1次,另1人參加3次,②2人都參加2次;共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)+Ceq\o\al(2,3)=15(種),∴事件A發(fā)生的概率P=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)+C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))=eq\f(1,3).(2)X的可能取值為0,1,2。P(X=0)=eq\f(C\o\al(2,3)+C\o\al(2,3)+C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))=eq\f(4,15),P(X=1)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)+C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))=eq\f(7,15),P(X=2)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))=eq\f(4,15),∴X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)∴EX=0×eq\f(4,15)+1×eq\f(7,15)+2×eq\f(4,15)=1.跟蹤訓(xùn)練3解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)=eq\f(1,2).(2)X的可能取值是1,2,3,則P(X=1)=eq\f(1,6),P(X=2)=eq\f(5,6)×eq\f(1,5)=eq\f(1,6),P(X=3)=eq\f(5,6)×eq\f(4,5)=eq\f(2,3),所以X的分布列為X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)EX=1×eq\f(1,6)+2×eq\f(1,6)+3×eq\f(2,3)=eq\f(5,2),DX=E(X-EX)2=eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(5,2)))2+eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(5,2)))2+eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3-\f(5,2)))2=eq\f(7,12)。例4解∵考生成績X~N(500,502),∴μ=500,σ=50,∴P(550〈X<600)=eq\f(1,2)[P(500-2×50<X<500+2×50)-P(500-50<X〈500+50)]=eq\f(1,2)(0。954-0。683)=0.136,∴考生成績在550~600分的人數(shù)為2500×0.136=340.跟蹤訓(xùn)練40。8解析由于X~N(-1,σ2),且區(qū)間[-3,-1]與[-1,1]關(guān)于x=-1對稱,所以P(-3≤X≤1)=2P(-3≤X≤-1)=0.8.例5解(1)三個問題均答錯,得0+0+(-10)=-10(分).三個問題均答對,得10+10+20=40(分).三個問題一對兩錯,包括兩種情況:①前兩個問題一對一錯,第三個問題錯,得10+0+(-10)=0(分);②前兩個問題錯,第三個問題對,得0+0+20=20(分).三個問題兩對一錯,也包括兩種情況:①前兩個問題對,第三個問題錯,得10+10+(-10)=10(分);②第三個問題對,前兩個問題一對一錯,得20+10+0=30(分).故ξ的可能取值為-10,0,10,20,30,40。P(ξ=-10)=0.2×0。2×0。4=0.016,P(ξ=0)=Ceq\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.4=0.128,P(ξ=10)=0.8×0.8×0。4=0.256,P(ξ=20)=0.2×0。2×0.6=0。024,P(ξ=30)=Ceq\o\al(1,2)×0。8×0.2×0。6=0.192,P(ξ=40)=0.8×0。8×0.6=0.384。所以ξ的分布列為ξ-10010203040P0。0160.1280。2560。0240。1920.384所以Eξ=-10×0。016+0×0。128+10×0。256+20×0。024+30×0.192+40×0。384=24.(2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分的概率為P(ξ≥0)=1-P(ξ<0)=1-0。016=0。984.跟蹤訓(xùn)練5解(1)A直接感染一個人有2種情況,分別是A-B-C-D和A-B-eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(C,D)),概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,3)+eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,3);(2)A直接感染二個人有3種情況,分別是A-eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(B-C,D)),A—eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(B-D,C)),A—eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(B,C-D)),概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,3)+eq\f(1,2)×eq\f(1,3)+eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,2);(3)A直接感染三個人只有一種情況,概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,6).∴隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)當(dāng)堂訓(xùn)練1.D[設(shè)拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)不超過4為事件A,拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)為事件B,則P(B|A)=eq\f(nAB,nA)=eq\f(2,4)=eq\f(1,2)。故選D.]2.B[設(shè)“國慶節(jié)放假,甲,乙,丙三人去

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