2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課(二)學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章解析幾何初步學(xué)習(xí)目標1。整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò),進一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.培養(yǎng)綜合運用知識解決問題的能力,能靈活、熟練運用待定系數(shù)法求解圓的方程，能解決直線與圓的綜合問題，并學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．1．圓的方程（1）圓的標準方程：________________________.(2)圓的一般方程：________________________.2．點和圓的位置關(guān)系設(shè)點P（x0，y0）及圓的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2.(1)(x0－a）2＋(y0－b)2>r2?點P________.(2)（x0－a)2＋（y0－b）2<r2?點P________.（3）（x0－a)2＋（y0－b)2＝r2?點P________.3．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r，則d____r→相離；d____r→相切；d____r→相交．4．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)C1與C2的圓心距為d，半徑分別為r1與r2,則位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d〉r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝｜r1－r2｜d〈｜r1－r2｜5。求圓的方程時常用的四個幾何性質(zhì)6．與圓有關(guān)的最值問題的常見類型(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a）形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如（x－a)2＋（y－b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點距離的平方的最值問題．7．計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算．(2）代數(shù)方法運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB｜＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]）。注:圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．8．空間中兩點的距離公式空間中點P1（x1，y1，z1），點P2（x2,y2，z2)之間的距離|P1P2｜＝________________________。類型一求圓的方程例1根據(jù)條件求下列圓的方程．（1）求經(jīng)過A(6，5),B（0,1）兩點,并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上的圓的方程;(2)求半徑為eq\r（10），圓心在直線y＝2x上,被直線x－y＝0截得的弦長為4eq\r(2)的圓的方程．反思與感悟求圓的方程主要是根據(jù)圓的標準方程和一般方程，利用待定系數(shù)法求解，采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為:第一步:選擇圓的方程的某一形式．第二步：由題意得a，b,r（或D，E，F(xiàn))的方程(組）．第三步：解出a，b，r(或D，E，F(xiàn)）．第四步：代入圓的方程．注：解題時充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運算量，例如：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；圓心與弦的中點連線垂直于弦；當兩圓相交時，連心線垂直平分兩圓的公共弦;當兩圓相切時，連心線過切點等．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，圓C與x軸相切于點T（1，0),與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|＝2，則圓C的標準方程為________．類型二直線與圓的位置關(guān)系例2已知點M(3,1),直線ax－y＋4＝0及圓（x－1)2＋（y－2）2＝4。(1）求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；（3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，求a的值．反思與感悟當直線與圓相交時，常涉及到弦長問題,弦長的計算有以下兩種思路(1）代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立得方程組，消元后得到一個一元二次方程，在判別式Δ〉0的前提下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長．（2）幾何方法:若弦心距為d，圓半徑為r，則弦長為l＝2eq\r(r2－d2）。解決直線與圓相交問題時，常利用幾何方法，即構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理，當直線與圓相切時,圓心到直線的距離等于半徑，圓心和切點的連線垂直于切線．跟蹤訓(xùn)練2已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0。（1)若直線l過點P，且被圓C截得的線段長為4eq\r(3），求l的方程；（2)求過P點的圓C弦的中點的軌跡方程．類型三圓與圓的位置關(guān)系例3已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。(1）m取何值時兩圓外切？（2）m取何值時兩圓內(nèi)切？（3)當m＝45時,求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．跟蹤訓(xùn)練3已知兩個圓C1:x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直線l:x＋2y＝0，求經(jīng)過C1和C2的交點且和l相切的圓的方程．類型四數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例4曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2）＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（)A．(0，eq\f（5，12）） B．(eq\f（5,12），＋∞)C．(eq\f（1，3），eq\f(3，4）] D．（eq\f(5,12)，eq\f(3，4)］反思與感悟數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用極其廣泛，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題,能把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形建立起關(guān)系，從而使問題在解答過程中更加形象化、直觀化，而本章的相關(guān)知識整體體現(xiàn)了這種思想，即把幾何問題代數(shù)化，同時利用代數(shù)(方程）的思想反映幾何問題．跟蹤訓(xùn)練4已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0,則eq\f（y,x）的最大值為________，最小值為________．1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋eq\f（5,4）a2＋a－1＝0表示圓,則a的取值范圍是(）A．a(chǎn)＜－2或a＞eq\f（2,3） B．－eq\f（2，3)＜a＜2C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜12．以點(－3,4）為圓心，且與x軸相切的圓的方程是(）A．(x－3)2＋（y＋4）2＝16B．(x＋3)2＋（y－4）2＝16C．(x－3）2＋（y＋4)2＝9D．（x＋3)2＋（y－4)2＝93．過點P(－eq\r（3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°4．兩圓x2＋y2－6x＋16y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線的條數(shù)為（）A．4 B．3C．2 D．15．已知直線x－my＋3＝0和圓x2＋y2－6x＋5＝0.（1）當直線與圓相切時,求實數(shù)m的值；(2)當直線與圓相交,且所得弦長為eq\f（2\r（10）,5）時，求實數(shù)m的值．圓是非常特殊的幾何圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的許多幾何性質(zhì)在解決圓的問題時往往起到事半功倍的作用，所以在實際解題中常用幾何法，充分結(jié)合圓的平面幾何性質(zhì)．那么，經(jīng)常使用的幾何性質(zhì)有(1）圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；切點與圓心的連線垂直于切線;切線在切點處的垂線一定經(jīng)過圓心;圓心、圓外一點及該點所引切線的切點構(gòu)成直角三角形的三個頂點等等．(2)直線與圓相交的弦的有關(guān)性質(zhì)：相交弦的中點與圓心的連線垂直于弦所在直線;弦的垂直平分線(中垂線)一定經(jīng)過圓心；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形的三邊,滿足勾股定理．(3）與直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)：直徑是圓的最長的弦;圓的對稱軸一定經(jīng)過圓心；直徑所對的圓周角是直角．答案精析知識梳理1．(1）（x－a)2＋（y－b）2＝r2(2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0）2．（1）在圓外(2)在圓內(nèi)（3）在圓上3．〉＝〈8。eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)題型探究例1解(1）由題意知，線段AB的垂直平分線方程為3x＋2y－15＝0,∴由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x＋2y－15＝0，,3x＋10y＋9＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝7，，y＝－3，)）∴圓心C（7，－3)，半徑為r＝｜AC｜＝eq\r（65)?！嗨髨A的方程為(x－7)2＋(y＋3）2＝65。(2)方法一設(shè)圓的方程為(x－a）2＋（y－b)2＝r2，則圓心坐標為（a,b)，半徑為r＝eq\r(10），圓心（a，b）到直線x－y＝0的距離為d＝eq\f(|a－b|，\r(2））。由半弦長,弦心距，半徑組成直角三角形,得d2＋(eq\f(4\r（2)，2)）2＝r2，即eq\f（a－b2，2）＋8＝10，∴（a－b）2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4,∴所求圓的方程為(x－2）2＋(y－4）2＝10或(x＋2)2＋(y＋4）2＝10.方法二設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b）2＝10，∵圓心C（a，b）在直線y＝2x上，∴b＝2a。由圓被直線x－y＝0截得的弦長為4eq\r(2），將y＝x代入(x－a)2＋(y－b）2＝10，得2x2－2(a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.設(shè)直線y＝x交圓C于點A(x1，y1)，B（x2，y2),則｜AB|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22）＝eq\r(2［x1＋x22－4x1x2])＝4eq\r(2），∴（x1＋x2）2－4x1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝eq\f(a2＋b2－10,2），∴（a＋b)2－2(a2＋b2－10）＝16，即a－b＝±2。又∵b＝2a，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝4)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4.))∴所求圓的方程為（x－2)2＋（y－4)2＝10或（x＋2）2＋(y＋4)2＝10。跟蹤訓(xùn)練1(x－1）2＋(y－eq\r（2))2＝2例2解（1)圓心C(1，2），半徑為r＝2。①當直線的斜率不存在時,方程為x＝3。由圓心C（1，2）到直線x＝3的距離為d＝3－1＝2＝r知,此時直線與圓相切．②當直線的斜率存在時，設(shè)方程為y－1＝k（x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由題意知，eq\f(｜k－2＋1－3k｜,\r(k2＋1））＝2,解得k＝eq\f(3，4）。∴方程為y－1＝eq\f(3,4)（x－3),即3x－4y－5＝0。故過M點的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0。(2）由題意有eq\f（|a－2＋4|，\r(a2＋1))＝2，解得a＝0或a＝eq\f(4,3)。(3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為eq\f（|a＋2｜，\r(a2＋1）),∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（｜a＋2|,\r（a2＋1））)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(3),2)））2＝4，解得a＝－eq\f(3,4)。跟蹤訓(xùn)練2解(1)如圖所示，|AB|＝4eq\r（3），設(shè)D是線段AB的中點,則CD⊥AB,∴|AD|＝2eq\r(3），｜AC｜＝4。在Rt△ACD中，可得｜CD|＝2。設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0。由點C到直線AB的距離為eq\f（|－2k－6＋5｜,\r（k2＋1))＝2，得k＝eq\f（3,4)，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.又∵當直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0，∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0。（2）設(shè)過P點的圓C弦的中點為D(x，y），則CD⊥PD,所以kCD·kPD＝－1,即eq\f(y－6，x＋2）·eq\f(y－5,x）＝－1,化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.例3解圓Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化為(x－1)2＋(y－3)2＝11,圓Q2化為（x－5)2＋（y－6）2＝61－m，兩圓圓心距離｜Q1Q2|＝eq\r（5－12＋6－32）＝5.（1)當兩圓外切時,|Q1Q2|＝eq\r（11)＋eq\r(61－m），即5＝eq\r（11）＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2）當兩圓內(nèi)切時，|Q1Q2｜＝｜eq\r(11)－eq\r（61－m）｜,因為eq\r（11）<5，所以｜Q1Q2｜＝eq\r(61－m)－eq\r(11），所以5＝eq\r（61－m)－eq\r（11），所以m＝25－10eq\r（11）。（3)當m＝45時，由兩圓方程相減,得公共弦方程為x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0,即4x＋3y－23＝0。圓心Q1到公共弦的距離為d＝eq\f(｜4×1＋3×3－23｜，\r(42＋32））＝2，所以公共弦長為2eq\r（，r\o\al(2,1）－d2）＝2eq\r(\r（11）2－22）＝2eq\r（7).跟蹤訓(xùn)練3解將兩圓的方程C1：x2＋y2＝4，C2:x2＋y2－2x－4y＋4＝0相減，得x＋2y－4＝0,將x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4,得5y2－16y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝eq\f(6，5)，得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)，所以圓與圓的交點坐標分別為（0，2),（eq\f（8，5）,eq\f（6,5)）．設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋（y－b）2＝r2，依題意，得eq\b\lc\｛\rc\