2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量3.1數(shù)乘向量學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE3．1數(shù)乘向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義。2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問題．知識(shí)點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義思考1實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？思考2向量3a,－3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？思考3λa的幾何意義是什么？梳理數(shù)乘向量一般地,實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作________．它的長度為｜λa｜＝|λ｜｜a｜.它的方向:當(dāng)λ〉0時(shí)，λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0,方向任意．知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？梳理向量數(shù)乘運(yùn)算律(1)λ（μa）＝（λμ）a.（2）(λ＋μ）a＝λa＋μa.（3)λ（a＋b)＝λa＋λb。知識(shí)點(diǎn)三向量共線定理思考若b＝2a，b與a共線嗎?梳理(1）向量共線的判定定理a是一個(gè)________向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得____________,則向量b與非零向量a共線．(2)向量共線的性質(zhì)定理若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b＝________.知識(shí)點(diǎn)四向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量積的綜合運(yùn)算，通常稱為向量的線性運(yùn)算（或線性組合）．類型一向量數(shù)乘的基本運(yùn)算例1(1)化簡：eq\f(1,4）[2(2a＋4b）－4(5a－2b)］．（2)已知向量為a，b，未知向量為x,y,向量a,b，x,y滿足關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.反思與感悟（1）向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在實(shí)數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”是指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2）向量也可以通過列方程和方程組求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1（1）（a＋b)－3（a－b）－8a＝________。（2）若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（1,3）a））－eq\f（1，3）(c＋b－3y）＋b＝0，其中a,b，c為已知向量，則未知向量y＝________。類型二向量共線的判定及應(yīng)用命題角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線例2已知非零向量e1，e2不共線．(1)若a＝eq\f（1,2)e1－eq\f(1，3)e2,b＝3e1－2e2,判斷向量a，b是否共線．（2）若eq\o(AB，\s\up6（→)）＝e1＋e2，eq\o(BC，\s\up6（→））＝2e1＋8e2，eq\o（CD,\s\up6(→））＝3（e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線．反思與感悟（1）向量共線的判斷（證明）是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線．(2）利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點(diǎn)共線時(shí),不但要利用b＝λa(a≠0），還要說明向量a,b有公共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o（AB，\s\up6（→））＝e1＋2e2，eq\o（BC，\s\up6（→））＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up6(→）)＝7e1－2e2，則共線的三個(gè)點(diǎn)是________．命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量e1,e2不共線，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定k的值．反思與感悟利用向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa,既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練3已知A，B,P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn),若eq\o（OP，\s\up6（→)）＝xeq\o(OA，\s\up6(→))＋yeq\o（OB，\s\up6(→)），則x＋y＝________.類型三用已知向量表示其他向量例4在△ABC中，若點(diǎn)D滿足eq\o(BD，\s\up6（→））＝2eq\o（DC,\s\up6（→))，則eq\o（AD，\s\up6(→））等于(）A.eq\f（1，3）eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\f（2,3)eq\o（AB,\s\up6（→)） B。eq\f（5,3)eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\f（2,3)eq\o（AC,\s\up6（→)）C.eq\f（2，3）eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)） D。eq\f（2，3）eq\o（AC,\s\up6(→））＋eq\f（1,3）eq\o(AB，\s\up6(→）)反思與感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1）先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中．(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量．(3）當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在△ABC中,D，E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(CA,\s\up6(→)）＝3a，eq\o(CB，\s\up6(→））＝2b，求eq\o（CD，\s\up6（→）），eq\o（CE，\s\up6（→））。1．已知a＝5e，b＝－3e,c＝4e，則2a－3b＋c等于()A．5e B．－5eC．23e D．－23e2．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→))等于（)A.eq\f(1,2)eq\o（AM，\s\up6(→）) B.eq\o（AM,\s\up6（→）)C．2eq\o（AM，\s\up6（→)) D.eq\o(MA,\s\up6(→))3．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量,若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）與向量n＝e2－2e1共線,則（）A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝eq\f（1，2)4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且eq\o（PA，\s\up6(→））＋eq\o(PB,\s\up6(→））＋eq\o（PC,\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6（→)),則（）A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長線上D．P在AC邊上5．如圖所示，已知eq\o（AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3）eq\o(AB，\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6（→))，eq\o(OB，\s\up6（→））表示eq\o(OP，\s\up6（→））。1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的｜λ｜倍．向量eq\f(a,｜a|）表示與向量a同向的單位向量．3．向量共線定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具．即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題．4．已知O，A,B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o（OP,\s\up6(→）)＝meq\o(OA,\s\up6(→)）＋neq\o（OB,\s\up6（→）)（m，n∈R)，A，P，B三點(diǎn)共線?m＋n＝1。

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1向量．思考23a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相同．－3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相反．思考3由實(shí)數(shù)與向量的積的定義可以看出，它的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮．當(dāng)|λ｜＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0)或反方向(λ＜0）上伸長為原來的｜λ|倍；當(dāng)｜λ|＜1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向（λ＜0）上縮短為原來的|λ｜倍．梳理λa知識(shí)點(diǎn)二思考結(jié)合律，分配律．知識(shí)點(diǎn)三思考根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知，b與a共線．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0），那么b與a是共線向量;反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.梳理（1)非零b＝λa(2)λa題型探究例1解(1）eq\f（1，4)[2（2a＋4b）－4(5a－2b)]＝eq\f(1，4）（4a＋8b－20a＋8b）＝eq\f（1,4）（－16a＋16b）＝－4a＋4b。(2)因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a，①,－4x＋3y＝b，②)）由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b）－2y＝a,即y＝4a＋3b。所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b。跟蹤訓(xùn)練1(1)－10a＋4b（2)eq\f（2,9）a－eq\f（2,9)b＋eq\f(1，9）c例2(1)解∵b＝6a，∴a與b共線．(2）證明∵eq\o(AB，\s\up6（→））＝e1＋e2，eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2）＝5eq\o(AB,\s\up6（→)),∴eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o（BD,\s\up6(→)）共線，且有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練2A,B，D例3解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則（k－λ)e1＝(λk－1）e2。又e1與e2不共線，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k－λ＝0，，λk－1＝0，))∴k＝±1.跟蹤訓(xùn)練31例4D跟蹤訓(xùn)練4解∵eq\o(CA，\s\up6(→))＝3a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2b，∴eq\o(AB,\s\up6(→））＝eq\o（CB,\s\up6（→)）－eq\o(CA,\s\up6(→）)＝2b－3a.又∵D,E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6（→））＝eq\f（1，3）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)b－a，∴eq\o（CD，\s\up6(→）)＝eq\o(CA，\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→)）＝3a＋eq\f（2,3)b－a＝2a＋eq\f（2,3)b,eq\o（CE，\s\up6（→)）＝eq\o（CA，\s\up6（→）)＋eq\o(AE,\s\up6（→））＝3a＋eq\f（2，3）eq\o（AB，\s\up6(→））＝3a＋eq\f(2，3）（2b－3a）＝a＋eq\f（4,3)b.當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2。C3。D4。D5．解eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o(AP,\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→)）＋