第五章 光的衍射

11光的衍射第五章25.1光的衍射引言衍射使屏障以后的空間光強(qiáng)分布，既區(qū)別于幾何光學(xué)給出的光強(qiáng)分布，又區(qū)別于光波自由傳播時(shí)的光強(qiáng)分布，衍射光強(qiáng)有了一種重新分布！光波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，會(huì)偏離原來的傳播方向彎入障礙物的幾何影區(qū)內(nèi)，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)光強(qiáng)的不均勻分布，這種現(xiàn)象稱為光的衍射。1、光的衍射概論3各種光孔的衍射圖樣4用激光束觀察單縫衍射現(xiàn)象衍射表現(xiàn)出光波的傳播行為具有:1)、“限制與擴(kuò)展”~衍射發(fā)散角；2)、縫寬與波長~~敏感因素3)、理論上給出:

5衍射程度被粗分為三檔。當(dāng)高亮度的激光束引入衍射實(shí)驗(yàn)以后。衍射現(xiàn)象很不明顯，近乎直線傳播；但邊緣衍射效應(yīng)仍不可忽視。衍射現(xiàn)象顯著，出現(xiàn)衍射花樣。衍射現(xiàn)象過于明顯向散射過渡。具有實(shí)際意義與理論意義。6衍射是一切波動(dòng)均具有的傳播行為。與聲波衍射、水波衍射相比，光波衍射不易觀察到。原因兩點(diǎn)： 一是可見光的波長極短， 二是普通光源是非相干的面光源。既要求光源是足夠小的“點(diǎn)”，又要求在遠(yuǎn)處有足夠的光強(qiáng)，這條件是苛刻的。 72、基爾霍夫標(biāo)量衍射理論 光是一種電磁波，光通過小孔的衍射問題可以作為電磁場的邊值問題來求解。這種方法的缺點(diǎn)是比較復(fù)雜。 實(shí)際所用的衍射理論都是一些近似的解法。本章主要介紹的是基爾霍夫標(biāo)量衍射理論（也是一種近似理論）。可以解決多數(shù)的光學(xué)儀器中的衍射問題。其適用條件是：傍軸、自然光！這在實(shí)驗(yàn)上是不難被滿足的。83、衍射系統(tǒng)及其分類前場照明空間,照明波一般較簡單，后場衍射空間,衍射波一般較復(fù)雜。理論目標(biāo)是99衍射的分類104、衍射巴比涅原理反映互補(bǔ)屏的兩個(gè)衍射場之關(guān)系巴比涅原理中的一對互補(bǔ)屏在衍射積分式中，積分區(qū)間(光孔)意義:一旦求得,則其互補(bǔ)屏之衍射場就容易地獲得，因?yàn)樽杂蓤?/p>

通常顯而易見。11巴比涅原理的實(shí)驗(yàn)顯示(a)、(b)是一對互補(bǔ)屏，(c)、(d)是相應(yīng)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣125.2惠更斯-菲涅耳原理一．惠更斯-菲涅耳原理及其數(shù)學(xué)表達(dá)式場點(diǎn)的擾動(dòng)可被視為，波前上所有次波源所貢獻(xiàn)的次級擾動(dòng)的相干疊加。------次波相千疊加原理。1313光源S在P點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)，應(yīng)等于其波面Σ上各點(diǎn)發(fā)出次波在P點(diǎn)的光振動(dòng)的疊加。Q點(diǎn)處的元波面dσ

發(fā)出的子波在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅P點(diǎn)總的復(fù)振幅為：1414基于物理上的若干基本考慮，與以下因素有關(guān)：引入常數(shù)c,1515菲涅爾假設(shè)且有（1）人為假設(shè)了k(θ),未給出k(θ)和c的具體形式;（2）假設(shè)當(dāng)θ≥π/2時(shí)，k(θ)＝0。事實(shí)證明，該假設(shè)不正確;惠更斯—菲涅耳原理的缺陷165.3菲涅耳-基爾霍夫衍射公式

基爾霍夫指從亥姆霍茲方程方程出發(fā)，用格林公式，在k.r>>1近似下,給出了無源空間邊值定解的積分表達(dá)式：基爾霍夫的新貢獻(xiàn)是：明確了方向因子給出了比例系數(shù)指出波前(Σ)面并不限于等相面，凡是隔離實(shí)在的點(diǎn)光源與場點(diǎn)的任意閉合面，都可以作為衍射積分式中的積分面。1717基爾霍夫邊界條件（假設(shè))閉合面對衍射場的貢獻(xiàn):1818衍射積分公式簡化為：菲涅耳原理的實(shí)質(zhì)：無源空間邊值定解，即波前決定一切，決定觀測結(jié)果;其推論：當(dāng)再現(xiàn)或重構(gòu)相同的波前，必將再現(xiàn)相同的觀測結(jié)果，即使原物不復(fù)存在。------

全息術(shù)的思想基礎(chǔ)195.3．菲涅耳衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射

衍射積分公式計(jì)算比較復(fù)雜，為了能夠詳細(xì)討論衍射現(xiàn)象，在計(jì)算的過程做一些近似以便簡化計(jì)算。20（一）傍軸近似（初步近似）當(dāng)孔徑范圍及觀察范圍遠(yuǎn)小于兩者之間距的情況。單色平面波垂直入射時(shí)：（1）cos(n,r)=cos（θ）≈1,因此傾斜因子即近似地把傾斜因子看作常量，不考慮它對衍射的影響2121（2）同時(shí)取r≈z1，認(rèn)為r變化對振幅影響可略，但r對相位的影響不可略。取上面兩個(gè)近似后有：

強(qiáng)調(diào):不同的光孔形狀（Σ）、不同的瞳函數(shù)，將產(chǎn)生不同的衍射場，而積分核

總是這個(gè)形式。2222（二）菲涅耳近似和夫瑯和費(fèi)近似

要對相位因子指數(shù)中的r進(jìn)行積分是比較困難，因此必須做更精確的近似來進(jìn)行簡化如右圖在衍射開孔平面和觀察屏平面建立坐標(biāo)系，有：應(yīng)用二項(xiàng)式展開，得23當(dāng)z1大到使第四項(xiàng)以后各項(xiàng)對位相k·r的作用遠(yuǎn)小于π時(shí)，忽略第四項(xiàng)以后的高次項(xiàng)：這一近似即為菲涅耳近似。觀察屏位于這一近似區(qū)域內(nèi)所觀察到的衍射現(xiàn)象即為菲涅耳衍射，此時(shí)觀察屏所處的區(qū)域?yàn)榉颇苌鋮^(qū)。近似后菲涅耳-基爾霍夫衍射公式為：2424在孔徑外的復(fù)振幅為0則上式可寫為：——菲涅耳衍射公式

2525如進(jìn)一步增大z1，將觀察屏移到離衍射開孔更遠(yuǎn)的地方，菲涅爾衍射公式中的第四項(xiàng)對位相的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)小于π時(shí),忽略第四項(xiàng)，則有這一近似稱為夫瑯和費(fèi)近似，在此條件下看到的衍射現(xiàn)象稱為夫瑯和費(fèi)衍射，觀察屏所處的區(qū)域稱為夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)——夫瑯和費(fèi)衍射公式

夫瑯和費(fèi)衍射公式要比菲涅耳衍射公式簡單。實(shí)際應(yīng)用中，對夫瑯和費(fèi)衍射可直接由以上公式進(jìn)行計(jì)算26例：不透明屏上圓孔的直徑為2cm，受波長為600nm的平行光照射，試估算菲涅爾衍射區(qū)和夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)起點(diǎn)到圓孔的距離。解：為滿足菲涅爾近似的成立條件，要求中的第5項(xiàng)由于菲涅爾衍射光斑只是略有擴(kuò)大，取即27為滿足夫瑯禾費(fèi)衍射的成立條件，要求取即菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射的觀察28285.4矩孔和單縫的夫瑯和費(fèi)衍射一、裝置與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)裝置

S：單色點(diǎn)光源L1、

L2：透鏡平行光入射，焦點(diǎn)怎么偏離了P0點(diǎn)？2929衍射開孔平面上光的分布均勻則透鏡緊貼矩孔稱為二維衍射角

P點(diǎn)的復(fù)振幅可寫為30

是觀察屏中心點(diǎn)P0處的光場復(fù)振幅P點(diǎn)的復(fù)振幅為：3131P點(diǎn)的光強(qiáng)為：若令：夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射強(qiáng)度分布公式光強(qiáng)可表示為：式中I0是P0點(diǎn)的光強(qiáng)度：3232一、沿x軸上點(diǎn)的光強(qiáng)度分布，此時(shí)y=0，光強(qiáng)度公式變?yōu)榉謩e討論x軸和y軸上得光強(qiáng)分布給出單縫衍射圖樣相對光強(qiáng)分布情況!實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图词牵壕乜椎囊粋€(gè)方向的尺寸比另一個(gè)方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣

光強(qiáng)分布情況33衍射圖樣的主要特征：時(shí)，有主極大：

1.當(dāng)“零級衍射峰”其位置-----正是幾何光學(xué)象點(diǎn)位置等光程方位34處有極小值：2.當(dāng)對應(yīng)時(shí)出現(xiàn)極小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)時(shí)出現(xiàn)暗紋。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)時(shí)出現(xiàn)亮紋？3535即：各級明條紋的光強(qiáng)比為：表明：光強(qiáng)集中在中央零級明條紋處。注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間縫寬a越大，衍射光光強(qiáng)越弱；遠(yuǎn)離中心x越大，衍射光光強(qiáng)很越弱；3.相鄰兩個(gè)暗點(diǎn)間存在一個(gè)極大值。3636取，即可得相鄰暗條紋的角寬度由光強(qiáng)極小值的表達(dá)式微分得：衍射角很小時(shí)：4.半角寬度衍射反比律37不限于單縫、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向線度為ρ，則與該方向相應(yīng)的衍射發(fā)散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可見：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效應(yīng)更加明顯“半角寬度”≈“半值角寬度”≈“衍射發(fā)散角”38反比律指明了幾何光學(xué)的限度即衍射強(qiáng)度分布被收縮為一個(gè)“點(diǎn)”；幾何光學(xué)的直線傳播??！所以，可以將幾何光學(xué)看成是波動(dòng)光學(xué)在波長趨于零時(shí)的極限(行為)。反比律蘊(yùn)含放大原理→“衍射放大”→提供了一種種測定“微結(jié)構(gòu)”新技術(shù)。395.單縫寬度的影響。表現(xiàn)為兩方面:一是影響半角寬度。比如，縫寬a擴(kuò)大為2a，

壓縮為

;二是影響零級衍射峰值I0，這是因?yàn)榉逯导垂鈴?qiáng)參考值I0，正比于面積(a×b)的平方，比如，縫寬擴(kuò)大為2a，則I0增強(qiáng)為4I0.406.波長的影響.表現(xiàn)為兩方面，一是影響半角寬度Δθ0

，長波對應(yīng)的Δθ0大，亦即長波衍射效應(yīng)更強(qiáng)烈;二是影響衍射峰值I0，這是因?yàn)榉逯礗0∝1/λ2

。因此，紅光與藍(lán)光相比較，紅光衍射的半角寬度大，且紅光衍射峰低。思考題：白光照射單縫發(fā)生衍射時(shí)像點(diǎn)依然是白光?根據(jù)衍射理論，衍射分光，不僅改變了非像點(diǎn)處的光譜成分，也改變了像點(diǎn)處的光譜成分。4141（2）同時(shí)取r≈z1，認(rèn)為r變化對振幅影響可略，但r對相位的影響不可略。取上面兩個(gè)近似后有：

強(qiáng)調(diào):不同的光孔形狀（Σ）、不同的瞳函數(shù)，將產(chǎn)生不同的衍射場，而積分核

總是這個(gè)形式。4242（二）菲涅耳近似和夫瑯和費(fèi)近似

要對相位因子指數(shù)中的r進(jìn)行積分是比較困難，因此必須做更精確的近似來進(jìn)行簡化如右圖在衍射開孔平面和觀察屏平面建立坐標(biāo)系，有：應(yīng)用二項(xiàng)式展開，得43當(dāng)z1大到使第四項(xiàng)以后各項(xiàng)對位相k·r的作用遠(yuǎn)小于π時(shí)，忽略第四項(xiàng)以后的高次項(xiàng)：這一近似即為菲涅耳近似。觀察屏位于這一近似區(qū)域內(nèi)所觀察到的衍射現(xiàn)象即為菲涅耳衍射，此時(shí)觀察屏所處的區(qū)域?yàn)榉颇苌鋮^(qū)。近似后菲涅耳-基爾霍夫衍射公式為：4444在孔徑外的復(fù)振幅為0則上式可寫為：——菲涅耳衍射公式

4545如進(jìn)一步增大z1，將觀察屏移到離衍射開孔更遠(yuǎn)的地方，菲涅爾衍射公式中的第四項(xiàng)對位相的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)小于π時(shí),忽略第四項(xiàng)，則有這一近似稱為夫瑯和費(fèi)近似，在此條件下看到的衍射現(xiàn)象稱為夫瑯和費(fèi)衍射，觀察屏所處的區(qū)域稱為夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)——夫瑯和費(fèi)衍射公式

夫瑯和費(fèi)衍射公式要比菲涅耳衍射公式簡單。實(shí)際應(yīng)用中，對夫瑯和費(fèi)衍射可直接由以上公式進(jìn)行計(jì)算46例：不透明屏上圓孔的直徑為2cm，受波長為600nm的平行光照射，試估算菲涅爾衍射區(qū)和夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)起點(diǎn)到圓孔的距離。解：為滿足菲涅爾近似的成立條件，要求中的第5項(xiàng)由于菲涅爾衍射光斑只是略有擴(kuò)大，取即47為滿足夫瑯禾費(fèi)衍射的成立條件，要求取即菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射的觀察48485.4矩孔和單縫的夫瑯和費(fèi)衍射一、裝置與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)裝置

S：單色點(diǎn)光源L1、

L2：透鏡平行光入射，焦點(diǎn)怎么偏離了P0點(diǎn)？4949衍射開孔平面上光的分布均勻則透鏡緊貼矩孔稱為二維衍射角

P點(diǎn)的復(fù)振幅可寫為50

是觀察屏中心點(diǎn)P0處的光場復(fù)振幅P點(diǎn)的復(fù)振幅為：5151P點(diǎn)的光強(qiáng)為：若令：夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射強(qiáng)度分布公式光強(qiáng)可表示為：式中I0是P0點(diǎn)的光強(qiáng)度：5252一、沿x軸上點(diǎn)的光強(qiáng)度分布，此時(shí)y=0，光強(qiáng)度公式變?yōu)榉謩e討論x軸和y軸上得光強(qiáng)分布給出單縫衍射圖樣相對光強(qiáng)分布情況!實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图词牵壕乜椎囊粋€(gè)方向的尺寸比另一個(gè)方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣

光強(qiáng)分布情況53衍射圖樣的主要特征：時(shí)，有主極大：

1.當(dāng)“零級衍射峰”其位置-----正是幾何光學(xué)象點(diǎn)位置等光程方位54處有極小值：2.當(dāng)對應(yīng)時(shí)出現(xiàn)極小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)時(shí)出現(xiàn)暗紋。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)時(shí)出現(xiàn)亮紋？5555即：各級明條紋的光強(qiáng)比為：表明：光強(qiáng)集中在中央零級明條紋處。注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間縫寬a越大，衍射光光強(qiáng)越弱；遠(yuǎn)離中心x越大，衍射光光強(qiáng)很越弱；3.相鄰兩個(gè)暗點(diǎn)間存在一個(gè)極大值。5656取，即可得相鄰暗條紋的角寬度由光強(qiáng)極小值的表達(dá)式微分得：衍射角很小時(shí)：4.半角寬度衍射反比律57不限于單縫、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向線度為ρ，則與該方向相應(yīng)的衍射發(fā)散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可見：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效應(yīng)更加明顯“半角寬度”≈“半值角寬度”≈“衍射發(fā)散角”58反比律指明了幾何光學(xué)的限度即衍射強(qiáng)度分布被收縮為一個(gè)“點(diǎn)”；幾何光學(xué)的直線傳播??！所以，可以將幾何光學(xué)看成是波動(dòng)光學(xué)在波長趨于零時(shí)的極限(行為)。反比律蘊(yùn)含放大原理→“衍射放大”→提供了一種種測定“微結(jié)構(gòu)”新技術(shù)。595.單縫寬度的影響。表現(xiàn)為兩方面:一是影響半角寬度。比如，縫寬a擴(kuò)大為2a，

壓縮為

;二是影響零級衍射峰值I0，這是因?yàn)榉逯导垂鈴?qiáng)參考值I0，正比于面積(a×b)的平方，比如，縫寬擴(kuò)大為2a，則I0增強(qiáng)為4I0.606.波長的影響.表現(xiàn)為兩方面，一是影響半角寬度Δθ0

，長波對應(yīng)的Δθ0大，亦即長波衍射效應(yīng)更強(qiáng)烈;二是影響衍射峰值I0，這是因?yàn)榉逯礗0∝1/λ2

。因此，紅光與藍(lán)光相比較，紅光衍射的半角寬度大，且紅光衍射峰低。思考題：白光照射單縫發(fā)生衍射時(shí)像點(diǎn)依然是白光?根據(jù)衍射理論，衍射分光，不僅改變了非像點(diǎn)處的光譜成分，也改變了像點(diǎn)處的光譜成分。61式中，D/f是照相物鏡的相對孔徑?？梢?，照相物鏡的相對孔徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。例如，對于D/f=1∶3.5的常用照相物鏡，若λ=0.55μm，則N=1490×1/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來說，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。例如，對于上面的例子，應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于425條/mm的底片。6262例：高空偵察機(jī)離地面2×104m,如果它攜帶的照相機(jī)能分辨地面相距10cm的兩點(diǎn)，照相機(jī)物鏡至少有多大？（設(shè)感光波長為500nm），若此照相物鏡的焦距為500mm,為充分利用物鏡的分辨能力，應(yīng)選用多大分辨率的底片？

（2）照相物鏡的分辨率為

應(yīng)使用分辨率大于400線mm－1的底片解：（1）設(shè)物鏡口徑為D，地面兩點(diǎn)對照相機(jī)所成夾角為α

6363一、位移-相移定理

單縫夫瑯禾費(fèi)衍射

屏上復(fù)振幅分布：

5.6夫瑯禾費(fèi)多縫衍射

沿y1方向的衍射效應(yīng)可忽略64狹縫整體沿x正方向平移距離d：忽略沿y1方向的衍射效應(yīng)6565位移一相移定理在一個(gè)夫瑯禾費(fèi)衍射系統(tǒng)中，當(dāng)狹縫移動(dòng)一個(gè)位移時(shí)，其夫瑯禾費(fèi)衍射場將響應(yīng)一個(gè)相移：注意到：所以：與平板多光束干涉相類比！66abdθθθLP0Pa：透光縫寬度、b：檔光部分寬度。d=a+b為相鄰兩縫的間距。二、多縫夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式

因此P點(diǎn)的復(fù)振幅為：67因此P點(diǎn)的光強(qiáng)度為：I0：單元衍射零級(像點(diǎn))光強(qiáng)；：單縫衍射因子

：多縫干涉因子

多縫衍射圖樣:單縫衍射與N條縫多光束干涉圖樣的組合。

單縫衍射因子只與單縫本身的性質(zhì)有關(guān)，而多光束干涉因子則因源于狹縫的周期性排列，與單縫本身性質(zhì)無關(guān)。68682.強(qiáng)度分布曲線和照片69夫瑯禾費(fèi)單縫和五種多縫的衍射圖樣照片(N分別等于1,2,3,5,6,20)。703、多縫干涉因子

(1)主極強(qiáng)位置(方位角)(2)此時(shí)I=N2×I0

即N2倍于單縫衍射在該處的強(qiáng)度。7171(3)．多縫干涉極小值等于的π整數(shù)倍而不是π的整數(shù)倍時(shí)或相鄰兩個(gè)極小之間的角距離為：主極強(qiáng)的半角寬度(體現(xiàn)“銳度”)!7272在兩個(gè)主極大之間，有N-2個(gè)次極大，次極大的位置可以通過對光強(qiáng)表達(dá)式求極值定出例如在m=0到m=1級主極大之間次極大出現(xiàn)在：共N-2個(gè)次極大。次極大的強(qiáng)度要比主極大要弱得多(4)．多縫衍射次極大

共N-1個(gè)暗點(diǎn)，N-2次極大。733、單縫衍射因子

影響主極強(qiáng)峰值(高度)------決定光功率在各主極強(qiáng)之間的分配;但不影響主極強(qiáng)的位置與半角寬度。某些情況下，可能出現(xiàn)“缺極”。74當(dāng)各單縫衍射暗紋滿足：而多縫干涉明紋滿足：多縫干涉的m級極大處正好是單縫衍射的m'級極小處，所以m的整倍數(shù)干涉明條紋將不出現(xiàn)，稱為缺級現(xiàn)象?！喈?dāng)為整數(shù)時(shí)：75干涉主極大角間距與干涉級次無關(guān)

干涉主極大角寬度隨N值增加，主極大角間距不變，但是主極大角寬度將越小，條紋越細(xì)！

36衍射中央亮紋角寬度衍射次極大角寬度76有關(guān)多光束干涉和多封衍射的思考77多光束干涉相鄰兩束反射光的光程差相鄰兩束光到達(dá)P點(diǎn)的位相差為相干疊加形決定P點(diǎn)的明暗：入射光是平面波反射光是平面波78多縫衍射單縫衍射的振幅不是常數(shù)，振幅與空間位置有關(guān)，對應(yīng)的光能量在空間進(jìn)行了重新分布。入射光是平面波單縫衍射光波不是平面波，而是：79位移一相移定理狹縫整體沿x正方向平移距離d，對應(yīng)點(diǎn)的光程差為：對應(yīng)點(diǎn)的位相差為：80多個(gè)狹縫衍射場在p點(diǎn)的擾動(dòng)的疊加，決定P點(diǎn)光強(qiáng)的明暗。結(jié)論：多縫衍射在本質(zhì)上可以認(rèn)為是多光束干涉，只是參與干涉的光束性質(zhì)不同而已。這點(diǎn)，在FB儀和光柵光譜可以分光具有相似性。81大量平行、等寬、等距狹縫排列起來形成的光學(xué)元件稱為光柵。光柵主要用于光譜分析，測量光的波長、光的強(qiáng)度分布等。ad透射式光柵ad反射式光柵5.9衍射光柵含N個(gè)全同單元的周期結(jié)構(gòu)-----既“規(guī)則”，又“有序”。82光柵周期d單元密度：1/d~100/mm，600/mm，1200/mm，有效寬度：D~5cm,10cm,高達(dá)30cm,含單元總數(shù)N光柵類型多種:透射式光柵與反射式光柵振幅型光柵與相位型光柵一維光柵、二維光柵與三維光柵83二、光柵方程光柵方程由光柵方程可知，對于光柵常數(shù)d一定的光柵，不同波長的光的同級光譜線對應(yīng)的衍射角θ

角不同，因此，不同波長的光在空間位置上會(huì)分開，這是光柵分光的原理。光柵方程意義：給定由光柵的多縫衍射形成的衍射圖樣中主極大亮線（光譜線）的形成條件。光柵方程的實(shí)質(zhì)：由光程差決定的干涉加強(qiáng)條件。84圖(a)入射光正射光柵。此時(shí)，相鄰兩縫衍射光束間的光程差為dsin，光柵方程：dsin=m--兩束光干涉相長的條件;

圖(b)入射光以I角斜射，衍射光與入射光在法線的同側(cè)時(shí)。兩相鄰縫衍射光束間的光程差為：d(sini+sin)。故對應(yīng)的光柵方程為：d(sin+sini)=m，m=0，±1，±2…圖(c)入射光以0角斜射，衍射光與入射光在法線的異側(cè)時(shí)。兩相鄰縫衍射光束間的光程差為d(sini-sin)。故對應(yīng)的光柵方程為：d(sini-sin)=m，m=0，±1，±2…

光柵方程的普通形式：d(sin±sini)=m，m=0，±1，±2…其中：當(dāng)入射光和衍射光位于光柵平面法線同側(cè)時(shí)，取正號。當(dāng)入射光和衍射光位于光柵平面法線異側(cè)時(shí)，取負(fù)號。

i

i

法線d(a)(b)(c)不同入射情況下的光柵方程(透射)反射光柵同樣適用85對應(yīng)于不同波長的各級亮線稱為光柵譜線，不同波長光譜線的分開程度隨著衍射級次的增大而增大，對于同一衍射級次而言，波長大者，θ大，波長小者，θ小。每塊光柵在入射角i給定的情況下，最大光譜級為可見，i≠0時(shí)，正/負(fù)級光譜的級數(shù)是不相等的。--光柵方程86三、光柵光譜明條紋衍射角與入射光波長有關(guān)。所以：復(fù)色光入射時(shí)，除零級條紋外，其余各級條紋都隨波長不同而散開，形成光柵衍射光譜。一每厘米有4000條刻線的光柵，以白光垂直入射。由(紫端)θV(紅端)θR中央明紋001級光譜9.2°17.7°2級光譜18.7°37.4°3級光譜28.7°65.8°4級光譜39.8°>90°0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°-90°-80°-70°-60°-50°-40°-30°-20°-10°k=0k=1k=2k=3k=4k=-1k=-2k=-3k=-487色散型光譜儀 核心元件光柵或棱鏡， 整機(jī)含:入射狹縫，出射狹縫;光路轉(zhuǎn)換(產(chǎn)生、接收平行光)，;轉(zhuǎn)動(dòng)鼓輪，讀數(shù)系統(tǒng);輸出響應(yīng)—光電記錄或膠片攝譜。光譜儀:用于分析光譜、顯示光譜，攝譜儀:用于挑選波長、單色儀88三、光柵光譜儀器的性能指標(biāo)角色散本領(lǐng)定義：m級,波長λ附近，單位波長差響應(yīng)的角間隔

即：光柵周期d越小，色散率越大；光柵周期d確定時(shí)，m或

θ

越大，色散率越大；m~1,289光柵的色散90線色散本領(lǐng)攝譜儀，直接關(guān)心的是線色散 ----涉及記錄介質(zhì)的空間分辨率。顯然，在同祥的角色散條件下，反射鏡的焦距越長，則線色散越大。定義：

由圖可見得：

9192色分辨本領(lǐng)可分辨的最小波長間隔δλm，不僅與峰值(兩個(gè))角間隔有關(guān)，也與峰值自身的角寬度Δθ

有關(guān)。瑞利判據(jù):93令：而定義，色分辨本領(lǐng)得可見：，R與d無關(guān)。通常m=1~3,刻痕數(shù)N很大，故R值較大，分辨本領(lǐng)好。

FP儀的N值不高，但是m值比較大，因此也可以得到較好的分本本領(lǐng)。94數(shù)量級估計(jì)---設(shè)D~10cm，1/d~600/mm

，有N=6×104，對于1級光譜：R=6×104若分析波段在λ~600nm附近，則這當(dāng)然遠(yuǎn)不如FP分光儀精細(xì)，但光柵光譜儀的“量程大”，適于測定“寬譜線輪廓”。95可由兩個(gè)相鄰的級次能夠重疊的譜線波長差求出：一個(gè)光譜級中不被其他級次光譜重疊的波段稱為自由光譜范圍。即:光柵的自由光譜范圍與光譜的衍射級次成反比;此值與光柵本身無關(guān)，同一級次自由光譜范圍相同。光柵的m值一般比較小，因此自由光譜范圍較FP儀大

光柵的疊級和自由光譜范圍9697透射式多縫光柵的缺點(diǎn)：(1)

有多序光譜，既分散能量，又限制“量程”。(2)、各單元“衍射零級”之間等光程，因而： 該方向成為元間“干涉零級”；總是無色散 ----“能量浪費(fèi)”。閃耀光柵設(shè)法只產(chǎn)生一序光譜;

分離“單元衍射零級”與“元間干涉零級”。閃耀光柵可為之。有兩種照明方式。98dγ2γ2γ2γ（1）入射光束⊥光柵宏觀平面可見，沿單元零級方向，相鄰單元間的光程差99100dγγ101最后說明：閃耀光柵僅有1序光譜，這是因?yàn)椋篸≈a1025.10圓孔和圓屏的菲涅耳衍射

1、衍射圖樣及其特征2、半波帶法

半波帶分割-------一種特殊的編組方式

半波帶的貢獻(xiàn)-------相位關(guān)系和振福關(guān)系

矢量圖解

對圓孔Fresnel衍射的說明

半波帶的半徑ρk公式3.細(xì)致的矢量圖解法螺旋式曲線用于非整數(shù)個(gè)半波帶的情形對圓屏Fresnel衍射的說明無透鏡成象術(shù)—圓屏衍射成象1031、衍射圖樣及其特征(a)圓孔菲涅耳衍射光波長λ~600nm；衍射現(xiàn)象顯著，當(dāng)ρ~mm,R.b~m,1m-10m.(b)圓屏菲涅耳衍射今人驚奇的是，對于圓屏衍射不論ρ變，或b變，I(p)總是一個(gè)亮斑!104圓孔由小變大的菲涅爾衍射圖1052、半波帶法對波前次波源群的一種特殊編組方式半波帶面積依次為：A1,A2,A3,……

Aj……對觀察點(diǎn)P0貢獻(xiàn)的次波為P0點(diǎn)的復(fù)振幅：半波帶分割法相位關(guān)系的分析相鄰兩帶的子波到達(dá)P0點(diǎn)的光程差均為λ/2，相位差為π。106振幅關(guān)系的分析MM'θj球冠面積計(jì)算第j個(gè)半波帶的面積為：任一半波帶的面積和它到P點(diǎn)的距離之比是與j無關(guān)的常數(shù)！根據(jù)半波帶畫法可知：

，項(xiàng)可略去又因?yàn)?07108振幅隨j增大，按（1+cosθj)單調(diào)減小，但變化緩慢。結(jié)論其“慢變”數(shù)量級:104個(gè)半波帶所貢獻(xiàn)的振幅僅僅比第1個(gè)半波帶所貢獻(xiàn)的振幅少0.15%。109畫出矢量圖(表達(dá)相干疊加)110振幅隨j增大變化緩慢，近似有：當(dāng)露出的半波帶數(shù)nn為偶數(shù)n為奇數(shù)111n為偶數(shù)n為奇數(shù)n數(shù)值比較大時(shí)圓孔衍射的現(xiàn)象：（1）若逐漸開大或縮小圓孔，在P0點(diǎn)將可以看到明暗交替的變化。（2）若圓孔大小和光波波長一定，只將觀察屏沿SP0連線移動(dòng)，都會(huì)使圓孔所含半波帶數(shù)j連續(xù)變化，從而在P0點(diǎn)產(chǎn)生明暗交替的變化，即有時(shí)中心為亮點(diǎn)（j為奇數(shù)），有時(shí)又為暗點(diǎn)（j為偶數(shù)）1121122．在R和r0一定時(shí)，露出的波帶數(shù)與圓孔的半徑有關(guān)，即孔大露出的波帶數(shù)多，衍射效應(yīng)不顯著；孔小，露出的波帶數(shù)少，衍射效應(yīng)顯著。當(dāng)圓孔趨于無限大時(shí)，傾斜因子為0，則第j個(gè)波帶必對應(yīng)于此時(shí)P0點(diǎn)的振幅為：當(dāng)孔很大時(shí)，P0點(diǎn)光強(qiáng)不變，這正是光的直線傳播規(guī)律所預(yù)期的結(jié)果；光的直線傳播規(guī)律是透光孔徑較大情況下的一種近似球面波自由傳播時(shí)整個(gè)波面上各次波源在P點(diǎn)產(chǎn)生的合振動(dòng)振幅等于第一半波帶在該點(diǎn)產(chǎn)生振幅之半，強(qiáng)度為1/4。113113由于r0>>hj,可略去hj2

MM'θj

開孔半徑ρj寫成“對稱形式”：114反過來算，當(dāng)開孔半徑ρj一定時(shí)，包含多少個(gè)半波帶?可見，屏幕由近及遠(yuǎn)r0增加，則j減小?？山忉?中心衍射強(qiáng)度，沿縱向呈現(xiàn)“周期性”變化;遠(yuǎn)至僅含“一個(gè)半波帶”以后，其強(qiáng)度單調(diào)下降。115細(xì)致的矢量圖解每個(gè)半波帶被細(xì)分為環(huán)帶，許多小矢量頭尾銜接，形成半個(gè)正多邊形，其極限過渡為半圓。于是，整個(gè)波前次波源群體所貢獻(xiàn)的擾動(dòng)小矢量，形成一個(gè)個(gè)半徑極其緩慢收縮的螺旋式曲線--用以求得非整數(shù)個(gè)半波帶(圓孔）時(shí)衍射強(qiáng)度I(p）。1161163.將半波帶進(jìn)一步細(xì)分成面積更小的環(huán)狀波帶元，則可利用振動(dòng)的矢量合成法來分析圓孔的菲涅耳衍射第一半波帶分成N個(gè)子帶將每一個(gè)半波帶分為更小的波帶元，各波帶元傳到P0點(diǎn)的振幅可認(rèn)為是相等的第一半波帶中心到邊緣各相鄰子帶對應(yīng)相同的光程差和相同的相位差117117將第二個(gè)半波帶也細(xì)分成無窮多個(gè)環(huán)狀波帶元，可得到另一圓弧，考慮傾斜因子，可知第二個(gè)半波帶的合振幅a2<a1由于第一波帶元和最后一個(gè)波帶元在P0點(diǎn)引起的振動(dòng)位相差為π波帶元在P0點(diǎn)引起振動(dòng)合振幅a1=OB1如細(xì)分的波帶元為無窮多個(gè)，則各分振動(dòng)矢量成一園弧118118將所有半波帶都細(xì)分成環(huán)狀波帶元，得如下圖所示的多個(gè)圓環(huán)AP=OB1或OB2，OB3…，此時(shí)在P0點(diǎn)光強(qiáng)取極大值A(chǔ)P=OC1或OC2，OC3…，在P0點(diǎn)此時(shí)光強(qiáng)取極小值如無遮擋物或圓孔為無窮大，則圖中的圓弧結(jié)束于圖中O‘點(diǎn)當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)1191194．軸外點(diǎn)的衍射對于觀察屏上軸外任一點(diǎn)P，其振幅或光強(qiáng)的大小也可以用菲涅耳半波帶法來分析。這時(shí)菲涅耳半波帶的中心不在O點(diǎn)，而在M0點(diǎn),這時(shí)，半波帶如圖所示當(dāng)P由P0向外逐步移動(dòng)時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生明暗交替的變化。考慮到整個(gè)圖面的對稱性，在觀察屏上可呈現(xiàn)一組以P0為中心的同心圓環(huán)P點(diǎn)的振幅不僅取決于半波帶的數(shù)目，它還與各個(gè)帶露出面積的大小有關(guān)。120