事件的條件概率和三個基本公式

第三節(jié)條件概率1一、條件概率

對概率的討論總是相對于某個確定的條件而言的，但有時除了這個確定的條件以外，還會提出附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。

例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

2例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

我們將“已知事件

B

發(fā)生的條件下,事件

A

發(fā)生的概率”稱為條件概率，記為P

(A

|

B)。若記B為至少有一男孩，則上述概率為3條件概率的計算公式規(guī)定如下：

例設(shè)袋中有7個黑球，3個白球，非還原摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改為還原摸取，結(jié)果如何？解

設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則非還原:還原:4不難驗證條件概率具有以下三個基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性(2)規(guī)范性(3)可列可加性并由此推出條件概率的其它性質(zhì)：

5二、乘法公式由條件概率的定義：即若P(B)>0,則

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關(guān)。乘法公式6例1

解7例2某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率.解記A：合格品；B：一等品，即一等品率為72%.8

一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大.”后抽比先抽的確吃虧嗎？

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到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大?！?0用Ai表示“第i個人抽到入場券”

，i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5.則表示“第i個人未抽到入場券”.因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.由于由乘法公式

=(4/5)(1/4)

同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此=1/5.11這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.

＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.

繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，12三、全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.

綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>013ΩA(即每次至多發(fā)生其中一個)

(即每次至少發(fā)生其中一個)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分14ΩAB1B2B3B4B6B7B5B815由概率的可加性及乘法公式,有

這個公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.

16全概率公式

利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分別求概率然后求和．

17例1市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場占有率分別為30％、20％、50％,且三家工廠的次品率分別為3％、3％、1％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2、B3分別表示買到設(shè)A:買到一件次品；解加權(quán)平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；18例2袋中有a個白球b個黑球，不還原摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

練習(xí)求第三次摸出白球的概率.19解分別記A,B,C為第一、二、三次摸到白球，由全概率公式,

練習(xí)求第三次摸出白球的概率.20在上面例1中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式.

在全概率公式的假定下，有

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因Bk的概率.21所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例3已知三家工廠的市場占有率分別為30％、20％、50％,次品率分別為3％、3％、1％.如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解22全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在一個“結(jié)果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個導(dǎo)致了這一結(jié)果？

23

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設(shè)為比如原來認(rèn)為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個估計就有了變化.P(B1|A)知道A發(fā)生后P(B2

|A)P(B3|A)偏小最大24貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它企業(yè)管理學(xué)科中均有重要應(yīng)用.有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法,叫作“貝葉斯統(tǒng)計”.可見貝葉斯公式的影響.25下面再舉一個例子，說明貝葉斯公式在實際問題中的作