桿件結(jié)構(gòu)有限單元法

2.1結(jié)構(gòu)離散2.2單元的剛度矩陣2.3坐標變換2.4結(jié)構(gòu)剛度方程2.5支座約束處理2.6剛度方程求解及內(nèi)力計算例1.桁架結(jié)構(gòu)計算示例例2.剛架結(jié)構(gòu)計算示例第2章桿件結(jié)構(gòu)分析的有限單元法2.1結(jié)構(gòu)離散離散化要點：桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承點以及沿桿長截面突變處等均可設置成結(jié)點。結(jié)構(gòu)中兩個結(jié)點間的每一個等截面直桿可以設置為一個單元。變截面桿件可分段處理成多個單元，仍按等截面桿單元計算，截面剛度取自各段中點處截面。對曲桿結(jié)構(gòu)，可細分，用兩點之間的直線代替曲線。在有限元法計算中，載荷作用到結(jié)點上。當結(jié)構(gòu)有非結(jié)點載荷作用時，應該按照靜力等效的原則將其變換為等效結(jié)點載荷。建立單元坐標系和結(jié)構(gòu)整體坐標系。桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖

2.1結(jié)構(gòu)離散

2.1結(jié)構(gòu)離散符號規(guī)定：線位移及相應力與坐標軸方向一致時為正；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時為正?；疚粗浚烘湕U單元，平面每個節(jié)點兩個線位移，空間每個節(jié)點3個線位移梁單元，平面每個節(jié)點兩個線位移和一個轉(zhuǎn)角位移，空間每個節(jié)點3個線位移和三個轉(zhuǎn)角位移節(jié)點力與節(jié)點位移要一一對應平面剛架的梁單元e：平面桁架的鏈桿單元e：2.1結(jié)構(gòu)離散6單元剛度方程反映單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系;單元剛度矩陣可根據(jù)剛度系數(shù)的物理意義，由力和變形之間的關(guān)系確定。單元剛度矩陣也可以由位移函數(shù)和虛功原理或最小勢能原理計算。（具有一般性）2.2單元剛度矩陣返回7單元剛度矩陣（方法一）

對于一般平面剛架梁單元，單元剛度方程：單元的剛度方程：描述單元的結(jié)點位移δ(e)與結(jié)點力

F(e)之間的關(guān)系.結(jié)點位移結(jié)點力對于兩結(jié)點平面梁單元：單元的剛度矩陣K(e)為6*6的方陣對于平面桁架的鏈桿單元，K(e)為4*4的方陣。8平面剛架兩結(jié)點梁單元的剛度方程根據(jù)單元剛度系數(shù)的物理意義,由梁單元受力和變形及等截面直桿的剛度方程可以給出。 注意：所有力與位移的正負號均決定于坐標系方向。平面剛架兩節(jié)點梁單元：F(e)K(e)第i列元素的物理意義:

代表ui=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)引起的六個桿端力大小。第krs元素的物理意義:

代表us=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)引起的第r個桿端力Fr大小。δ(e)ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

ui=1平面梁單元的單元剛度矩陣單獨作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁單元的單元剛度矩陣vi=1單獨作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁單元的單元剛度矩陣單獨作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

uj=1平面梁單元的單元剛度矩陣單獨作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

vj=1平面梁單元的單元剛度矩陣單獨作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁單元的單元剛度矩陣單獨作用下15平面一般梁單元的單元剛度方程為:桿端力

向量F

(e)單元桿端位移

向量δ(e)單元剛度矩陣

K(e)16梁單元的單元剛度矩陣為:單元剛度矩陣常用子塊形式表示:其中每個都是3×3的方陣，子塊

Kij(e)

表示桿端j作用一單位位移時,桿i端引起的桿端力。返回17平面桁架鏈桿單元

平面桁架單元只有軸向變形,桿端力只有軸力；

矩陣表示：返回1）單元位移函數(shù)選用準則單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應等于單元的自由度數(shù)，它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。位移函數(shù)中包含單元的剛體位移和常應變狀態(tài)。單元的位移函數(shù)應保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。單元剛度矩陣（方法二）

根據(jù)結(jié)構(gòu)分析類型選取單元類型和位移場，根據(jù)單元類型采用對應的單元位移模式，位移函數(shù)能反映真實結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律，保證計算精度及解的收斂性。選用的單元位移函數(shù)應當滿足下列要求:

形函數(shù)在其對應節(jié)點的值為1，在其他節(jié)點的值為0。2）軸向拉壓桿（鏈桿）單元的位移的函數(shù)由單元結(jié)點位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項：軸向位移形函數(shù)：軸向位移形函數(shù)：單元剛度矩陣（方法二）

梁單元撓度函數(shù)：3）梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲包括四個結(jié)點位移分量：由單元結(jié)點位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項：單元剛度矩陣（方法二）

稱為形函數(shù)矩陣。

梁單元撓度函數(shù)：梁單元位移模式：3）梁單元平面彎曲的位移函數(shù)單元剛度矩陣（方法二）

4）平面剛架梁單元的應力應變

平面剛架梁單元內(nèi)任一點的軸向線應變由兩部分組成。則[B]—平面剛架梁單元的應變轉(zhuǎn)換矩陣。軸向應變：彎曲應變：平面剛架梁單元應變：

單元剛度矩陣（方法二）

5）平面剛架梁單元的剛度矩陣

梁單元的i，j結(jié)點發(fā)生虛位移為

單元內(nèi)相應的虛應變應為：

由虛功原理有

由于結(jié)點虛位移的任意性，可得到單元的剛度方程：單元的剛度矩陣：單元剛度矩陣（方法二）

橫截面積

：橫截面對主慣性軸z的慣性矩：

通過積分同樣可以得到平面剛架梁單元的剛度矩陣：

平面剛架梁單元剛度矩陣25在整體分析時，要在結(jié)構(gòu)整體坐標下進行桿端力（結(jié)點力）的疊加;通過坐標變換使所有單元的桿端力和桿端位移都變換到結(jié)構(gòu)整體坐標下。在進行單元分析時，使用的是單元坐標系，各單元桿端力和桿端位移的排列順序和符號要參照單元坐標系。力和位移均為矢量，方向不同不能代數(shù)相加。2.3桿件單元的坐標變換返回設兩個坐標系之間的夾角為α，以整體到單元坐標系的轉(zhuǎn)向與x到y(tǒng)軸的轉(zhuǎn)向一致為正。26桿端力變換：桿端位移變換：平面鏈桿單元:平面桿件單元的坐標變換為正交矩陣:返回單元坐標變換矩陣：平面梁單元:整體坐標描述的單元剛度矩陣：

2.4結(jié)構(gòu)剛度方程主要內(nèi)容：231返回結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配結(jié)構(gòu)的荷載向量結(jié)點位移向量Δ：所有結(jié)點的位移按順序排成一列；剛架每個結(jié)點都有3個位移，桁架每個結(jié)點都有2個位移。結(jié)點力向量P:作用在結(jié)點上的力按結(jié)點位移的順序排成一列;單元內(nèi)部的荷載等效到節(jié)點上。返回結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點力向量P與結(jié)點位移向量Δ之間的關(guān)系，即：KΔ=PK為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，且為對稱方陣。由個單元剛度矩陣裝配疊加而成。結(jié)點力向量P與結(jié)點位移Δ一一對應，也按結(jié)點位移的順序排列；以上所有的量都要用整體坐標表示。結(jié)構(gòu)的剛度方程29具體做法：把整體坐標下的單元剛度矩陣根據(jù)結(jié)點編碼把各子塊送到總剛度矩陣K對應的位置中去。裝配過程：“子塊搬家，對號入座”。

整體坐標下單元剛度矩陣：如果i,j對應的結(jié)點編號為g,h，則單元剛度矩陣的各子塊在總剛中的位置分別為：結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配123ghn123ghn總剛度矩陣的集成子塊列子塊行每個單元的剛度矩陣都經(jīng)過如上擴展和對號入座后，總剛度矩陣的各個子塊經(jīng)過簡單的疊加即可得到最終的總剛度矩陣?！白訅K搬家，對號入座”如：圖示平面剛架的總剛度矩陣的集成各單元結(jié)點編碼如圖。用矩陣記為：如果求出各單元整體坐標下的單元剛度矩陣：123456123456根據(jù)結(jié)點編號把各單元的子塊搬入總剛K中的對應位置。同一位置各子塊的對應元素相加；空位補0。如果修改各單元結(jié)點編號。則用矩陣：123456123456對角線下方劃紅色的元素需要存儲。單元的子塊搬入總剛度矩陣中的位置，完全取決于結(jié)構(gòu)結(jié)點編碼。對同一結(jié)構(gòu)，如果改變了結(jié)點的編碼，則總剛度矩陣完全不同。33總剛度矩陣的特點總剛度矩陣是一個對稱矩陣；處于主對角線對稱位置的兩個元素是相等的，即kij=kji

?？倓偠染仃囀且粋€稀疏的矩陣；大片的區(qū)域都是零元素，它的非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。

最大半帶寬d=（c+1)*m;其中：c——各單元兩端結(jié)點編號差的最大值；

m——每個結(jié)點的自由度數(shù)；不相關(guān)結(jié)點對應的剛度子塊均為0。總剛度矩陣是一個奇異矩陣；當沒有引進支座約束條件的情況下，總剛度矩陣不存在逆矩陣。返回判斷圖示結(jié)構(gòu)總剛矩陣的最大半帶寬。d=(3+1)*3=1234d=(6+1)*3=21總剛矩陣中元素的排列與結(jié)點的順序直接相關(guān)。d=(7+1)*2=16返回最大相關(guān)結(jié)點差3最大相關(guān)結(jié)點差6最大相關(guān)結(jié)點差735結(jié)構(gòu)荷載向量不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點力排成的向量則稱為荷載向量。如圖1，結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量:結(jié)構(gòu)的荷載向量:荷載向量P的構(gòu)成：直接結(jié)點荷載Pd等效結(jié)點荷載PE：單元內(nèi)的非結(jié)點荷載（如分布荷載，溫荷載，慣性力等）等效移置到結(jié)點上得到的。

1234等效移置的方法:首先求出基本結(jié)構(gòu)在非結(jié)點荷載作用下引起的固端力。最后將各固端力反向作用到結(jié)構(gòu)的結(jié)點上去，即為該結(jié)點的等效結(jié)點荷載。1234等效結(jié)點荷載向量:荷載向量:2312荷載等效圖基本結(jié)構(gòu):兩端固定梁返回例4：計算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

返回荷載等效圖

荷載等效圖

382.5支座約束處理在形成結(jié)構(gòu)剛度方程時沒有考慮支座等約束條件;總剛度矩陣是一個奇異矩陣；剛度方程P=K沒有唯一解，方程中包含任意大小的剛體位移。必須引進約束條件，消除剛體位移，才能得到唯一解。支座條件引進的目的就是使：約束結(jié)點，位移已知0,約束反力未知。

自由結(jié)點，荷載已知,位移是未知量。結(jié)構(gòu)剛度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+K44(3)+K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+K66(5)123456789101112131415161718P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18對總剛度方程P=KΔ初等變換--行列交換K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+K66(5)123789131415456101112161718P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18Px

未知支座反力P1已知節(jié)點

荷載Δ1支座已知0位移Δx求解的未知量Kx1KxxK11K1x把初等變換后的總剛度方程KΔ=

P可寫成將方程式展開得:已知節(jié)點力（節(jié)點荷載）未知節(jié)點力（支座反力）

未知節(jié)點位移求解的未知量已知節(jié)點位移（支座0位移)求解未知節(jié)點位移Δx計算未知約束反力Px對于剛性支座：支座反力對位移的計算沒有影響，但位移決定支座反力。有限元法是面向計算機的方法，邊界處理不要改變剛度方程的階數(shù)，消除剛體位移且不影響自由結(jié)點的位移。常用的處理方法有：1.主元素置1法：要修正剛度矩陣和荷載向量；作法：0位移對應的剛度矩陣主元素置為1，相應的副元素置0；荷載對應項置為0。2.主元素乘大數(shù)法：僅修正剛度矩陣；作法：僅把0位移對應的剛度矩陣主元素乘以一大數(shù)（如1030）。返回支座約束條件的引進主元素置1法若第i個自由度（位移）為0，應保證剛度方程解得Δi=0。

將總剛度矩陣K中第i行的主元素（第i行的主對角線元素）改為1，即令K（i，i）=1。將第i行、i列的所有副元素都改為零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0(i≠j)。將荷載向量中的第i元素置為零，即令Pi=0。

經(jīng)過這三步改動后，便可實現(xiàn)Δi=0。

第3步第2步第1步第i行方程支座約束條件的引進123456789101112131415161718主元素置1法引進支座條件：

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根據(jù)0位移修改剛度矩陣；根據(jù)0位移修改荷載向量。(1)(2)(3)(4)(5)123456789101112131415161710P11P12P13P14P15P16P17P18如改變單元結(jié)點的編號；如圖引入邊界條件后的總剛方程為：主元素置1法引進支座條件：

返回形成了荷載向量P，集成了總剛度矩陣K并且引進支座條件后，便可由剛度方程K△=

P求解結(jié)點位移△。這就轉(zhuǎn)化為求解大型線性代數(shù)方程組問題。線性代數(shù)方程式組的解法：直接法和迭代法。直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分解法。迭代法：塞德爾迭代法。2.6剛度方程求解及內(nèi)力計算一、剛度方程求解返回47首先從整體的結(jié)點位移向量△中取出該單元的結(jié)點位移。設單元e左右兩端的結(jié)點編號分別為m和n，則該單元的整體坐標表示的結(jié)點位移向量為：然后將進行坐標變換，換成用單元坐標表示。最后代入單元剛度方程,便可求各單元的桿端力如果單元上還作用非結(jié)點荷載，則需要疊加由非結(jié)點荷載引起的固端內(nèi)力，得到真正的桿端力：二、單元桿端內(nèi)力計算返回例1.用有限單元法計算圖示桁架內(nèi)力。EA=常量。

1.結(jié)構(gòu)離散如圖所示2.單元坐標描述的各單元剛度矩陣結(jié)點坐標：1（0,1），2（1.732,1），3（0,0）；單元結(jié)點：1（1,2）,2（3,2）3.整體坐標描述的各單元剛度矩陣a=00a=300返回4.按結(jié)點編碼

裝配整體剛度矩陣單剛坐標變換：1231

2

300123212325.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：5.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：主元素置1法5.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：主元素乘大數(shù)法7.求解結(jié)構(gòu)的剛度方程組得位移：8.各單元的桿端位移向量：整體坐標下：轉(zhuǎn)換到單元坐標下：9.單元坐標下各單元的桿端力向量：單元內(nèi)力：返回55例2.應用有限元法計算各桿端