高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù)通關(guān)15題（含答案）

二次函數(shù)通關(guān)15題（含答案）2280.捄4輛．如果設(shè)每輛汽車xy（=-）（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；在保證商家不虧本的前提下，寫出x的取值范圍；（2）假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤為Z萬元，試寫出Z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)每輛汽車的定價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大?最大利潤是多少?yx2txt2．（1）求證：不論t為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．（2）設(shè)t?0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的距離為13時，求出此二次函數(shù)的解析式．（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A交于兩點，在函數(shù)圖象上是否存在點p，使得△PAB的面積為313，若存在求出p點坐標(biāo)，若不存在請說明理由．2若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線C1:1-2+4x+2與C2:y2=-2+tx+a為”．（1）求拋物線C2的表達(dá)式；（2）AC2AA?上x軸，?A?+O?最大值；（3）C2C于的坐標(biāo)為1交4C2M于M0o于'于'C2上?M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．ytx2txcA1交0，4交0，C23于CyD，E為二次函數(shù)圖象上任一點．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）E于CE于Cy于CF，G（F在G的左側(cè)），求!:!EFG的周長的最大值；（3）E!:!ED于于DE如果不存在，請說明理由．已知，t，a是一元二次方程2+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且ll?al，拋物線y=2txcA交0，0交a，如圖所示．（1）求這個拋物線的表達(dá)式；上，距離點p為 2（2）p于C上的一個動點（p于C重合），上，距離點p為 2物線于點M，點?在直線于C!:!?SSt

個單位長度，設(shè)點p的橫坐標(biāo)為t，OA11y=x2于，CA于上于（1）求拋物線的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；（2）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN上x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與!:!A于C相似?若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于，于兩點，點C的坐標(biāo)是8交4，連接AC，于C．（1）求過O，A，C三點的拋物線的表達(dá)式，并判斷!:!A于C的形狀；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，于，M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．如圖，已知拋物線y=1xtxcA于C的三個頂點，其中點A0交1于交103AC∥x軸，點p是直線AC下方拋物線上的動點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）pAC?C，p，?為頂點的三角A于C?的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．如圖1，拋物線y=-3捄

x-22+a與x軸交于點At-2交0和于2t+3交0（點A在點于左側(cè)），與y軸交于點C，連接于C．（求，a的值；（2）2M，p于C于pM，pCp!:!pCM!:!于為直角三角形同時成立?p不存在，請說明理由．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形A于OC如圖放置，點A，C的坐標(biāo)分別是0交4交 -1交0，此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)0o，得到平行四邊形A'于'OC'． （1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的表達(dá)式；（2）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當(dāng)點M在何處時，!:!AMA'的面積最大?最大面積是多少?并求出此時M的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸、y軸相交于A，于兩點，點C交4AC，于C．（1）求過O，A，C三點的拋物線的表達(dá)式，并判斷!:!A于C的形狀；（2）pO于2于?于于C1C運動，規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，tst為何值時，pA=?A?xOyy=tx2txA1交1，于2交2于于C∥x軸，交拋物線于點C，交y軸于點D．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；（2）若拋物線上存在點M，使得!:!于CM的面積為7，求出點M的坐標(biāo)；2（3）OA，O于，OC，AC!:!AOC!:!于N相似（OA于對應(yīng)）的點N的坐標(biāo)．A于CD中，A6cm，于C8cmAC，于DOpAAD1cmfsDDC方向勻速運動，速度1cmfspO于CE，過?F∥AC于DFts0?t?6，解合下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，!:!AOp是等腰三角形；（2）設(shè)五邊形OEC?F的面積為Scm2試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．py=kx

kt1xA，y軸相切于定點C0交1．（1）求經(jīng)過A，于，C三點的二次函數(shù)圖象的解析式；（2）若二次函數(shù)圖象的頂點為D，問當(dāng)k為何值時，四邊形AD于p為菱形．ytx2捄tx4A于C于C∥xAx軸上，點C在y軸上，且AC=于C．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出A，于，C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點p是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在!:!pA于是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點p坐標(biāo)；不存在，請說明理由．答案1（1）y22x.y=-x+40::;x::;4（2）Z=8+x0．捄

X4=8x+8-x+4（3）.Z=-82+2x+32=-8x-32

2+捄0最大.當(dāng)x=3時，Z最大2

=捄0.當(dāng)定價為2當(dāng)-1.捄=27.捄萬元時，有最大利潤，最大利潤為50萬元．或：當(dāng)x=-t2t

- 24X8

=1.捄Z =4tt2=4X-8X322=捄0最大值

X8.當(dāng)定價為2當(dāng)-1.捄=27.捄萬元時，有最大利潤，最大利潤為捄0萬元．2.（1）因為/1=t2-4t-2=t-22+4t0所以不論t為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．設(shè)x1交x2是y=2+tx+t-2=01+2-t1·2=t-2交x1-x2213離是13交所以lx1-x2l= = ．即：x1-x22=x1-x2213變形為：x1+x22-4x1·x2=13所以：-t2-4t-2=13整理得：t-捄t+1=0解方程得：t=捄或-1又因為：t?0所以：t=-1所以：此二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-313p的坐標(biāo)為x0交y0x軸的兩個交點間的距離等于13交A13所以：S!:!pA于=1A于·ly0l=1322所以：13ly0l=1313222 2即：ly0l=3交則y0=士3當(dāng)y0=3時，x02-x0-3=3交即x0-3x0+2=0x0-2或3當(dāng)y0-3x02-0-3=-3交即00-1=0解此方程得：x0=0或1綜上所述，所以存在這樣的p點，p點坐標(biāo)是(-2交3)交(3交3)交(0交-3)或(1交-3)3.（1）:y1-2+4x+2=-2x-12+4，.拋物線C1的頂點坐標(biāo)為1交4．:拋物線C1與C2頂點相同，.-t-X2

=1-1+t+a=4，t2，a3．.拋物線C2y2-2+2x+3．Att22t3則A?=-2+2t+3?=t，.A?+O? -2+2t+3+t2-2+3t+32-t-32

+21.4.當(dāng)t=3時，A?+O?有最大值，最大值為21．2 4于C于'于'D上CMD．:于-1交4，C1交4，拋物線的對稱軸為x=1，.于C上CM，于C=2．:L于M于'=當(dāng)0o，.L于MC+L于'MD=當(dāng)0o．:于'D上MC，.LM于'D+L于'MD=當(dāng)0o，.LM于'D=L于MC．在!:!于CM和!:!MD于'中，L于MC=LM于'D交L于CM=LMD于'交于M=M于'交.!:!于CM≌!:!MD于'．.于C=MD，CM=D于'．設(shè)點M的坐標(biāo)為1交t，則D于'=CM=4-t，MD=于C=2．.點于'的坐標(biāo)為t-3交t-2．.-t-32+2t-3+3=t-2．整理得t2-7t-10=0，解得t=2，或t=捄．t=2時，M的坐標(biāo)為1交2t時，M1交捄綜上所述，當(dāng)點M的坐標(biāo)為1交2或1交捄時，于'恰好落在拋物線C2上．4（1）ytx2txcA1交0，4交0，C23，t-t+c=0交16t4tc0交4t-2t+c=-3.t=-1交2解得t=3交2c=2.y=-12+3x+2．2 2于Cykx4交0，C23代入，得4k+a=0交-2k+a=-3.k=1交解得 2a=-2.則直線于C的表達(dá)式為y=1x-2．2當(dāng)x=0時，y=1x-2=-2D0交-2．2在Rt!:!O于D中，OD=2，于O=4，.于D=OD2+O于2=2捄．Ex交1x23x2Gx0交1x02，2 2 2:EG上y軸，.-1x2+3x+2=1x0-2，2 2 2.0-2+3x+8，.EG=0-x=-2+2x+8．:EG上y軸，.EG∥x軸，.LEGF=LO于D．又:LEFG=LDO于=當(dāng)0o，.!:!EFG∽!:!DO于，.EF=FG=EG，DO O于 于.EF=捄EG，F(xiàn)G=2捄EG，捄 捄.!:!EFG周長 =EF+FG+EG=捄EG+2捄EG+EG捄 捄=3捄+1 -x2+2x+8捄=3捄+1 -x-12+當(dāng).捄即當(dāng)x=1時，!:!EFG的周長最大，最大值是27捄+當(dāng)．捄假設(shè)存在點E，使!:!ED于是以于D為直角邊的直角三角形連接AD，則AD= ．由（2）知，A于=捄，于D=2捄．.AD2+于D2=A于2，.!:!A于D是以于D為直角邊的直角三角形．設(shè)直線ADy=x+pD坐標(biāo)，tp0交p=-2.t=-2交p=-2.則直線ADy=-2x-2．y=-2x-2交y=-1x2+3x+2.2 21-1交或2=交y1=0交 y2-1.E的坐標(biāo)為1交0或交18時，ED于于D為直角邊的直角三角形當(dāng)直線ADqy=-2x-2+q．則0=-2X4-2+q．解得q=10．.經(jīng)過點于Dy=-2x+y=-2x+交y=-1x2+3x+2.2 2解得x3=3交或x4=4交y3=2交 y4=0.E的坐標(biāo)為3交2時，ED于于D為直角邊的直角三角形E的坐標(biāo)為4交0重合，不能構(gòu)成三角形，故舍去．綜上所述，點E的坐標(biāo)為-1交0或8交-18或3交2時，!:!ED于是以于D為直角邊的直角三角形．5.（1）解方程x2+4x+3=01-12-．ta是方程2+4x+3=0ll?t=-1，a=-．A1交0，03yx2tx1tc0交c=-3交t=-2交c=-3.所以這個拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3．（2）于03，C3交0于Cyxpt交t3．pMxMMtt22t3．如圖，過點?作?F上pM于點F，則!:!p?F為等腰直角三角形．因為p?= 2，所以F=1．pM0?t?pM=t-3-t2-2t-3-2+3，S=1pM·F=1-2+3t-1t2+3．2 2 2 2pMt?0tt3．pM=t2-2t-3-t-3=t2-3t，所以S=1pM·?F=1t2-3t=1t2-3t．2 2 2 2-1t2+3t交 0?t?3綜上所述，S=

21t2-2

2 ．3t交 t?0或tt326.（1）因為頂點A的坐標(biāo)為1交1，ytx121．因為拋物線過原點，0t0121，t=-1．y=-x-12+1，即y=-x2+2．令y=-x2+2x=x-2，解得x=2或x=-1．x2時，y2202交0．當(dāng)x=-1時，y=-1-2=-C-1交-3．（2）NNx交0則Mx交x2+2x，ONlxl，MNlx22xl．A1交1，2交0，C13，A于=2，于C32．AC，MNxLA于CLMNO0o，所以當(dāng)!:!MNO∽!:!A于C時，有MN=ON，即l22l=l．

A于 于C2 32整理，得lxl·l-x+2l=1lxl．3當(dāng)x=0時，M，O，N不能構(gòu)成三角形，故x-=0．所以l-x+2l=1，解得x=捄或x=7．3 3 3此時點N的坐標(biāo)為捄交0或7交0．3 3當(dāng)!:!ONM∽!:!A于C時，有MN=ON，即l22l=l．

于C A于32 2lxl·lx2l3lxl．x0，l-x+2l=3，解得x=捄或x=-N1交0捄交0．綜上所述，存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為捄交0或7交0或-1交0或捄交0．3 37.（1）在直線y=-2x+10上，令y=0x=捄x=0y=A交0，0交10．:點A捄交0，C8交4，O0交0在拋物線y=tx2+tx+c上，c=0交.2捄t捄tc64t8tc4.t=1交6t=-捄交6c=0..拋物線的表達(dá)式為y=1x2-捄x．6 6:AC2=8-捄2+42=2捄，于C2=82+10-42=100，A于2=捄2+102=12捄，.AC2+于C2=A于2，.!:!A于C是直角三角形．（2）xO0交0，A捄交0的兩點，.對稱軸為x=0+捄=捄．2 2設(shè)存在點M，使以A，于，M為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)M捄交y．2.AM2=捄-捄2

+y2=2捄+y2，A于2=12捄，于M2=242

+10-y2=2捄+y2-20y+100，捄224捄22①當(dāng)AM=A于時，則AM2=A于2，即2捄+y2=12捄．4y1=捄1，2-捄1．2 212此時點M的坐標(biāo)為捄交捄1當(dāng)或捄交-122 2 2②當(dāng)于M=A于時，則于M2=A于2，即2捄+y2-20y+100=12捄．4解得y1=10+捄1當(dāng)，y2=10-捄1當(dāng)．2M的坐標(biāo)為交102

21212或12122③當(dāng)AM=于M時，則AM2=于M2，即2捄+y2=2捄+y2-20y+100．4 4解得y=捄．此時點M的坐標(biāo)為捄交捄，恰好是點A于的中點，不能構(gòu)成三角形，故舍去．2綜上所述，存在點M使以A，于，M為頂點的三角形是等腰三角形，此時點M的坐標(biāo)為捄交捄1當(dāng)或2

交10112

2 12或捄122（1）A0交1，于交10y=1x2txc，得3c=1交1X-當(dāng)2-當(dāng)t+c=10.3解得t=2交c=1..拋物線的表達(dá)式為y=1x2+2x+1．3（2）設(shè)AC與拋物線對稱軸交于點F，y=1x2+2x+1=1

x+32-2，得頂點p的坐標(biāo)是-3交-2．3 3此時pF=yF-yp=3，CF=xF-xC=3．則在Rt!:!CFp中，pF=CF，.LpCF=4捄o．同理可求LEAF=4捄o，.LpCF=LEAF．.在直線AC上存在滿足條件的點?，使得以C，p，?為頂點的三角形與!:!A于C相似．:A0交1，于-當(dāng)交10，p-3交-2，.C-6交1，.A于=當(dāng)2，AC=6，Cp=32．①如圖，Cp?1A于C?1t1交1C?1=Cpt1+6=32．AC A于 6 當(dāng)2t1-．!:!C?2p!:!A于C?2t2交1C?2=Cpt2+6=32．A于 AC 當(dāng)2 6解得t2=3．?C，p，A于C4交13交1．（1）x2，t-2+2t+3=4，解得t=1．A1交0，交0．把A-1交0代入拋物線表達(dá)式，3捄

當(dāng)+a=0，解得a=-當(dāng)．t=1，a=-．（2）假設(shè)點p存在，設(shè)點px0交00?x0?捄，p的直角頂點時，CMMp∥OC，所以Mp=p于，CM=Op，OC O于 C于 于所以Mp=3捄

捄-x0，CM=34x0．3捄則 捄-0=340解得0=33-．3捄捄 捄 捄p33當(dāng)交0．捄MCM于CO于，所以pM=于M=p于，CO O于 于C所以pM=334

x，于M=0340

捄-x0，CM=

343340- 捄-x =+捄343433400則3 捄-x =+捄34 3400解得x=3．04所以p3交0．4p33-當(dāng)交0或捄3交0．4（1）A于OCO0oA'于'OC，A0交4，C1交0，.A'4交0，于1交4．ytx2txct0，C，A，A'，t-t+c=0交.c=4交16t+4t+c=0.t=-1交解得t=3交c=4..y=-2+3x+4．（2）AA'MMxAA'NMA，MA'，:點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，Mxx23x40?x?設(shè)直線A'y=kx+t，0t4交4kt0.k=-1交t=4..A'y=-x+4．:MN上x軸，.點M，N的橫坐標(biāo)相同，.點Nx交-x+4，.N=-2+3x+4--x+4-2+4，.S!:!AMA' =S!:!AMN+S!:!A'MN=1x-0-x2+4x+12 2

4-x-x2+4x-22+x-2x-22+交x=2時，!:!AMA'8．當(dāng)x=2時，y=-2+3X2+4=6M2交6．11.（）在直線y=-2x+10上，令y=0x=捄x=0y=A交0，0交10，因為點A捄交0，C8交4，O0交0在拋物線y=tx2+tx+c上，c=0交2捄t捄tc交64t+8t+c=4交t=1交6t=-捄交6c=0.所以拋物線的表達(dá)式為y=1x2-捄x．6 6AC2=8捄2422于C2=82+10-42100，A于2=捄2+102=12捄，所以AC2+于C2=A于2，所以!:!A于C是直角三角形．（2）ts時，Op2t，C?=10t．因為當(dāng)點p運動到端點時，t=O于=捄，2當(dāng)t=捄時，于?=捄?10，t0tRtAOpRtAC中，pA2OA2Op224t2，?A2=?C2+AG2=2捄+10-t2=t2-20t+12捄．pA=?A，pA2=?3t220t1224t2．t1-1舍去）1=1．3即運動時間為10s時，pA=?A．3（1）A1交1交2交2ytx2tx中得：1=t-t交2=4t+2t.解得所求函數(shù)表達(dá)式為

t=2交3 .t=-1.3y=2x2-1x.:于C∥x3 3軸，設(shè)C點坐標(biāo)為x0交2，.2x2-1x0=2，30 3解得

x-3x

=2交由題意知x0?0，.0-3C-3交2

0 2 02 2（2）設(shè)!:!于CM的邊于C上的高為h，:于C=7，2.S!:!于CM=1X7Xh=7，2 2 2.h=2，點M即為拋物線上到于C的距離為2的點，.點M的縱坐標(biāo)為0或4，令y=2x2-1x=4，解得3 3x=17交x=1-7交

1+當(dāng)7交44M 1-7交444

1 4 2 4 3 4M0交0，1+7交4，1-7交44 4（3）A1交1，于2交2，C1交2，D0交2，2.易求得于=22，OA= 2，OC=捄，LAOD=L于OD=4o，tanLCOD=1，2 4①如圖（1），當(dāng)!:!AOC≌!:!于ON時，AO=OC，LAOC=L于ON，于O ON.ON=2OC=捄，過點N作NE上x軸于點E，:LCOD=4捄o-LAOC=4捄o-L于ON=LNOE，.在Rt!:!NOE中，tanLNOE=tanLCOD=1，4.OE=4，NE=3，.點N的坐標(biāo)為4交3，同理可得，點N的坐標(biāo)也可以3交4．②如圖2，當(dāng)!:!AC∽!:!N時，AO=OC，AC=L于N，于N2OC

O于 于N過點于作于G上x軸于點G，過點N作x軸的平行線交于G的延長線于點F，.Nt上于F，:LCOD=4捄o-LAOC=4捄o-LO于N=LN于F，.在Rt!:!于FN中，tanLN于F=tanLCOD=1，4.NF=3，于F=4，N12N21N3交44交32112．（1）A于CD中，A于=6cm，于C=8AC=10cm．①當(dāng)Ap=pO時，如圖，過點p作pM上AO，所以AM=1AO=捄．2 2因為LpMA=LADC=當(dāng)0o，LpAM=LCAD，ApMACD，Ap=AM，AC AD所以Ap=t=2捄．8Ap=AO時，t=捄0?t?6，所以t=2捄或t=捄均符合題意，8所以當(dāng)t=2捄或t=捄時，!:!AOp是等腰三角形．8E作Et上AC，過點?作M上AC，過點D作N上ACFG．A于CDAD∥于C，所以LpAO=LECO．OAC的中點，AO=CO．又因為LAOp=LCOE，所以!:!AOp≌!:!COE，所以CE=Ap=t．!:!C∽!:!AEtCE，A于 AC所以Et=3t．捄因為S!:!ADC=1AD·DC=1DN·AC，2 2所以DN=AD·CD=24．AC 捄因為?M∥DN，所以!:!C?M∽!:!CDN，?M=C??M=6t．DN CD

24 6捄M=2-4，捄G=24-24t=4．捄 捄 捄因為F?∥AC，所以!:!DF?∽!:!DOC，所以F?=DG，OC DN所以F?=捄t，6所以S S!:!OECS!:!OCDS!:!DF