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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.2.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是(1)對于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.43.已知,如圖是求的近似值的一個程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.4.已知函數(shù),若所有點,所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.5.設(shè),,分別是中,,所對邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直6.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)7.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.8.我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.9.已知集合,則的值域為()A. B. C. D.10.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,11.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢,寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機取一點,則該點取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.12.已知集合,,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對任意,若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當_________時,為的幾何平均數(shù).(只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)14.如圖,在長方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點,點P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長度的最小值是________________.15.的角所對的邊分別為,且,,若,則的值為__________.16.已知,,且,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在中,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)若,,求的面積.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的面積.19.(12分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動,當天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號抽獎的方式,抽取了家店鋪進行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當天銷售額的平均值;(2)估計抽取的家店鋪中元旦當天銷售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在中的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.20.(12分)已知函數(shù)(1)當時,證明,在恒成立;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.21.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點,且,求的值.22.(10分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對角線交于點且(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大小.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當時,可得成立,當時,只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用,逐項判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
由于中正項與負項交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.4、D【解析】
依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域為,繼而可得,解之即可.【詳解】解:,因為,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域為,因為所有點所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運算能力,屬于中檔題.5、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點:直線與直線的位置關(guān)系6、D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.7、C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.9、A【解析】
先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題10、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.12、A【解析】
進行交集的運算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運算,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由定義可知三點共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式,考查了推理能力,考查了運算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點共線.14、【解析】
如圖,連接,證明平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小,再求此時的得解.【詳解】如圖,連接,因為E,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點,所以,平面,則平面.因為,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.在中,,故當時.線段的長度最小,最小值為.故答案為:【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,考查立體幾何中的軌跡問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】
先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因為,故,因為,所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因為,解得或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.16、8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當且僅當時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出;(2)分別在和中,根據(jù)正弦定理列出兩個等式,兩式相除,利用題目條件即可求出,再根據(jù)余弦定理求出,即可根據(jù)求出的面積.【詳解】(1)由,得,所以.由正弦定理得,,即,得.(2)由正弦定理,在中,,①在中,,②又,,,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面積.【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以,結(jié)合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)計算出直線截圓所得弦長,并計算出原點到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1)由得,故直線的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲線的直角坐標方程是;(2)因為曲線的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長.又到直線的距離為,所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)元;(2)32家;(3)分布列見解析;【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率,再由平均數(shù)公式,即可求解;(2)求出的頻率即可;(3)中的個數(shù)的所有可能取值為,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【詳解】(1)頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元,所以銷售額的平均值為元;(2)不低于元的有家(3)銷售額在的店鋪有家,銷售額在的店鋪有家.選取兩家,設(shè)銷售額在的有家.則的所有可能取值為,,.,,所以的分布列為數(shù)學期望【點睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù),考查離散型隨機變量的分布列和期望,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù),求導,令,用導數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負,求導,分,,三種情況討論求解.【詳解】(1)因為,所以,令,則,所以是的增函數(shù),故,即.因為所以,①當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若,則若,則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,所以在處取得極小值,不符合題意,②當時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若,則若,則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,所以在處取得極大值,符合題意.③當時,,使得,即,但當時,即所以函
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