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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.13.已知集合,,則等于()A. B. C. D.4.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要5.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.6.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.9.()A. B. C.1 D.10.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}11.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.1312.3本不同的語(yǔ)文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是_________.14.已知函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.16.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大??;(2)若,的面積為,求及的值.19.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.20.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.21.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點(diǎn),AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)設(shè)H是線段BE上的動(dòng)點(diǎn),證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.2、C【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.5、C【解析】
利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.7、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).8、A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.9、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、D【解析】
把5本書編號(hào),然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語(yǔ)文書編號(hào)為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號(hào)為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、55【解析】
根據(jù)該For語(yǔ)句的功能,可得,可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語(yǔ)句的功能,可得則故答案為:55【點(diǎn)睛】本題考查For語(yǔ)句的功能,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式,求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,很明顯,且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),即方程有6個(gè)根,也就是有6個(gè)根,即與有6個(gè)不同交點(diǎn),注意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案。【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.16、24【解析】
先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)個(gè);(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對(duì)其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進(jìn)一步求值域即可;(1)分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論,得到的解析式,進(jìn)一步構(gòu)造,通過(guò)求導(dǎo)得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),.............1分令,得遞增;令,得遞減,.................1分∴,∴,即,∴.............3分設(shè),結(jié)合與在上圖象可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1...........................5分(或由方程在上有兩根可得)(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,即,對(duì)恒成立,................................6分①設(shè),令,得遞增;令,得遞減,∴,當(dāng)即時(shí),,∴,∵,∴4.故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,.......................8分當(dāng)即時(shí),在上遞減,∴.∵,∴,故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立............................10分②若對(duì)恒成立,則,∴...........11分由①及②得,.故存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,且的取值范圍為................................................11分考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題;利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步求最值;屬于難題.本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題,往往可利用參變分離的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.18、(1)(2);【解析】
(1)由代入中計(jì)算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,可得:,∴,或(舍),∵,?(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.19、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過(guò)證明平面,由此證得.【詳解】(1)設(shè)是中點(diǎn),連接,由于是中點(diǎn),所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點(diǎn),,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點(diǎn)O,E分別是AC,PA的中點(diǎn),∴OE是△PAC的中位線,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱錐E﹣PBD的體積.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系,證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積,注意等體積法的應(yīng)用,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】
(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長(zhǎng),再分別求解點(diǎn)到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為,在點(diǎn)B處的切線方程為,因?yàn)閮汕芯€均過(guò)點(diǎn)G,所以,所以A,B兩點(diǎn)均在直線上,所以直線AB的方程為,又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(0,p),所以,即G點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè)點(diǎn)G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方
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