怎樣推導梁的應力公式、變形公式分析

05、基本知識怎樣推導梁的應力公式、變形公式（供參考）同學們學習下面內容后，一定要向老師回信（849896803@）,說出你對本資料的看法（收獲、不懂的地方、資料有錯的地方），以便考核你的平時成績和改進我的工作?；匦耪堊⒚靼嗉壓蛯W號的后面三位數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z*問題的提出 1\o"CurrentDocument"下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應力公式和變形公式。 2\o"CurrentDocument"1.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應力公式推導 2\o"CurrentDocument"1.2梁彎曲的變形公式推導（僅研究純彎曲） 5\o"CurrentDocument"1.3彎曲應力公式和變形公式的簡要推導 6\o"CurrentDocument"1.4梁彎曲的正應力強度條件和剛度條件的建立 7\o"CurrentDocument"2.1梁剪切的應力公式推導 8\o"CurrentDocument"2.2梁彎曲的剪應力強度條件的建立 9\o"CurrentDocument"3.軸向拉壓、扭轉、梁的彎曲剪切，應力公式和變形公式推導匯總表 91*問題的提出在材料力學里，分析桿件的強度和剛度是十分重要的，它們是材料力學的核心內容。強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，工作應力。V許用應力A］、T<t］；剛度條件就是工作變形不超過許用變形，即，工作變形y<許用變形卜］、0<b］。如，梁彎曲強度條件：b=<A］；剪切強度條件：T=FqS，?p<T］maxW max［b剛度條件：撓度斗ax<1yI；轉角甲 <t］l\_l」max這里帶方括號的，是材料的某種許用值。由材料實驗確定出破壞值，再除以安全系數(shù)，即得。顯然，不等式左側的工作應力和工作變形計算公式，是十分重要的。如果把各種應力公式和變形公式的來歷搞明白，對于如何進行強度分析和剛度分析（這是材料力學的主要內容）就會得心應手。桿件的基本變形一共四種：軸向拉壓、扭轉、剪切和彎曲變形。它們分別在軸向拉壓桿、扭轉軸、梁的各章講授。其對應的公式各異，但是，推導這些公式的方法卻是一樣的，都要從靜力、幾何、物理三個方面考慮，從而導出相應的《應力公式》，在導出應力公式之后，就可以十分方便地

獲得《變形公式》。2下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應力公式和變形公式。一般來說，多按靜力、幾何、物理的順序分析和講解這三個方面的問題。力是看不見、摸不著的，只能夠感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物體所承受的力（這是力學難學的根本之所在）。變形是可以觀測的，或者借助易變形的橡膠模型觀測到。由于物體運動可以觀測到，速度、加速度不難理解，而絕大部分物體的變形很難肉眼觀測，研究平衡狀態(tài)下的內力和變形的難度進一步加深。物理方面是指材料的力學性質，主要是應力應變關系，這必須試驗確定。在材料力學中主要用到線彈性材料胡克定律，基本上沒有難度。故，本文按先易后難的順序（幾何、物理、靜力）展開分析和研究。1梁的彎曲1.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應力公式推導1.1.1幾何學方面一一變形協(xié)調：連續(xù)介質在變形后仍然是連續(xù)介質?？疾煲欢斯潭ǎ欢耸軓澗豈作用的梁（純彎曲）。根據(jù)“平截面假設”，其變形圖示如下：（b）彎曲后平面圖MX與喝巾（d）（b）彎曲后平面圖MX與喝巾（d）彎曲后立體圖￡G)三y^xl橫截蛙的耍cyaaG)xdx x圖1-1在平截面假設下，（1） 同一橫截面上各點（z，y）應變￡沿y線性分布；（2） 應變e與梁高方向的y值成正比，比例常數(shù)cx僅與橫截面位置有關;（3） 中性軸z上各點（y=0）的應變e為零。

從橡膠棒的純彎曲試驗，我們觀測到純彎曲時，各橫截面繞面內的某軸（中性軸Z）轉過一個角度（如圖1-1、1-2中的de），橫截面仍然保持為平面，拉,max公式（1）表明：各縱向纖維（x方向）的單位長度伸長量8x（線應變、正應變）可表拉,maxE(y)三y^xl座截蛙的各點"AaG)xdx x圖1-2在平截面假設下同一橫截面上各點（z，y）應變。沿y線性分布，y=0各點為零示為Ex（y）=罪，同一截面各點成坐標不同）對應的縱向纖維原長辦是一樣的，但伸c（）yd^（x）橫截面上的各點 （）Ex（y）三卞~====乎AA①，表示梁同一橫截面上各點的應變￡x沿y長量yde不同，隨y線性變化。對于對應的縱向纖維，故各條縱向纖維的單位長度伸長量￡x（y）是不c（）yd^（x）橫截面上的各點 （）Ex（y）三卞~====乎AA①，表示梁同一橫截面上各點的應變￡x沿y方向線性分布，沿z方向不變。在y=0，即中性軸z軸上各點的應變?yōu)榱恪Ｕ龔澢饔玫牧憾紊?，中性層（為xz坐標面）以下的縱向纖維伸長，中性層以上的縱向纖維縮短。1.1.2物理學方面一一應力應變關系（物質本構關系）：假設組成桿件的材料是線彈性的。b=EeAA（2）1.1.3靜力學方面一一合力定理：合力等于分力之和。壓,maxJ拉,max雖然應變￡沿y線性分布，但不知材料性質時，8(y壓,maxJ拉,max雖然應變￡沿y線性分布，但不知材料性質時，8(y)三畋@)暨通巨各點°應力。不一定線性。沿y線性分布，由于￡(0)=0，x'故應力。(y=0)=f(￡)=f(0)=0，假設。分布如左下圖則只有M=JydF=JyedAAAG)成立。。y圖1-3彎矩與正應力的一般表達式dxAh/h/yAAG）ddA=bdyy在梁的橫截面上的“廣義合力”為作用在xy面內的力偶M(彎矩)，故橫截面上各點“正應力”向z軸取力矩的代數(shù)和，應該等于彎矩M。把該橫截面劃分為若干個微小的矩形截面dA=bdy，設作用在dA截面的平均正應力為。，則一個矩形微截面上的軸向力為d%=。dA。它對z軸的力矩為dM=ydFN,y為微截面dA形心到中性軸z的距離。根據(jù)“合力偶等于分力偶之和”，則M=\ydF=\ycdAAA(3)TOC\o"1-5"\h\zA A1.1.4由上述三個關系式可以推導出軸向拉壓桿的橫截面應力公式。為了方便推導和閱讀，把上面的幾何學、物理學、靜力學三個方面的公式匯集如下:s(y)=cyAA(1)，o=EsAA(2)，M=JyodAAA(3)x x A為了求得應力公式，推導如下；M=)JyodA=)JyEsdA=EJysdA2EJycydA=EcJy2dA=EcIAA(4)A A A Ax xA xz式中，I三Jy2dAAA(5)，稱為橫截面對形心軸z的慣性矩，顯然，其單位為長度的4次方。將(1)(2)式回代到(4)：=&AA（6）M如EcI妙E色I2E些I=&AA（6）xzyz yz將(6將(6)式恒等變形，得教科書上梁的應力計算公式:(7)式表明梁的正應力沿梁高方向y成線性分布。注1：推導（4）式的目的是把含有非幾何量的積分式M=\yodAAA（3），恒等變形為不顯含積分的表達式M=Ekl^AA（4），積分fy2dA，則隱含在慣性矩的定義式中，I三jy2dA，該積分僅僅是橫截面形狀、大小的函數(shù)，與內力（彎矩M）無關，即可以對不同形式截面的慣性矩事先予以計算。注2：在梁的橫截面上有線性分布的正應力，但是，它們的合力為零，即梁的橫截面上沒有軸向力。現(xiàn)證明如下：h/2=0F=fodA即MydA=MfydA設梁高為h寬bMjh/2ybdy=業(yè)yh/2=0NA A1 1A 1-h/2 1 2注3：實驗和進一步的理論研究都指出，純彎曲的應力公式可以應用于橫力彎曲，只要梁長不小于梁高的5倍，即長梁，其計算精度滿足土木工程要求。dA=bdy注4：由I三jy2dAAA（5）和圖1-4所示矩形截面，可導出矩形截面的慣性矩。dA=bdybh312三jy2dA=jh/2y2bdy=*bh312A -h/2 4-h/2圖1-4矩形截面梁慣性矩的推導1.2梁彎曲的變形公式推導（僅研究純彎曲）在獲得應力公式o在獲得應力公式o=pyaa（7后，利用推導梁的應力公式過程中所使用過的線彈也Maa(也Maa(8)

dxEIzdpdx土y〃，TOC\o"1-5"\h\z（）yd^（x）橫截面上的各點 （）性關系式o=眼aG）和幾何關系式，即*"）三卞~======乎AA①，便可得到梁的變形公式。M(7)(2) G) d中y=o=E*=Ey ，整理后，得\o"CurrentDocument"I dxdp（8）式中的多是曲率，由數(shù)學知:dx慮到坐標軸y向下為正和對彎矩正負號的規(guī)定，故應取牛=-y〃AA（9），把（9）代入dx（8）得

y〃=-Maa(10)，此即是梁的彎曲微分方程。對它積分一次得梁的轉角方程(11)EIz式，積分兩次得梁的撓曲方程(12)式。yr=0=I-^L_dx+cAAG1)IEI) 1zMV MV dx+cEI) 1zdx+cAA(12)2兩式中的積分常數(shù)c1和。2由梁的轉角和撓度邊界條件確定。1.3彎曲應力公式和變形公式的簡要推導為了方便讀者理清上述推導的思路，將其濃縮如下:1.3.1建立三個關系幾何關系.￡(y)三火四BM各點cyAA(1)八x dx x物理關系：。=EeAA(2)靜力關系：M=fycdAAA(3)1.3.2推導應力公式為了求得應力公式，推導如下；M=)fycdA=)fyE&dA=EfysdA妙EfycydA=Ecfy2dA=EcIAA(4)A A A Ax xA xz定義I三fy2dAAA(5)，稱為橫截面對形心軸z的慣性矩，其單位為長度的4次方。M=EcI=E-1=E^^I=—IAA(6)xz, yz yzyz將(6)式恒等變形，得教科書上梁的應力計算公式:八h/2慣性矩定義式：將(6)式恒等變形，得教科書上梁的應力計算公式:八h/2慣性矩定義式：I三fy2dAAA(5)h/2zWy—dyI=fy2dA=fh/2y2bdy=告AA(8)圖1-5矩形截面的慣性矩計算公式的推導1.3.3推導變形公式根據(jù)b=MyAA（7）、根據(jù)Iz和g（y）三ydpx絲===的各點cyAaG），便可得到梁的變形公式。xdx xM(7)G)「(1)廠dp wd甲 MaaOy=b=Eg=Ey ，整理后，得= AA(9)I dx dxEI/2+y〃，考慮到坐標軸/2+y〃，考慮到坐標軸y向下為正由數(shù)學知曲率：dx和對彎矩正負號的規(guī)定，故應取華=-y〃AA<10），把（10）代入（9）得dxy"=-MAA（11），此即是梁的彎曲微分方程。對它積分一次得梁的轉角方程12）EIz式，積分兩次得梁的撓曲方程（13）式。dx+匕AA(12)y=ffy=ff|-dx+cidx+cAA(13)2兩式中的積分常數(shù)c1和。2由梁的轉角和撓度邊界條件確定。1.4梁彎曲的正應力強度條件和剛度條件的建立強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，工作應力bV許用應力b］；剛度條件就是工作變形不超過許用變形，即，工作相對撓度y<許用相對撓度|y1/ I1/梁的正應力強度條件：b =Mmaxy= <ln]AA(14)，maxImaxW截面抗彎模量：W^=-I^~矩形牛AA（15）max梁的抗撓曲剛度條件:<12|a梁的抗撓曲剛度條件:<12|aA(16)，(17)2梁橫力彎曲中的剪切2.1梁剪切的應力公式推導由于純彎曲中沒有剪力，故不存在剪應力。由于純彎曲的正應力公式可以用于橫力彎曲，在橫力彎曲中存在剪力，故用梁的彎曲正應力公式可得梁的剪應力公式。具體做法是，以矩形截面梁為例，把彎曲正應力公式b=yyAA（7）用于分析dx微z段梁（dx，b，h）的一部分梁塊（dx，b，h/2-y）。h/2h/2y￡F=-Tbdx+jKj+db)-b^dA=0「ATbdxh/2h/2y￡F=-Tbdx+jKj+db)-b^dA=0「ATbdx=jdbdAA(a)Aj(y)=^LyAA(7)zTh/2(7)JM、db=d yz(7)（切代入（a）整理得：t-^jydAA(c)IbdxA*TT/TTxy1Txy2xy3yx1Jyx/31+i°x(y)h/2-yA*y*dx剪應力互等定理：Txy=Tyx>T3T0Txy1>Txy2dF

微分關系：祟dF

微分關系：祟=q

dx去=fqa偵)(d)F FS*人a(q)IbdJydA(d)F FS*人a(q)IbdJydA=ibJydA=QbAA(18)Z z z定義面積A*的靜矩：S*三j*ydAAA(19)_剪應力公式:(c)dMT= 定義面積A的靜矩：Sz三jydAAA切）A定義面積A的形心坐標yC為使靜矩等于零的點的y坐標值。dAZyZ由此有S(=)jydA=j(y'+y)7A=jydA+jydA=0+jydA=yA

zA AC A AC AC C由此有S=ycAAA(20)圖2-1由彎曲正應力公式推導剪應力公式的一般表達式

2.2梁彎曲的剪應力強度條件的建立強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，工作應力t＜許用應力L］；剪應