量子力學(xué)簡介

量子力學(xué)建立于1923~1927年間，兩個等價的理論——矩陣力學(xué)和波動力學(xué).

相對論量子力學(xué)（1928

年，狄拉克）：描述高速運動的粒子的波動方程.量子力學(xué)基礎(chǔ)ErwinSchrodinger（1887～1961）第五次索爾維會議與會者合影(1927年)引言物理學(xué)的分支及近年來發(fā)展的總趨勢物理學(xué)經(jīng)典物理現(xiàn)代物理力學(xué)、振動、聲學(xué)熱學(xué)與統(tǒng)計電磁學(xué)、光學(xué)相對論量子論非線性時間(年)關(guān)鍵概念的發(fā)展力學(xué)電磁學(xué)熱學(xué)相對論量子論16001700180019001918年、普朗克、能量子（1900）1921年、愛因斯坦、光子說和光電效應(yīng)解釋（1905）1922年、玻爾、原子模型及其發(fā)光（1913）1923年、密立根、電子電量測量(1911)和h的測量(1914)1925年、弗蘭克和赫茲、電子原子碰撞實驗（1914）1927年、康普頓和威爾遜、康普頓效應(yīng)(1922)1929年、德布羅意、物質(zhì)波（1924）1932年、海森伯格、量子力學(xué)（1925）1933年、薛定鄂和狄拉克、量子波動力學(xué)(1925、1927)1937年、戴維遜和湯姆遜、電子衍射實驗（1927）1945年、泡利、泡利不相容原理（1924）1954年、玻恩、波函數(shù)統(tǒng)計解釋（1926）1986年、畢寧和羅爾、掃描隧道顯微鏡（1981）量子力學(xué)發(fā)展過程中諾貝爾物理學(xué)獎對微觀粒子的二象性的理解：1、粒子性：指它與物質(zhì)相互作用時的“顆粒性”或“整體性”，具有集中的能量e與動量P。但它不是經(jīng)典的粒子！因為它沒有確定的軌道，應(yīng)采用“概率”的概念、拋棄“軌道”的概念！2、波動性：指它在空間傳播時的“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等現(xiàn)象，具有波長l和波矢k。但它不是經(jīng)典的波！沒有某種實際物理量（如質(zhì)點的位移；電場、磁場）的波動分布。微觀粒子在某些條件下突出地表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下突出地表現(xiàn)出波動性，從經(jīng)典物理來看，這兩種完全格格不入的性質(zhì)寓于同一客體之中.電子駐波德布羅意還指出：氫原子中電子的圓軌道運動，它所對應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波，圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動量量子化條件德布羅意關(guān)系與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系有著同樣重要意義。光速c是個“大”常數(shù)；普朗克常數(shù)h是個“小”常數(shù)。本講提要4-1波函數(shù)及其統(tǒng)計意義4-2薛定諤方程4-3一維無限深勢阱牛頓方程實物粒子的波粒二象性不確定關(guān)系不起作用不確定關(guān)系起作用粒子描述E,P波的描述位置，速度，粒子軌道

遵循怎樣的方程？德布羅意關(guān)系式波函數(shù)4-0.回顧實部1.波函數(shù)的引入經(jīng)典平面波：機械波電磁波4-1波函數(shù)及其統(tǒng)計意義用復(fù)數(shù)表示的波函數(shù)得到描寫自由粒子的平面波波函數(shù)：利用關(guān)系這便是描述能量為E動量為p的自由粒子的德布羅意波它既不是y(位移)，又不是E(電矢量)?！ê瘮?shù)’是什么？----波函數(shù)三維：實物粒子具有粒子性實物粒子具有波動性矛盾?2.物質(zhì)波波函數(shù)的意義經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2.有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。

經(jīng)典概念中1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2.干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。

3個問題？

(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)描寫的是什么樣的波呢？（1）兩種錯誤的看法

1）波由粒子組成

如聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。單個電子就具有波動性.波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。

PPQQ電子源感光屏O2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。矛盾：

平面波--自由粒子振幅與位置無關(guān)，其特點是充滿整個空間。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間。實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1?。與實驗事實相矛盾。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是經(jīng)典粒子也不是經(jīng)典波”。我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000

實驗中單個電子撞擊屏幕位置具有隨機性,但大量電子撞擊的統(tǒng)計結(jié)果,干涉圖樣是可以預(yù)期的。出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣（2）Born波函數(shù)的統(tǒng)計解釋幾率波概率密度波動觀點：1926年德國物理學(xué)家波恩指出：物質(zhì)波的波函數(shù)是描述粒子在空間的幾率分布的“幾率波”。波函數(shù)的模方

代表t

時刻r點處單位體積元dV中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率，稱為概率密度。而時刻t在空間r點附近dV體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為粒子觀點：I=NhνN：粒子數(shù)密度振幅平方=波函數(shù)的模方如自由粒子波函數(shù)為在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等。3.波函數(shù)滿足的條件.統(tǒng)計詮釋要求，作為可以接受的波函數(shù)應(yīng)滿足（1）自然條件：單值、有限和連續(xù)（2）歸一化條件：粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率總和為l，波函數(shù)應(yīng)歸一化據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一 種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r,t)有時也稱為幾率波。衍射花紋的強度則用|Ψ(r,t)|2描述，但意義與經(jīng)典波不同。它是量子學(xué)的基本原理。舉例：薛定諤貓1990RochesteUniv.J.Yeazell&C.Stoud,PRL64:2007;電子貓；1995MITD.E.Pritchardetal.,PRL199574:4783;鈉原子貓；1996NISTC.Monroe&D.J.Wineland,Science272:1131;鈹離子貓；1997ENSJ.M.Raimond,M.Brune,S.Haroche,PRL79:1964;光子貓.http://www.lkb.ens.fr/recherche/qedcav/english/englishframes.html若只做一個小時的實驗，按照量子論的說法，貓將處在“不死不活”的疊加態(tài)，這對一個宏觀的動物貓來說顯然是荒謬的，然而量子論的確會給出這一預(yù)言，量子論的預(yù)言正確嗎？1935薛定諤的著名貓佯謬:

一個箱子里有一只貓和一盛有氰化物的密封容器，箱內(nèi)有微量放射性物質(zhì)R，其半衰期保證二小時內(nèi)有一個原子衰變，衰變原子放射射線觸發(fā)繼電器砸碎裝有氰化物的容器，這樣貓便立即死去。態(tài)疊加原理：如果和是體系的可能狀態(tài)，那么，它們的線性疊加也是這個體系的一個可能狀態(tài)。量子力學(xué)態(tài)疊加原理和經(jīng)典物理中的波疊加原理雖然形式相同，但二者意義有重要差別。（1）兩個相同態(tài)的疊加在經(jīng)典物理中代表著一個新的態(tài)，而在量子物理中則表示同一個態(tài)。舉例：態(tài)疊加原理——量子力學(xué)的基本原理SS1S2PB電子的雙狹縫衍射電子源

（2）在經(jīng)典物理中疊加中的和表示兩列波疊加，在量子力學(xué)中和是屬于同一量子系統(tǒng)的兩個可能的狀態(tài)。當(dāng)粒子處于和的線性疊加態(tài)時，粒子是既處在態(tài)，又處在態(tài)，或者說粒子部分地處于態(tài)和中。[例]

由S1縫通過的電子狀態(tài)用波函數(shù)描寫，電子在屏幕上的分布是。由S2縫通過的電子用波函數(shù)描寫，電子在屏幕上的分布是。當(dāng)兩縫都打開時，電子可以從S1縫通過，也可能從S2縫通過，即電子可以處在態(tài)，也可以處在態(tài)，由疊加原理，電子處在疊加態(tài)于是屏幕上的電子分布為：干涉項S1S2更一般的情況，為復(fù)數(shù)。即當(dāng)是體系的可能狀態(tài)時，它們的線性疊加也是體系的一個可能狀態(tài)。薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

薛定諤在德布羅意思想的基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動力學(xué)和量子力學(xué)的近似方法。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運動定律的價值相似。薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學(xué)的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命——活細胞的物理面貌》的書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命的奧秘。奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。4-2薛定諤方程

4-2薛定諤方程

薛定諤建立的適用于低速情況的、描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程,稱為薛定諤方程。此方程不是推導(dǎo)出來的，而是依據(jù)實驗事實和基本假定“建立”的。是否正確則由實驗檢驗。1.薛定諤方程的建立

1）自由粒子：沒有外場作用，具有能量E（恒量）、動量

P（恒量）的自由運動的粒子的波函數(shù)（一維）----自由粒子波動方程2）粒子在勢場中波動方程----含時薛定諤方程----哈密頓算符2定態(tài)薛定諤方程與時間無關(guān)—定態(tài)振動因子----定態(tài)薛定諤方程3.定態(tài)薛定諤方程的意義:質(zhì)量為m

，并在勢場U（x,y,z)中運動的一個粒子,有一個波函數(shù)與它的運動的穩(wěn)定狀態(tài)相聯(lián)系,這個波函數(shù)滿足薛定諤方程。這個方程的每一個解(x,y,z)

,表示粒子運動的某一個穩(wěn)定狀態(tài).與這個解相應(yīng)的常數(shù)E(參數(shù)),就是粒子在這個穩(wěn)定狀態(tài)的

能量。

(x,y,z)合理:單值、連續(xù)、有限、歸一化。因此，只有E

為一些特定的值時，方程才有解，這些E值叫本征值與這些E

值對應(yīng)的波函數(shù)(x,y,z)叫本征函數(shù)。粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度不隨時間變化4-3一維勢阱問題粒子勢能滿足的邊界條件固體物理金屬中自由電子的簡化模型1)阱外：2)阱內(nèi)：1.勢能函數(shù)2.定態(tài)薛定諤方程3分區(qū)求通解1)阱外：2)阱內(nèi)：式中A和B是待定常數(shù)。4.由波函數(shù)自然條件和邊界條件定特解量子數(shù)想一想：為什么n≠0(1)能量本征值能量取分立值（能級）--能量量子化最低能量（零點能）—波動性的表現(xiàn)試一試：由測不準關(guān)系說明零點能量子數(shù)(2)波函數(shù)是以x=0和x=a為節(jié)點的一系列駐波(3)概率密度5.對應(yīng)原理在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律.勢阱中相鄰能級之差能級相對間隔

當(dāng)很大時，，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為對應(yīng)原理.例1試求在一維無限深勢阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一維無限深勢阱中粒子的概率密度為將上式對x求導(dǎo)一次，并令它等于零因為在阱內(nèi)，即只有于是由此解得最大值得位置為例如最大值位置最大值位置最大值位置可見，概率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)n相等一維無限深勢阱這時最大值連成一片，峰狀結(jié)構(gòu)消失，概率分布成為均勻，與經(jīng)典理論的結(jié)論趨于一致。相鄰兩個最大值之間的距離如果阱寬a不變，當(dāng)時例2:在寬度為a的無限深勢阱中，粒子處于