條件概率和事件的相互獨(dú)立性

一、條件概率和乘法公式三、事件的相互獨(dú)立性二、全概率公式和貝葉斯公式四、小結(jié)第三節(jié)條件概率和事件的相互獨(dú)立性

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件A為“至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.現(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率和乘法公式同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義例1一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品、1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”、事件B為“第二次取到的是一等品”．試求條件概率P(B|A).解由條件概率的公式得例2某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解3.性質(zhì)4.乘法公式摸球試驗(yàn)解例4此模型被波利亞用來(lái)作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.例3

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著“有”字，三個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字，五人依次抓取,問(wèn)各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無(wú)關(guān).1.樣本空間的劃分二、全概率公式和貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破說(shuō)明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例6有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%

，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%因?yàn)榉Q此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式貝葉斯資料例7解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例8由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率解例9由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.三、事件的相互獨(dú)立性則有1.引例事件A與事件B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無(wú)關(guān).說(shuō)明

2.定義兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系由此可見(jiàn)兩事件互斥但不獨(dú)立.3.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立4.三事件相互獨(dú)立的概念伯恩斯坦反例例3

一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問(wèn)A，B，C是否相互獨(dú)立?解由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此又由題意知故有因此A，B，C不相互獨(dú)立.則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.由于n個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣證明5.幾個(gè)重要定理證明又因?yàn)锳、B相互獨(dú)立,所以有兩個(gè)結(jié)論例1設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問(wèn)題解事件B為“擊落飛機(jī)”,6.例題講解例2甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解

A,B,C分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī),因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為例4同時(shí)拋擲一對(duì)骰子,共拋兩次,求兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11的概率.解事件A為兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11.則有解例5例6要驗(yàn)收一批(100件)樂(lè)器.驗(yàn)收方案如下:自該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3件測(cè)試(設(shè)3件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的),如果3件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純,則這批樂(lè)器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂(lè)器中恰有4件是音色不純的.試問(wèn)這批樂(lè)器被接收的概率是多少?解純的樂(lè)器,經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為0.99,已知一件音色而一件音色不純的樂(lè)器,經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為0.05,并且三件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的,于是有解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;