計(jì)算機(jī)數(shù)制與數(shù)值編碼

計(jì)算機(jī)硬件基礎(chǔ)本課程內(nèi)容：第一章計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)信息的表示及運(yùn)算第二章計(jì)算機(jī)中邏輯運(yùn)算及邏輯部件第三章中央處理器第四章指令系統(tǒng)和匯編語言第五章存儲(chǔ)器第六章外存儲(chǔ)設(shè)備第七章計(jì)算機(jī)輸入輸出接口第八章計(jì)算機(jī)常用外部設(shè)備第一章

計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)信息的表示及運(yùn)算1.1 數(shù)制1.1.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制進(jìn)位計(jì)數(shù)制：用少量的數(shù)字符號(hào)（也稱數(shù)碼），按先后次序把它們排成數(shù)位，由低到高進(jìn)行計(jì)數(shù)，計(jì)滿進(jìn)位，這樣的方法稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制基數(shù)：進(jìn)位制的基本特征數(shù)，即所用到的數(shù)字符號(hào)個(gè)數(shù)。例如10進(jìn)制：0~9十個(gè)數(shù)碼表示，基數(shù)為10權(quán)：進(jìn)位制中各位“1”所表示的值為該位的權(quán)常見的進(jìn)位制：2，8，10，16進(jìn)制。1.十進(jìn)制(Decimal)基數(shù):10;符號(hào):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；計(jì)算規(guī)律:“逢十進(jìn)一”或“借一當(dāng)十”并列表示:N10=dn-1dn-2??????d1d0d-1d-2

??????d-m十進(jìn)制數(shù)的多項(xiàng)式表示: N10=dn-1×10n-1+

dn-2×10n-2+

??????d1×101+

d0×100+

d-1×10-1+

d-2×10-2+??????d-m×10-M

其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；10i稱為該位的權(quán).例如：123.45=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-22、二進(jìn)制(Binary)基數(shù):2符號(hào):0、1計(jì)算規(guī)律:逢二進(jìn)一或借一當(dāng)二二進(jìn)制的多項(xiàng)式表示:N2=dn-1×2n-1+

dn-2×2n-2+

??????d1×21+

d0×20 +

d-1×2-1+

d-2×2-2+??????d-m×2-m 其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；2i稱為該位的權(quán)例如:一個(gè)二進(jìn)制數(shù)(1101.01)2的表示 .(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(13.25)10二進(jìn)制數(shù)的性質(zhì)移位性質(zhì)：小數(shù)點(diǎn)左移一位，數(shù)值減小一半小數(shù)點(diǎn)右移一位，數(shù)值擴(kuò)大一倍奇偶性質(zhì)：最低位為0，偶數(shù)最低位為1，奇數(shù)二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：只有0，1兩個(gè)數(shù)碼，易于用物理器件表示。電位的高低，脈沖的有無，電路通斷等都比較容易區(qū)別，可靠性高運(yùn)算規(guī)則簡單理論證明采用R=e=2.71828進(jìn)制時(shí)，存儲(chǔ)設(shè)備最省，取3進(jìn)制比2進(jìn)制省設(shè)備，但2進(jìn)制易表示。二進(jìn)制的0，1與邏輯命題中的真假相對(duì)應(yīng)，為計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算和邏輯判斷提供有利條件。缺點(diǎn)：書寫冗長，不易識(shí)別，不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤3、八進(jìn)制(Octal)基數(shù):8符號(hào):0,1,2,3,4,5,6,7計(jì)算規(guī)律:逢八進(jìn)一或借一當(dāng)八八進(jìn)制的多項(xiàng)式表示:N8=dn-1×8n-1+

dn-2×8n-2+

??????d1×81+

d0× 80+

d-1×8-1+

d-2×8-2+??????d-m×8-m 其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；8i稱為該位的權(quán).例如八進(jìn)制數(shù)(376.54)8的表示 (376.54)8=3×82+7

×81+6

×80+5

×8-1+4

×8-24、十六進(jìn)制(Hexadecimal)基數(shù):16符號(hào):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F計(jì)算規(guī)律:逢十六進(jìn)一或借一當(dāng)十六十六進(jìn)制的多項(xiàng)式表示:N16=dn-1×16n-1+

dn-2×16n-2+

??????d1×161+

d0×160+

d-1×16-1+

d-2×16-2+??????d-m×16-m其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；16i稱為該位的權(quán).例如十六進(jìn)制數(shù)(2C7.1F)16的表示(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1

×16-1+15×16-21.1.2進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1、R進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法按權(quán)展開法:先寫成多項(xiàng)式,然后計(jì)算十進(jìn)制結(jié)果.N=dn-1dn-2??????d1d0d-1d-2

??????d-m =dn-1×Rn-1+

dn-2×Rn-2+

??????d1×R1+

d0×R0+

d-1×R-1+

d-2×R-2+??????d-m×R-m例如:

寫出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十進(jìn)制數(shù)(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+ 0×2-1+1×2-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=2×82+3×21+7×20=128+24+7=159(10D)16=1×162+13×160=256+13=2692、十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制方法一般分為兩個(gè)步驟：整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換除2取余法（基數(shù)除法）減權(quán)定位法小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換乘2取整法（基數(shù)乘法）基數(shù)除法：把給定的除以基數(shù),取余數(shù)作為最低位的系數(shù),然后繼續(xù)將商部分除以基數(shù),余數(shù)作為次低位系數(shù),重復(fù)操作直至商為0

例如：用基數(shù)除法將(327)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)2327余數(shù)216312811240122002100250221210201(327)10=(101000111)2減權(quán)定位法將十進(jìn)制數(shù)依次從二進(jìn)制的最高位權(quán)值進(jìn)行比較，若夠減則對(duì)應(yīng)位置1，減去該權(quán)值后再往下比較，若不夠減則對(duì)應(yīng)位為0，重復(fù)操作直至差數(shù)為0。例如：將(327)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)256<327<512 327-256=711 71<1280 71-64=71 7<320 7<160 7<80 7-4=31 3-2=11 1-1=01乘基取整法(小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換)

把給定的十進(jìn)制小數(shù)乘以2,取其整數(shù)作為二進(jìn)制小數(shù)的第一位,然后取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2,將所的整數(shù)部分作為第二位小數(shù),重復(fù)操作直至得到所需要的二進(jìn)制小數(shù)例如:將(0.8125)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù). 整數(shù)部分 2×0.8125=1.6251 2×0.625=1.251 2×0.25=0.50 2×0.5=11 (0.8125)10=(0.1101)2例如:將(0.2)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)0.2×

2=0.4 整數(shù)部分 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 10.2×2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 1(0.2)10=[0.001100110011….]23、其它進(jìn)制之間的直接轉(zhuǎn)換法二<-->八 二<-->十六00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制例：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八進(jìn)制對(duì)應(yīng)數(shù):267.32二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)位:010,110,111.011,010二進(jìn)制數(shù)分段:10,110,111.011,01八進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制方法：先逐位轉(zhuǎn)換，再去掉無效數(shù)位例如:(123.46)8 =(001,010,011.100,110)2 =(1010011.10011)2二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制例：(110110111.01101)2(10110111.01101)2=(1B7.68)16得到十六進(jìn)制:1B7.68二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)位:0001,1011,0111.0110,1000二進(jìn)制數(shù)分段:1,1011,0111.0110,1十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制方法：先逐位轉(zhuǎn)換，再去掉無效數(shù)位例如:(7AC.DE)16 =(0111,1010,1100.1101,1110)2 =(11110101100.1101111)21.2數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼與表示1.2.1帶符號(hào)數(shù)的編碼真值:正、負(fù)號(hào)加數(shù)字絕對(duì)值的形式稱為該數(shù) 字的真值。 例如：

X=+1011y=-1011機(jī)器數(shù)：在計(jì)算機(jī)中，符號(hào)必須采用數(shù)碼表 達(dá)，符號(hào)數(shù)碼化的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。計(jì)算機(jī)中常用的幾種機(jī)器數(shù)表示法： 原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼1、原碼表示法原碼表示法用“0”表示正號(hào)，用“1”表示負(fù)號(hào)，有效值部分用二進(jìn)制的絕對(duì)值表示。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[X]原=1-X=1+|X|0≥X≥-(1-2-(n-1))完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]原=0.1011011[X2]原=1.1011011小數(shù)：

X2n-1-1≥X≥0

[X]原=2n-1-X=2n-1+|X|0≥X≥-(2n-1-1)完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+1011011

X2=-1011011[X1]原=01011011[X2]原=11011011整數(shù)：原碼小數(shù)的表示范圍:[+0]原=0.0000000;[-0]原=1.0000000最大值:1-2-(n-1)最小值:-(1-2-(n-1))表示數(shù)的個(gè)數(shù):2n-

1

若二進(jìn)制的位數(shù)分別是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示數(shù)的個(gè)數(shù)8位:127/128，-127/128，25516位:32767/32768,-32767/32768,65535原碼整數(shù)的表示范圍:[+0]原=00000000;[-0]原=10000000最大值:2(n-1)-1最小值:-(2-(n-1)-1)表示數(shù)的個(gè)數(shù):2n-

1

若二進(jìn)制的位數(shù)分別是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示數(shù)的個(gè)數(shù)8位:127，-127，25516位:32767,-32767,65535原碼特點(diǎn)：表示簡單，易于同真值之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算規(guī)則簡單。進(jìn)行加減運(yùn)算十分麻煩。2、補(bǔ)碼表示法模：計(jì)量器具的容量，或稱為模數(shù)4位字長的機(jī)器表示的二進(jìn)制整數(shù)為：0000~1111共16種狀態(tài)，模為16=24。N位字長的機(jī)器模為2n補(bǔ)碼的定義：正數(shù)的補(bǔ)碼就是正數(shù)的本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是原負(fù)數(shù)加上模。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[x]補(bǔ)= 2+X=2-|X|0>X≥-1

完成下列數(shù)的真值到補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]補(bǔ)=0.1011011[X2]補(bǔ)=1.0100101小數(shù)：

X2(n-1)-1

≥X≥0

[x]補(bǔ)=2n+X=2n-|X|0>X≥-

2(n-1)完成下列數(shù)的真值到補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換X1=+1011011

X2=-1011011[X1]補(bǔ)=01011011[X2]補(bǔ)=10100101整數(shù)：補(bǔ)碼簡易求取方法：

正數(shù)：[X]補(bǔ)=[X]原 負(fù)數(shù)：符號(hào)除外，各位取反，末位加1例：X=-1001001

[X]原=11001001，[X]補(bǔ)=10110110+1=10110111或[X]補(bǔ)=28+X=100000000-1001001=10110111 100000000 -1001001 10110111補(bǔ)碼的表示范圍:N位純整數(shù)的表示范圍:2n-1-1

~-2n-1N位純小數(shù)的表示范圍:1-2-(n-1)~-1

無論整數(shù)還是小數(shù)，零的表示均是唯一的。故N位純整數(shù)或純小數(shù)均能表示2n個(gè)數(shù)補(bǔ)碼的優(yōu)點(diǎn)：最大的優(yōu)點(diǎn)就是易由[X]補(bǔ)求[-X]補(bǔ)，可將減法運(yùn)算簡化成加法運(yùn)算。即： [X]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)由[X]補(bǔ)求[-X]補(bǔ)的方法： 連同符號(hào)各位取反， 末位加1。例： X=+1001001 [X]補(bǔ)=01001001 [-X]補(bǔ)=101101113、反碼表示法正數(shù)的表示與原、補(bǔ)碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼符號(hào)位為1，數(shù)值位是將原碼的數(shù)值按位取反，就得到該數(shù)的反碼表示

X1≥X≥0[X]反=(2-2-(n-1))+X0≥X>-(1-2-(n-1)) X1=+0.1011011,[X1]反=0.1011011

X2=-0.1011011,[X2]反=1.0100100小數(shù):整數(shù):

X2n-1

>X

≥0[X]反=(2n-1)+X0≥X>-2n-1 X3=+1011011,[X3]反=01011011

X4=-1011011,[X4]反=10100100 [+0]反=00000000;[-0]反=111111114、移碼表示法[X]移=2n-1+X

2n-1-1

≥X≥

-2n-1X1=1010101[X1]補(bǔ)=01010101[X1]移=11010101X2=-1010101[X2]補(bǔ)=10101011[X2]移=001010115、機(jī)器數(shù)表示法小結(jié)[X]原、[X]反、[X]補(bǔ)用“0”表示正號(hào)，用“1”表示負(fù)號(hào)；[X]移用“1”表示正號(hào)，用“0”表示負(fù)號(hào)。如果X為正數(shù)，則[X]原=[X]反=[X]補(bǔ)。如果X為0，則[X]補(bǔ)、[X]移有唯一編碼，[X]原、[X]反有兩種編碼。移碼與補(bǔ)碼的形式相同，只是符號(hào)位相反。1.2.2計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示方法數(shù)值范圍：一種數(shù)據(jù)類型所能表示的最大值 和最小值數(shù)據(jù)精度：實(shí)數(shù)所能表示的有效數(shù)字的位數(shù)。數(shù)值范圍和數(shù)據(jù)精度均與使用多少位二進(jìn) 制位數(shù)以及編碼方式有關(guān)。計(jì)算機(jī)用數(shù)字表示正負(fù)，卻隱含規(guī)定小數(shù)點(diǎn)，采用“定點(diǎn)”、“浮點(diǎn)”兩種表示形式。1、數(shù)的定點(diǎn)表示方法1）有符號(hào)數(shù)的定點(diǎn)表示（1）定點(diǎn)整數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的最低位之后如：Dn-1Dn-2??????D1D0

.范圍：

2n-1-1

~

-2n-1(16位時(shí)32767~-32768)（2）定點(diǎn)小數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的符號(hào)位之后 、數(shù)值最高位之前。如：D0.

D-1??????D-(n-2)D-(n-1)范圍：1-2-(n-1)~-1

(16位時(shí)32767/32768~-1)2）無符號(hào)數(shù)的定點(diǎn)表示（1）定點(diǎn)整數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的最低位之后

如：Dn-1Dn-2??????D1D0.N位無符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)可表范圍：

0~

2n-1

（2）定點(diǎn)小數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)值最高位之前

如：.D0D-1??????D-(n-2)D-(n-1)N位無符號(hào)定點(diǎn)小數(shù)可表范圍：0~

1-2-(n)1、數(shù)的定點(diǎn)表示方法1）浮點(diǎn)數(shù)的表示：是把字長分成階碼和尾數(shù)兩部分。其根據(jù)就是：①JEm-2…….E0S

D-1……D-(n-1)

階符階碼值數(shù)符.尾數(shù)值

②

SJEm-2…….E0D-1……D-(n-1)

數(shù)符階符階碼值.尾數(shù)值通常，階碼為補(bǔ)碼或移碼定點(diǎn)整數(shù)，尾數(shù)為補(bǔ)碼或原碼定點(diǎn)小數(shù)。2、數(shù)的浮點(diǎn)表示方法2）浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化目的：字長固定情況下提高表示精度措施：