差分方程1-貸款買房及蛛網(wǎng)模型

0差分方程及其解1減肥計劃——節(jié)食與運(yùn)動2貸款買房3市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型差分方程模型0差分方程及其解把含有未知函數(shù)的差分或表示成未知函數(shù)若干不同時期值的符號的方程稱為差分方程。方程中所含未知函數(shù)角標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)稱為差分方程的階。差分方程及其解差分方程的解：若一個整標(biāo)函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等差分方程的通解：如果解中所含相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)特解：滿足初始條件、不含任意常數(shù)的解。常系數(shù)線性差分方程求解n階常系數(shù)方程若=0，則稱為齊次方程線性差分方程解的結(jié)構(gòu)上與線性微分方程相類似，即有：（1）若是齊次差分方程的解，則也是的解，其中C為任意常數(shù)。（2）若、是齊次差分方程的解，則它們的線性組合也是非齊次差分方程的解。常系數(shù)線性差分方程求解（3）若，…，是齊次差分方程n個線性無關(guān)的解，則它們的線性組合就是齊次差分方程的通解。，…，稱為齊次差分方程的一組基本解。（4）若是齊次差分方程的通解，是非齊次方程的一個特解，則

是非齊次方程的通解。常系數(shù)線性差分方程求解齊次常系數(shù)線性差分方程求解特征方程若是特征方程的個不同的根，通解可表為時，只要將換為齊次常系數(shù)線性差分方程求解當(dāng)特征方程有一對共扼單復(fù)根時當(dāng)特征方程有一對共扼n重復(fù)根時非齊次常系數(shù)線性差分方程求解

例

求下列差分方程的通解：（1）（2）（3）（4）1減肥計劃——節(jié)食與運(yùn)動背景

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持

通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起

飲食（吸收熱量）引起體重增加

代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡-320千卡(因人而異),相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡；3）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計劃。1）在不運(yùn)動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)-第k周(末)體重c(k)-第k周吸收熱量-代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。運(yùn)動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運(yùn)動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動時間(小時)基本模型3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動

運(yùn)動(內(nèi)容同前)問題：試建立微分方程模型討論減肥問題假設(shè)：（1）人每天吸收的能量為固定數(shù)A千卡；（2）單位時間里，人體內(nèi)用于基礎(chǔ)代謝和體內(nèi)特殊動力消耗的能量正比于人的體重，比例系數(shù)為b;(3)從事某項運(yùn)動（活動）在單位時間里消耗的能量正比于體重。單位時間每千克體重消耗的能量為r;(4)體重w(t)是時間t的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)；我們以“天”為時間單位。體重模型1問題與背景一對年輕夫婦準(zhǔn)備購買一套住房，但缺少資金近6萬元。假設(shè)它們每月可有節(jié)余900元，且有如下的兩種選擇：使用銀行貸款60000元。月利率0.01，貸款期25年=300個月；到某借貸公司借貸60000元，月利率0.01，22年還清。只要（i）每半個月還316元，(ii)預(yù)付三個月的款你能幫他們做出明智的選擇嗎？2貸款買房2建模與求解設(shè)最初需要借的款數(shù)為，月利率（貸款通常按復(fù)利計）為，每月還的款數(shù)為，借期為N，第n個月時尚欠的款數(shù)為已知3.結(jié)果和分析=60000，R=0.01，=300

問題1所以，他們是有能力購房的！3.結(jié)果和分析問題2每月還款也是632元，只是多跑一次銀行預(yù)付632x3=1896元提前三年還清，少付316x72=22752元半月利率取為R=0.005，年好仁慈的借貸公司?。。?.結(jié)果和分析事實(shí)上，按第2個條件，，你只借了58104元而不是60000元，即使按R=0.01，來算，使的N為

253.05（個月）（年）。即實(shí)際上提前將近4年就可還清。該借貸公司只要去同樣的銀行借款，即使半個月收來的316元不動，再過半個月合在一起去交給銀行，它還可坐收第22年的款近7000元！3市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型

問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件方程通解(c1,