高考題中的阿基米德三角形

高考題中的阿基米德三角形圖1回顧：過拋物線x2=2py(p>0)上的點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程？結(jié)論：過拋物線x2=2py(p>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)，分別作拋物線的切線PA、PB，A、B分別是切點(diǎn)，則直線AB的方程為

．由拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形.OABPF阿基米德三角形阿基米德是偉大數(shù)學(xué)家與力學(xué)家,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號。xy結(jié)論：直線AB的方程為

．圖2(1,3)探究1：探究2：(a,b)性質(zhì)1：若阿基米德三角形ABP的邊AB即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線。OABPF

Cxy性質(zhì)2：若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形ABP的底邊AB過定點(diǎn)。OABPF

CxyMOAB

xy-2pN思考：把M改成拋物線外任意一點(diǎn)，結(jié)論仍然成立嗎？POABF

xyN性質(zhì)3：如圖,ABP是阿基米德三角形，N為拋物線弦AB中點(diǎn)，則直線PN平行于拋物線的對稱軸.BBPAOxyMOQABC

PxyM(M)性質(zhì)4：在阿基米德三角形ABP，則OABPF

xyB

探究4：證明：（Ⅰ）對任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）,所以可設(shè)直線的方程為由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得性質(zhì)4：在阿基米德三角形ABP，則OABPF

xyB

性質(zhì)5：如圖：在阿基米德三角形ABP，若F為拋物線焦點(diǎn)，則OABPF

xy同理可得：

分析：設(shè)切點(diǎn)

∴∠AFP=∠PFB.∴∴推論：在阿基米德三角形ABP，若弦AB過拋物線焦點(diǎn)F，則OABPF

OABPF

xyB推論：在阿基米德三角形ABP，若弦AB過拋物線焦點(diǎn)F，則課堂小結(jié)：2.關(guān)鍵點(diǎn)：阿基米德三角形三個頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。QOABC

F1.一個阿基米德三角形3.方法：求導(dǎo)法；主元法；設(shè)而不求法。OABPF

A1B1xyOABPF

xy方法2:①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為的距離為：，則P點(diǎn)到直線AF即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.OABPF