2021-2022學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．135°【答案】B【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】的斜率為1，故傾斜角滿足，又傾斜角大于等于0°小于180°，故傾斜角為45°.故選：B2．已知空間中兩點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】，，故，故.故選：B3．各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，，則的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和通項(xiàng)公式可求得公比，代入等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，又，，解得：，.故選：A.4．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解．【詳解】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相內(nèi)切．故選：C．5．如圖，哈雷彗星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)非常扁的橢圓，太陽位于橢圓軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)上，已知哈雷彗星離太陽最近的距離為，最遠(yuǎn)的距離為.若太陽的半徑忽略不計(jì)，則該橢圓軌跡的離心率約為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出與，列方程組，求出與，得到離心率，可得答案.【詳解】根據(jù)圖像，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為，焦距為，故根據(jù)題意，，，解得，，.故選：C6．已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)共漸近線雙曲線系的形式可假設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為：，雙曲線過點(diǎn)，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.7．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量數(shù)量積及模長(zhǎng)公式,計(jì)算即可.【詳解】設(shè),因?yàn)?所以又因?yàn)?所以,即得可得點(diǎn)的軌跡方程為故選:.8．如圖，是正四棱柱被平面所截得的幾何體，若，，，則截面與底面所成二面角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，平面的一個(gè)法向量為，，故截面與底面所成二面角的余弦值是，故選：B二、多選題9．當(dāng)取一定實(shí)數(shù)值時(shí)，方程可以表示為（

）A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線【答案】ABC【分析】比較的正負(fù)以及大小，進(jìn)而確定方程所表示曲線的形狀.【詳解】∵，且，則有：當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在在軸上的雙曲線，B正確；當(dāng)，即時(shí)，則有：①當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，A正確；②當(dāng)，即時(shí)，方程即為，表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓；③當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C正確；對(duì)于D：若方程表示為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，無解，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．在正方體中，若，，，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用作為一組基底表示出空間向量，即可得到.【詳解】由已知可得，不共面，則可以作為空間向量的一組基底.對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：AD.11．年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)數(shù)列，其遞推公式可以表示為，（），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】由題意可知，，，，AB正確；因?yàn)?，，，……，，，各式相加得，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，D正確；故選：ABD12．城市的很多街道都呈平行垂直狀，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.仿此，如圖，平面直角坐標(biāo)系上任意不重合兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，中垂線為.定義，間的折線距離.若滿足，則下列說法正確的是（

）A．無論，位置如何，都滿足的條件B．當(dāng)或時(shí)，可取上任一點(diǎn)C．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，可取上任一點(diǎn)D．當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，均可取上任一點(diǎn)【答案】ABC【分析】根據(jù)“折線距離”的定義逐項(xiàng)計(jì)算.【詳解】對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，假設(shè)，則l平行于x軸，設(shè)，則有：，，正確；同理當(dāng)時(shí)也正確；對(duì)于C，設(shè)AB的斜率為1，則l的斜率為-1，則有，直線l的方程為：，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，，正確；同理當(dāng)AB的斜率為-1時(shí)也正確；對(duì)于D，不妨假設(shè)，則AB的斜率為，則l的斜率為，，直線l的方程為，在l上取點(diǎn)，則有，錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題13．經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是____.【答案】【分析】設(shè)出所求直線方程為，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出c，即得答案.【詳解】由題意可設(shè)與直線平行的直線的方程為，將代入，得，故經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是，故答案為：14．已知曲線（）與拋物線的準(zhǔn)線相切，則____.【答案】【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線為，得到得到答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，曲線與相切，故且，則.故答案為：15．?dāng)?shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則____.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列與的性質(zhì)確定數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)，即可得的值.【詳解】解：數(shù)列與分別是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則新的數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故.故答案為：.四、雙空題16．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓，經(jīng)過點(diǎn)且與之相切的直線方程是____；類似地，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)構(gòu)成的空間幾何體是一個(gè)球，則經(jīng)過點(diǎn)且與之相切的平面方程是____.【答案】

【分析】首先設(shè)切線上任一點(diǎn)，利用垂直關(guān)系建立等式，轉(zhuǎn)化為切線方程；設(shè)切面上任一點(diǎn)，同樣利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積表示的等式，即可球切面方程.【詳解】設(shè)，，所以點(diǎn)在圓上，設(shè)切線上任意點(diǎn)，則，即，則，即；設(shè)，與球相切的平面上任一點(diǎn)，則，即，，化簡(jiǎn)為.故答案為：；五、解答題17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，有點(diǎn)，，.(1)證明：是直角三角形；(2)求的外接圓方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由兩點(diǎn)之間斜率公式，根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案.【詳解】（1）依題意得，，所以，所以，即是直角三角形.（2）取的中點(diǎn)，，所以的外接圓方程是.寫成一般式：.18．已知等差數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求的最大值.【答案】(1)(2)2020【分析】（1）計(jì)算，得到等差數(shù)列公差，得到通項(xiàng)公式.（2）計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】（1），，設(shè)的公差為，，所以，.（2）（法一），所以是單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)?，設(shè)的前項(xiàng)和最大，則，即或，的最大值為.（法二），，的前項(xiàng)和為，即，對(duì)稱軸，所以或時(shí)取最大值，最大值為.19．已知為橢圓（）上一點(diǎn)，，是的焦點(diǎn)，.(1)若，求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，，，則，利用橢圓定義和勾股定理，從而求出答案；（2）（法一）設(shè)，，求出、、，利用得，再由求出，利用，從而得到橢圓方程；（法二）設(shè)，，利用橢圓定義和勾股定理得，可得，由在橢圓上得，結(jié)合解得可得答案.【詳解】（1）設(shè)，，依題意，不妨設(shè)，則，所以解得，即；（2）（法一）設(shè)，，則，，，由得，即，解得，所以，，所以，即，，故橢圓的的方程為；（法二）設(shè)，，又由得，即，另一方面，所以，由在上得，即，所以，又由，解得，即，，即橢圓的的方程為.20．截至年末，某城市普通汽車（除新能源汽車外）保有量為萬輛.若此后該市每年新增普通汽車萬輛，而報(bào)廢舊車轉(zhuǎn)購新能源汽車的約為上年末普通汽車保有量的，其它情況視為不計(jì).(1)設(shè)從年起該市每年末普通汽車的保有量構(gòu)成數(shù)列，試寫出與的一個(gè)遞推公式，并求年末該市普通汽車的保有量（精確到整數(shù)）；(2)根據(jù)（1）中與的遞推公式，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求從哪一年起，該市普通汽車的保有量首次少于萬輛？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)，240（萬輛）(2)證明見解析，年末【分析】（1）根據(jù)題意得到遞推公式，再依次計(jì)算得到答案.（2）變換得到，得到證明，再計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，故，，所以年末該市普通汽車的保有量（萬輛）.（2）得，而，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，解得，求得，即從年末開始，該市普通汽車的保有量首次少于萬輛.21．如圖1，邊長(zhǎng)為的菱形中，，，，分別是，，的中點(diǎn).現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得平面平面，連接，如圖2.(1)求；(2)若過，，三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，求四棱錐的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，再計(jì)算夾角得到答案.（2）計(jì)算平面的法向量為，再計(jì)算到平面的距離為，最后計(jì)算體積得到答案.【詳解】（1）連接，，平面平面，平面平面，，平面，故平面，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，，所以.（2）連接，，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，，所以，設(shè)到平面的距離為，而，，依題意得四邊形是一個(gè)菱形，，，所以，所以.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線（）交于點(diǎn),設(shè)直線、的斜率分別為、.(1)若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，證明：；(2)若（為常數(shù)），直線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線不過定點(diǎn).【分析】(1)設(shè)直線，、，聯(lián)