2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，若（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義運算即得.【詳解】因為，則.故選：B.2．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項分析即得.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，函數(shù)定義域為R，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對于C，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；對于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意.故選：D.3．某學(xué)校想了解高一學(xué)生社會實踐項目的選擇意向，采用分層抽樣的方式抽取100人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一年級有270名男生，從男生中抽取了60名，則該校高一年級共有學(xué)生（

）A．445人 B．450人 C．520人 D．540人【答案】B【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)該校高一年級共有學(xué)生人，由題可知，解得(人).故選：B.4．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項，若，則，所以A選項錯誤.B選項，若，兩邊平方得，所以B選項正確.C選項，若，則，所以C選項錯誤.D選項，若，如，則，所以D選項錯誤.故選：B5．某班分成了A?B?C?D四個學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)二十大報告，現(xiàn)從中隨機抽取兩個小組在班會課上進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，則組和組恰有一個組被抽到的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式即得.【詳解】從A?B?C?D四個學(xué)習(xí)小組中隨機抽取兩個小組有共6種結(jié)果，其中組和組恰有一個組被抽到的結(jié)果有共4種結(jié)果，所以組和組恰有一個組被抽到的概率為.故選：C.6．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡，通過討論函數(shù)和的單調(diào)性和取值范圍即可得出的大小關(guān)系.【詳解】解：由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，∴，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，∴，∴，故選：A.7．甲?乙兩名學(xué)生，六次數(shù)學(xué)測驗成績（百分制）如圖所示：①甲同學(xué)成績的中位數(shù)和極差都比乙同學(xué)大；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)穩(wěn)定；④甲同學(xué)成績的方差大于乙同學(xué)成績的方差.上面說法正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【答案】B【分析】計算中位數(shù)，平均數(shù)，極差，估計方差，進(jìn)而即得.【詳解】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)知，甲同學(xué)成績的中位數(shù)是，極差為34，乙同學(xué)成績的中位數(shù)是，極差為16，所以甲同學(xué)成績的中位數(shù)和極差都比乙同學(xué)大，故①正確；甲同學(xué)的平均分是，乙同學(xué)的平均分是，所以乙同學(xué)的平均分高，故②錯誤；由莖葉圖可知乙同學(xué)成績數(shù)據(jù)比較集中，方差小，甲同學(xué)成績數(shù)據(jù)比較分散，方差大，故③錯誤，④正確.所以說法正確的是①④．故選：B．8．已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡不等式，結(jié)合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.【詳解】的定義域是，AB選項錯誤.①，由解得或，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式①的解集為.故選：D9．函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由零點存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，由零點存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點，即由函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，可得，而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的必要不充分條件.故選：B.10．已知.若對于，均有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對稱軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對于，均有成立即對于，均有恒成立在中，對稱軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時，∴符合題意當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時∴符合題意綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：C.【點睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強的綜合性.二、填空題11．函數(shù)的定義域是_____.【答案】【分析】直接令真數(shù)大于0可得定義域.【詳解】函數(shù)，由，得，所以定義域為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了對數(shù)型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12．已知是關(guān)于的方程的兩個實根，且，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】因為是關(guān)于的方程的兩個實根，則，又，所以，解得或，經(jīng)判別式檢驗知.故答案為：2.13．請閱讀以下材料，并回答后面的問題：材料1：人體成分主要由骨骼?肌肉?脂肪等組織及內(nèi)臟組成，肌肉是最大的組織，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在體重中占比個體差異較大，脂肪占體重的百分比（稱為體脂率，記為）經(jīng)常作為反映肥胖程度的一個重要指標(biāo)，但是不易于測量.材料2：體重指數(shù)BMI（BodyMassIndex的縮寫）計算公式為：體重指數(shù)BMI為體重，單位：千克；為身高，單位：米），是衡量人體整體胖瘦程度的一個簡單易得的重要指標(biāo).1997年，世界衛(wèi)生組織經(jīng)過大范圍的調(diào)查研究后公布：BMI值在為正常；為超重；為肥胖.由于亞洲人與歐美人的體質(zhì)有較大差異，國際肥胖特別工作組經(jīng)調(diào)查研究后，于2000年提出了亞洲成年人BMI值在為正常.中國肥胖問題工作組基于中國人體質(zhì)特征，于2003年提出中國成年人BMI值在為正常；為超重；為肥胖.30歲的小智在今年的體檢報告中，發(fā)現(xiàn)體質(zhì)指數(shù)BMI值為，依照標(biāo)準(zhǔn)屬于超重.因為小智平時還是很注意體育鍛煉的，正常作息，且每周去健身房有大約2小時的健身運動，周末還經(jīng)常會和朋友去打籃球，所以小智對自己超重感覺很困惑.請你結(jié)合上述材料，從數(shù)學(xué)模型的視角，幫小智做一下分析（包括：是否需要擔(dān)心？為什么？）：__________.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)材料結(jié)合條件分析即得.【詳解】因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大），所以他的BMI值就會偏高，如果小智體型基本正常（或者說身高遠(yuǎn)高于中國人平均值），就不必?fù)?dān)心.故答案為：如果小智體型基本正常（或者說身高遠(yuǎn)高于中國人平均值），他的BMI值就會偏高，就不必?fù)?dān)心，因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大）.三、雙空題14．__________，__________.【答案】

【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則即得.【詳解】，.故答案為：5；3.15．已知，當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為__________；若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】

【分析】空一：分開求解單調(diào)性；空二：分和兩種情況討論.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為因為函數(shù)并且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有最小值；，要想函數(shù)有最小值則滿足即故答案為：，四、解答題16．已知集合(1)求集合中的所有整數(shù)；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解絕對值不等式求得集合，從而確定正確答案.（2）對集合是否為空集進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得的取值范圍.【詳解】（1），所以，所以集合中的所有整數(shù)為.（2）由（1）得：，所以或①時，即，所以，符合；②時，即，所以，由于，所以，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是.17．高考英語考試分為兩部分，一部分為聽說考試，滿分50分，一部分為英語筆試，滿分100分.英語聽說考試共進(jìn)行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績作為聽說考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試.為備考英語聽說考試，李明每周都進(jìn)行英語聽說模擬考試訓(xùn)練，下表是他在第一次聽說考試前的20次英語聽說模擬考試成績.假設(shè)：①模擬考試和高考難度相當(dāng)；②高考的兩次聽說考試難度相當(dāng)；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續(xù)保持聽說訓(xùn)練，到第二次考試時，聽說考試取得滿分的概率可以達(dá)到.4650474849505047484748495049505048504950(1)設(shè)事件為“李明第一次英語聽說考試取得滿分”，用頻率估計事件的概率；(2)基于題干中假設(shè)，估計李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計算，即可求解；（2）計算出李明第二次英語聽說考試取得滿分的概率，然后根據(jù)題意，由獨立事件的乘法公式計算李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值.【詳解】（1）依題意，李明在20次英語聽說模擬考試中有8次取得滿分，取得滿分的頻率為，所以用頻率估計事件的概率為.（2）設(shè)事件為“李明第二次英語聽說考試取得滿分”，事件為“李明高考英語聽說考試取得滿分”.依題意，，所以，所以如果李明在第一次未取得滿分時，堅持訓(xùn)練參加第二次考試，那么他英語高考聽說考試最終成績?yōu)闈M分的概率的最大值可以達(dá)到.18．已知且，函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，且滿足下列三個條件中的兩個.①函數(shù)為奇函數(shù)；②；③.(1)從中選擇的兩個條件的序號為_____，依所選擇的條件求得____，____；(2)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)在（1）的情況下，若方程在上有且只有一個實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)①②；；(2)證明見解析(3)【分析】（1）通過分析可知一定滿足①②，從而列出方程組，求出，；（2）定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值，作差，變形，判號；（3）參變分離得到，，換元后轉(zhuǎn)化為在上有唯一解，結(jié)合（2）中函數(shù)單調(diào)性，求出的值域，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，故②；③不會同時成立，兩者選一個，故函數(shù)一定滿足①函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)定義域為R，所以有，則，，故一定滿足②，選擇①②；，，解得：，；（2）任取，且，則，由于，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（3）由（1）可得，所以方程為，即，令，由于，所以，則問題轉(zhuǎn)化為在上有唯一解.由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，實數(shù)的取值范圍是.19．設(shè)函數(shù)的定義域為，且區(qū)間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì).(1)記：①充分而不必要條件；②必要而不充分條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件則在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；(2)若在滿足性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個，直接寫出實數(shù)的最小值.【答案】(1)②；①；③(2)(3)1【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、充分、必要條件的知識確定正確答案.（2）根據(jù)性質(zhì)，利用分離常數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對的范圍進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值.【詳解】（1）由于，所以.對于性質(zhì)，當(dāng)時，無法判斷的符號，故無法判斷單調(diào)性；當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的必要而不充分條件.對于性質(zhì)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，的符合無法判斷，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充分而不必要條件.對于性質(zhì)，若，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充要條件.（2）對于任意的，且，有，由于