山西省運(yùn)城市南社中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省運(yùn)城市南社中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為

（）A． B． C． D．參考答案：A2.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax－y＋b＝0和曲線bx2＋ay2＝ab的圖形是(

)

A

B

C

D參考答案：B4.函數(shù)的定義域是 （

）

A． B．

C．

D．

參考答案：B略5.直線（t為參數(shù)）的傾斜角為（）A．20° B．70° C．110° D．160°參考答案：C【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】設(shè)直線的傾斜角為α，由直線（t為參數(shù)），可得tanα=﹣tan70°，利用誘導(dǎo)公式即可得出．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為α，由直線（t為參數(shù)），可得tanα=﹣tan70°=tan110°，可得傾斜角α=110°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用、直線的傾斜角與向斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.參考答案：C7.點(diǎn)P極坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題意設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)極坐標(biāo)可得解得即可得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)極坐標(biāo)為，所以解得，所以故選B.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡單題。8.已知,則（）A． B． C．

D．

參考答案：B略9.下列命題為真命題的是()A．若，則B．若，則C．若，則

D．若，則

參考答案：D10.是成立的

A.不充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.充要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直三棱柱的6個頂點(diǎn)都在球的球面上．若，，，，則球的體積為________．參考答案：【分析】先由題意得到四邊形為正方形，平面的中心即為球的球心，取中點(diǎn)，連結(jié)，求出半徑，進(jìn)而可求出球的體積.【詳解】因?yàn)?，，，所以，在直三棱柱中，，所以四邊形為正方形，因此平面的中心即為球的球心，取中點(diǎn)，連結(jié)，易知平面，且，所以球的半徑等于，因此球的體積為.故答案為

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的相關(guān)計算，熟記棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及球的體積公式即可，屬于?？碱}型.12.將函數(shù)的圖象C1沿ｘ軸向右平移2個單位得到C2，C2關(guān)于ｙ軸對稱的圖象為C3，若C3對應(yīng)的函數(shù)為，則函數(shù)=

.參考答案：(或等價形式)

13.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式_________參考答案：14.已知，若∥，則的值為（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2參考答案：B略15.若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______參考答案：[1,)略16..已知函數(shù),,且時,恒成立,則a的取值范圍為___________.參考答案：(1,2]17.則常數(shù)T的值為

．參考答案：3

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上，O為AC與BD的交點(diǎn)。（1）求證：平面；

（2）當(dāng)E為PB中點(diǎn)時，求證：//平面PDA;（3）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時，求與平面所成的角的大小。參考答案：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又平面AEC

∴平面.（2）∵四邊形ABCD是正方形，，在中，又

//，又//平面PDA，（3）∵，，又所以，可以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)AB=1.則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），從而，，，設(shè)平面PBC的一個法向量為。由得令z=1，得。設(shè)AE與平面PBC所成的角，則與平面PBC所成的角的正弦值為。19.在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，三個內(nèi)角滿足.（1）若頂點(diǎn)的軌跡為，求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交圓于不同的兩點(diǎn)（其中在的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.參考答案：解：（1）設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵

∴

即.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長半軸長為2，半焦距為，短半軸長為，中心在原點(diǎn)的橢圓（除去左、右頂點(diǎn)）.∴B點(diǎn)的軌跡方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)，，，即，因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，，由，，，，.而，，易知，，，時取到，.20.設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2時取得極值．（1）求a，b的值；（2）求曲線f（x）在x=0處的切線方程．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2時取得極值，可得，由此能求出a，b的值．（2）確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線f（x）在x=0處的切線方程．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c，∴f′（x）=6x2+6ax+3b，∵函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．即，解得a=﹣3，b=4；（2）由（1）得f（x）=2x3﹣9x2+12x+8，f′（x）=6x2﹣18x+12，∴f（0）=0，f′（0）=12．∴切線的斜率k=12．切點(diǎn)為（0，8）由直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為：y﹣8=12x，即12x﹣y+8=0．21.某廠擬在2014年通過廣告促銷活動推銷產(chǎn)品.經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品的年銷售量（假定年產(chǎn)量=年銷售量）萬件與年廣告費(fèi)用萬元滿足關(guān)系式：（為常數(shù)）.若不做廣告，則產(chǎn)品的年銷售量恰好為1萬件.已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品時，該廠需要先固定投入8萬元，并且預(yù)計生產(chǎn)每1萬件該產(chǎn)品時，需再投入4萬元，每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品所需的年平均成本的1.5倍（每件產(chǎn)品的成本包括固定投入和生產(chǎn)再投入兩部分，不包括廣告促銷費(fèi)用）.（Ⅰ）將2014年該廠的年銷售利潤（萬元）表示為年廣告促銷費(fèi)用（萬元）的函數(shù)；（Ⅱ）2014年廣告促銷費(fèi)用投入多少萬元時，該廠將獲利最大？參考答案：（Ⅰ）由題意得當(dāng)時即∴

…………………2分∴∴…6分∴所求的函數(shù)解析式為

…………………7分（Ⅱ）由（1）得

………………8分∵

∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.

…………12分∴當(dāng)2014年廣告促銷費(fèi)用投入1萬元時，該將獲利最大.

……13分

略22.（本小題滿分10分）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，，，，．（I）求證：B