山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)子縣慈林鎮(zhèn)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)子縣慈林鎮(zhèn)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，若a＞b且ab＞0，則下列不等式成立的是(

)A．a(chǎn)2＞b2 B．＞ C．a(chǎn)b2＞a2b D．＜參考答案：D【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】A．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；B．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；C．取a=2，b=1，即可判斷出；D．由于a，b為非零實(shí)數(shù)，a＞b，可得，化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b為非零實(shí)數(shù)，a＞b，∴，化為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（

）A.15

B.

16

C.

49

D.64參考答案：A略3.已知直線，圓，圓，則（

）A.l必與圓M相切，l不可能與圓N相交B.l必與圓M相交，l不可能與圓N相切C.l必與圓M相切，l不可能與圓N相切D.l必與圓M相交，l不可能與圓N相離參考答案：D直線的過(guò)定點(diǎn)，代入圓，得，即點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故必與圓相交，而點(diǎn)到圓的圓心的距離等于圓的半徑3，故點(diǎn)在圓上，即不可能與圓相離.故選D4.點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率為（）A． B． C． D．π參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型；兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，我們要根據(jù)已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可求出答案．【解答】解：滿足條件的正方形ABCD，如下圖示：其中滿足動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的平面區(qū)域如圖中陰影所示：則正方形的面積S正方形=1陰影部分的面積故動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率P==故選：C5.函數(shù)y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A.2 B.6 C. D.10參考答案：C【分析】函數(shù)y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣3，﹣1），進(jìn)而可得3m+n＝1，結(jié)合基本不等式可得的最小值．【詳解】函數(shù)y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，當(dāng)x+4＝1時(shí)，即x＝﹣3，y＝﹣1，則A（﹣3，﹣1），∴﹣3m﹣n+1＝0，∴3m+n＝1，∴（3m+n）（）＝55+25+2，當(dāng)且僅當(dāng)nm時(shí)取等號(hào)，故最小值為5+2，故答案為:C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，難度中檔．6.定義運(yùn)算=ad﹣bc，則（i是虛數(shù)單位）為（） A．3 B． ﹣3 C． i2﹣1 D． i2+2參考答案：B略7.計(jì)算（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)定積分的運(yùn)算，，根據(jù)定積分的運(yùn)算及定積分的幾何意義，即可求得答案．【詳解】，

由的幾何意義表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓面積的，

∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查定積分的運(yùn)算，考查定積分的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．8.為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視．在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力()A．期望與方差

B．排列與組合C．獨(dú)立性檢驗(yàn)

D．概率參考答案：C略9.兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說(shuō)法（1）若r>0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；（2）若r<0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；參考答案：C10.用秦九韶算法求n次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為．參考答案：﹣108【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】求出首項(xiàng)a4=﹣24，公差d=3，從而得到Sn=（n﹣）2﹣，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a4=﹣15，公差d=3，∴a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，∴Sn=﹣24n+=（n﹣）2﹣，∴n=8或n=9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值S8=S9=﹣108．故答案為：﹣108．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．12.橢圓的短軸長(zhǎng)是2，一個(gè)焦點(diǎn)是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________參考答案：13.已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，且當(dāng)時(shí)，，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是______．參考答案：【分析】先證明函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解不等式||＜1得解.【詳解】由題得，當(dāng)x≥0時(shí)，，因?yàn)閤≥0，所以，所以函數(shù)在[0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以||＜1，所以-1＜＜1，所以.故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知的外接圓的圓心為，則

．參考答案：略15.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，，則不等式的解集是

參考答案：略16.用秦九韶算法求多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的值的過(guò)程中：，．參考答案：52

17.函數(shù)f(x)=－x+在[－2，]上的最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在上遞減，計(jì)算即可得到所求最大值．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣1﹣，在上f′（x）＜0，可得f（x）在上遞減，可得f（x）的最大值為f（﹣2）=2﹣=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(1)若在x=1處的切線方程為

y=x,求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，研究的單調(diào)性；(3)當(dāng)=1時(shí)，在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。參考答案：19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：BE⊥DC；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面所成的角．【分析】（1）取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM，推導(dǎo)出四邊形ABEM為平行四邊形，CD⊥平面PAD，由此能證明BE⊥DC．（2）連接BM，推導(dǎo)出PD⊥EM，PD⊥AM，從而直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值．（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】證明：（1）如圖，取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM．∵E，M分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）連接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM為銳角，∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．依題意，有PD=2，而M為PD中點(diǎn)，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直線BE與平面PBD所成角的正弦值為．（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），設(shè)平面BDP的法向量=（x，y，z），則，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），設(shè)二面角A﹣BD﹣P的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．（Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．參考答案：【考點(diǎn)】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000π元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域；（Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200?πrh元，底面積成本為160πr2元，∴蓄水池的總建造成本為200?πrh+160πr2元即200?πrh+160πr2=12000π∴h=∴V（r）=πr2h=πr2?=又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函數(shù)V（r）的定義域?yàn)椋?，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=，（0＜r＜5）可得V′（r）=，（0＜r＜5）∵令V′（r）==0，則r=5∴當(dāng)r∈（0，5）時(shí)，V′（r）＞0，函數(shù)V（r）為增函數(shù)當(dāng)r∈（5，5）時(shí)，V′（r）＜0，函數(shù)V（r）為減函數(shù)且當(dāng)r=5，h=8時(shí)該蓄水池的體積最大21.（本大題12分）已知函數(shù)在處有極值10.（1）求f(x)的解析式.（2）求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最值.參考答案：（1）由題意：，又

………………（2分）由此得：

………………（4分）經(jīng)驗(yàn)證：

∴

………………（6分）（2）由（1）知，

………………（8分）又

………………（10分）所以最大值為為

………………（12分）

22.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)E(1,0),⊙E與直線4x+3y+1=0相切,動(dòng)圓M與⊙E及y軸都相切,切點(diǎn)不為原點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)E任作直線l,交曲線C于A,B兩點(diǎn),由點(diǎn)A,B分別向⊙E各引一條切線,切點(diǎn)

分別為P,Q,記α=∠PAE,β=∠QBE.求證sinα+sinβ是定值.參考答案：∴⊙E的方程為(x-1)2+y2=1,由題意動(dòng)圓M與⊙E及y軸都相切,分以下情況：作MH⊥y軸于H,則|MF|-1=|MH|,即|ME|=|MH|+1,過(guò)M作直線x=-1的垂線MN,N為垂足,則|MF|=|MN|,∴點(diǎn)M的軌跡是以E為焦點(diǎn),x=