山西省長治市長子縣色頭中學2023年高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

山西省長治市長子縣色頭中學2023年高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知向量，，且與互相垂直，則等于（

）A.1

B.

C.

D.

參考答案：D3.橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0）關于直線y=x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設出Q的坐標，利用對稱知識，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關系，然后求解離心率即可．【解答】解：設Q（m，n），由題意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故選：B．【點評】本題考查橢圓的方程簡單性質的應用，考查對稱知識以及計算能力．4.設，，在中，正數(shù)的個數(shù)是()A.25 B.50 C.75 D.100參考答案：D試題分析：∵∴全是正數(shù).考點：三角函數(shù)的周期.5.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由函數(shù)，可得和，利用排除法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可排除C、D，又由，排除B，故選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式，合理利用排除法求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.6.已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點，則a的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4參考答案：C【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】可求導數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過判斷導數(shù)符號從而得出f（x）的極小值點，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點；又a為f（x）的極小值點；∴a=2．故選：C．【點評】考查函數(shù)極小值點的定義，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)極值點的方法及過程，要熟悉二次函數(shù)的圖象．7.橢圓5x2﹣ky2=5的一個焦點是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．8.設集合，，則A∪B等于（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：D9.下列求導正確的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx參考答案：B【考點】63：導數(shù)的運算；66：簡單復合函數(shù)的導數(shù)．【分析】根據(jù)求導公式，對四個選項中的函數(shù)進行判斷以確定其正確與否，A中用和的求導公式驗證；B用對數(shù)的求導公式驗證；C用指數(shù)的求導公式驗證；D用乘積的求導公式進行驗證．【解答】解：A選項不正確，因為（x+）′=1﹣；B選項正確，由對數(shù)的求導公式知（log2x）′=；C選項不正確，因為（3x）′=3xln3，故不正確．D選項不正確，因為（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故選B10.若復數(shù)z=為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3參考答案：A【分析】由復數(shù)為純虛數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，即實數(shù)的值為2，故選A.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的分類及其應用，其中解答中熟記復數(shù)的概念和復數(shù)的分類是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O為AC中點，拋物線的一部分在矩形內，點O為拋物線頂點，點B，D在拋物線上，在矩形內隨機投一點，則此點落在陰影部分的概率為________．參考答案：

略12.圓C的參數(shù)方程為（θ∈），則圓C的圓心坐標為

．參考答案：（0，2）【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出圓的普通方程，然后求解圓的圓心坐標即可，【解答】解：圓C的參數(shù)方程為（θ∈），它的普通方程為：x2+（y﹣2）2=4，圓的圓心坐標為：（0，2）．故答案為：（0，2）．13.若變量滿足約束條件,則的最大值和最小值分別為（）A．4和3 B．3和2 C．4和2 D．2和0參考答案：C略14.三個數(shù)，按從小到大的順序排列為_______。參考答案：略15.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則其離心率為

．參考答案：2或【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題．【分析】先由雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，得雙曲線的兩條漸近線的斜率±或，由于不知雙曲線的焦點位置，故通過討論分別計算離心率，由或，再由雙曲線中c2=a2+b2，求其離心率即可【解答】解：∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關于x、y軸對稱，若夾角在x軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為30°，150°，斜率為若夾角在y軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為60°，120°，斜率為①若雙曲線的焦點在x軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若雙曲線的焦點在y軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2綜上所述，離心率為2或

故答案為2或【點評】本題考查了雙曲線的幾何性質，由漸近線的斜率推導雙曲線的離心率是解決本題的關鍵16.已知滿足，則的最小值為_

__.參考答案：217.雙曲線的焦距為_________.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{an}的通項公式；再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，當n≥2時，得另一遞推式，作差得到，整理得數(shù)列{}為常數(shù)列，由此可得{bn}的通項公式；（Ⅱ）求出，然后利用錯位相減法求數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由題意知，當n=1時，b1=b2﹣1，故b2=2，當n≥2時，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原遞推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，兩式作差得：，（n∈N*）．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎知識，同時考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題．19.（本小題滿分8分）已知橢圓C：，左焦點，且離心率(Ⅰ）求橢圓C的方程；(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點（不是左、右頂點），且以為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A．求直線的方程．參考答案：見解析【知識點】橢圓【試題解析】解：（Ⅰ）由題意可知：

解得，

所以橢圓的方程為：;

（II）證明：由方程組，得，

，

整理得，

設，

則．

由已知，且橢圓的右頂點為，

，

，

即，

也即，

整理得：．

解得或均滿足．

當時，直線的方程為，過定點（2，0）與題意矛盾舍去；

當時，直線的方程為，符合題意．20.已知函數(shù)圖像上的點處的切線方程為．（1）若函數(shù)在時有極值，求的表達式；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因為函數(shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函數(shù)f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調遞增，所以導函數(shù)f′(x)＝－3x2－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分則，得b≥4，10分所以實數(shù)b的取值范圍為[4＋∞)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因為函數(shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函數(shù)f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調遞增，所以導函數(shù)f′(x)＝－3x2－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分則，得b≥4，10分所以實數(shù)b的取值范圍為[4＋∞)

略21.平面內有9個點，其中有4個點共線，其它無任何三點共線；（1）過任意兩點作直線，有多少條？（2）能確定多少條射線？（3）能確定多少個不同的圓？參考答案：【考點】D3：計數(shù)原理的應用．【分析】（1）對過其中兩點作一直線中的兩個點如何取進行分類討論，一類兩點全是共線中的4點，一類在共線中的4點任取一點，從4個共線之外的5個點，另一類共線中的4點不取，從4個共線之外的5個點選2個即可．（2）任取兩點都有兩點都有2條射線，問題得以解決，（3）分三類，從4個共線之外的5個點人選3個，從共線中的4點選1個，從共線中的4點選2個【解答】解：（1）：共線中的4點任取兩點構成同一直線，1條；在共線中的4點任取1點，從4個共線之外的5個點選1個點，可構成4×5=20條；在共線中的4點不取，從4個共線之外的5個點人選2個點，可構成C52=10條；故一共1+20+10=31條．（2）任取兩點都有兩點都有2條射線，共有A92=72條，（3）從4個共線之外的5個點人選3個，故有C53=10個圓，從共線中的4點選1個，從4個共線之外的5個點人選2個，故有C41C52=40個，從共線中的4點選2個，從4個共線之外的5個點人選1個，故有C42C51=30個，故一共10+40+30=80個，22.在△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，且滿足cos2A﹣3cos（B+C）=1．（