山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)子縣色頭中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省長(zhǎng)治市長(zhǎng)子縣色頭中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在所在的平面上有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積之比是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知向量，，且與互相垂直，則等于（

）A.1

B.

C.

D.

參考答案：D3.橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：設(shè)Q（m，n），由題意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱(chēng)知識(shí)以及計(jì)算能力．4.設(shè)，，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.25 B.50 C.75 D.100參考答案：D試題分析：∵∴全是正數(shù).考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期.5.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由函數(shù)，可得和，利用排除法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可排除C、D，又由，排除B，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式，合理利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點(diǎn)；又a為f（x）的極小值點(diǎn)；∴a=2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過(guò)程，要熟悉二次函數(shù)的圖象．7.橢圓5x2﹣ky2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進(jìn)行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．8.設(shè)集合，，則A∪B等于（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：D9.下列求導(dǎo)正確的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx參考答案：B【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；66：簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行判斷以確定其正確與否，A中用和的求導(dǎo)公式驗(yàn)證；B用對(duì)數(shù)的求導(dǎo)公式驗(yàn)證；C用指數(shù)的求導(dǎo)公式驗(yàn)證；D用乘積的求導(dǎo)公式進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：A選項(xiàng)不正確，因?yàn)椋▁+）′=1﹣；B選項(xiàng)正確，由對(duì)數(shù)的求導(dǎo)公式知（log2x）′=；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)椋?x）′=3xln3，故不正確．D選項(xiàng)不正確，因?yàn)椋▁2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故選B10.若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3參考答案：A【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的值為2，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的分類(lèi)及其應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的分類(lèi)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O為AC中點(diǎn)，拋物線的一部分在矩形內(nèi)，點(diǎn)O為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)B，D在拋物線上，在矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率為_(kāi)_______．參考答案：

略12.圓C的參數(shù)方程為（θ∈），則圓C的圓心坐標(biāo)為

．參考答案：（0，2）【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出圓的普通方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)即可，【解答】解：圓C的參數(shù)方程為（θ∈），它的普通方程為：x2+（y﹣2）2=4，圓的圓心坐標(biāo)為：（0，2）．故答案為：（0，2）．13.若變量滿(mǎn)足約束條件,則的最大值和最小值分別為（）A．4和3 B．3和2 C．4和2 D．2和0參考答案：C略14.三個(gè)數(shù)，按從小到大的順序排列為_(kāi)______。參考答案：略15.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則其離心率為

．參考答案：2或【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先由雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，得雙曲線的兩條漸近線的斜率±或，由于不知雙曲線的焦點(diǎn)位置，故通過(guò)討論分別計(jì)算離心率，由或，再由雙曲線中c2=a2+b2，求其離心率即可【解答】解：∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關(guān)于x、y軸對(duì)稱(chēng)，若夾角在x軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為30°，150°，斜率為若夾角在y軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為60°，120°，斜率為①若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2綜上所述，離心率為2或

故答案為2或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，由漸近線的斜率推導(dǎo)雙曲線的離心率是解決本題的關(guān)鍵16.已知滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)

__.參考答案：217.雙曲線的焦距為_(kāi)________.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，當(dāng)n≥2時(shí)，得另一遞推式，作差得到，整理得數(shù)列{}為常數(shù)列，由此可得{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求出，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由題意知，當(dāng)n=1時(shí)，b1=b2﹣1，故b2=2，當(dāng)n≥2時(shí)，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原遞推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，兩式作差得：，（n∈N*）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題．19.（本小題滿(mǎn)分8分）已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率(Ⅰ）求橢圓C的方程；(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A．求直線的方程．參考答案：見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】橢圓【試題解析】解：（Ⅰ）由題意可知：

解得，

所以橢圓的方程為：;

（II）證明：由方程組，得，

，

整理得，

設(shè)，

則．

由已知，且橢圓的右頂點(diǎn)為，

，

，

即，

也即，

整理得：．

解得或均滿(mǎn)足．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)（2，0）與題意矛盾舍去；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，符合題意．20.已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為．（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求的表達(dá)式；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－3x2－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分則，得b≥4，10分所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4＋∞)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－3x2－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分則，得b≥4，10分所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4＋∞)

略21.平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，其它無(wú)任何三點(diǎn)共線；（1）過(guò)任意兩點(diǎn)作直線，有多少條？（2）能確定多少條射線？（3）能確定多少個(gè)不同的圓？參考答案：【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】（1）對(duì)過(guò)其中兩點(diǎn)作一直線中的兩個(gè)點(diǎn)如何取進(jìn)行分類(lèi)討論，一類(lèi)兩點(diǎn)全是共線中的4點(diǎn)，一類(lèi)在共線中的4點(diǎn)任取一點(diǎn)，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)，另一類(lèi)共線中的4點(diǎn)不取，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)選2個(gè)即可．（2）任取兩點(diǎn)都有兩點(diǎn)都有2條射線，問(wèn)題得以解決，（3）分三類(lèi)，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)人選3個(gè)，從共線中的4點(diǎn)選1個(gè)，從共線中的4點(diǎn)選2個(gè)【解答】解：（1）：共線中的4點(diǎn)任取兩點(diǎn)構(gòu)成同一直線，1條；在共線中的4點(diǎn)任取1點(diǎn)，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)選1個(gè)點(diǎn)，可構(gòu)成4×5=20條；在共線中的4點(diǎn)不取，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)人選2個(gè)點(diǎn)，可構(gòu)成C52=10條；故一共1+20+10=31條．（2）任取兩點(diǎn)都有兩點(diǎn)都有2條射線，共有A92=72條，（3）從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)人選3個(gè)，故有C53=10個(gè)圓，從共線中的4點(diǎn)選1個(gè)，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)人選2個(gè)，故有C41C52=40個(gè)，從共線中的4點(diǎn)選2個(gè)，從4個(gè)共線之外的5個(gè)點(diǎn)人選1個(gè)，故有C42C51=30個(gè)，故一共10+40+30=80個(gè)，22.在△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，且滿(mǎn)足cos2A﹣3cos（B+C）=1．（