ref.科學(xué)計(jì)算數(shù)值積分微分

數(shù)值積分與數(shù)值微分電子科技大學(xué)第五章數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分概述Newton-Cotes求積公式Gauss求積公式5.1數(shù)值積分概述求積公式和它的代數(shù)精度插值型求積公式對(duì)于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見到以下現(xiàn)象:如果知道f(x)的原函數(shù)F(x)，則由Newton-Leibniz公式有（1）f(x)的解析式根本不存在，只給出了f(x)的一些數(shù)值；（2）f(x)的原函數(shù)F(x)求不出來，如F(x)不是初等函數(shù)；（3）f(x)的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)較困難。以上這些現(xiàn)象，Newton-Leibniz公式很難發(fā)揮作用，只能建立積分的近似計(jì)算方法。5.1.1求積公式和它的代數(shù)精度上式稱數(shù)值求積公式。由定積分的定義知，定積分是和的極限，若用和式近似，則可表示為基本思想：利用積分區(qū)間上一些離散點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合計(jì)算定積分的近似值。無需尋求原函數(shù)。為了使一個(gè)求積公式能對(duì)更多的積分具有較好的實(shí)際計(jì)算意義，就要求它對(duì)盡可能多的被積函數(shù)都準(zhǔn)確地成立。因此定義代數(shù)精度的概念:定義1.若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度。代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度。例設(shè)有求積公式試確定系數(shù)解：令公式依次對(duì)都精確成立，即故該求積公式應(yīng)為對(duì)有即對(duì)也精確成立，但對(duì)不能精確成立，因此該求積公式具3次代數(shù)精度。解得若已知函數(shù)f(x)在[a,b]上一組節(jié)點(diǎn)值a≤x0<x1<…<xn≤b以及函數(shù)值f(x0)，f(x1),…,f(xn)，構(gòu)造f(x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式：5.1.2插值型求積公式則若記則－－插值型求積公式Ai為求積系數(shù)。余項(xiàng)：（1）當(dāng)f(x)取次數(shù)≤n的多項(xiàng)式時(shí)，R≡0，即含n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。注：（2）特別地，當(dāng)f(x)≡1時(shí)，有5.2Newton-Cotes求積公式Newton-cotes公式的導(dǎo)出幾種低階求積公式及其余項(xiàng)偶階求積公式的代數(shù)精度復(fù)合求積公式5.2.1Newton-Cotes公式的導(dǎo)出設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a,b],將積分區(qū)間[a,b]n等分，步長h=(b-a)/n，節(jié)點(diǎn)xk=a+kh為等距節(jié)點(diǎn)。Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式。由插值型求積公式知可得引進(jìn)變換x=a+th，則有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，所以插值型求積公式化為稱Newton-cotes公式，式中ck(n)

稱柯特斯系數(shù)。記在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也最重要的三個(gè)公式，稱為低階公式。1.梯形(trapezia)公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為5.2.2

幾種低階求積公式及其余項(xiàng)上式稱為梯形求積公式,也稱兩點(diǎn)公式，記為梯形公式的余項(xiàng)為即幾何意義如右圖：第二積分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度。故2.Simpson公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式。記為Simpson公式的余項(xiàng)：Simpson公式具有3次代數(shù)精度。即3.Cotes公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Cotes求積公式，也稱五點(diǎn)公式。記為Cotes公式的余項(xiàng)：Cotes公式具有5次代數(shù)精度。注：n8時(shí)，Cotes系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，會(huì)引起誤差增大，計(jì)算不穩(wěn)定。因此，在實(shí)際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式，而是采用低階復(fù)合求積法(下節(jié))。Cotes系數(shù)表：n

Ck(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…5.2.3偶階求積公式的代數(shù)精度研究Simpson公式，是二階Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代數(shù)精度。將f(x)=x3代入Simpson公式：直接對(duì)f(x)=x3求積，得有I2(f)=I，又易證Simpson公式對(duì)f(x)=x4不能夠準(zhǔn)確成立。故Simpson公式具有3次代數(shù)精度。定理：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代數(shù)精度。證明：只要驗(yàn)證當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì)f(x)=xn+1余項(xiàng)為零即可。由余項(xiàng)公式又故一般地，可以證明下述論斷：此時(shí)，被積函數(shù)是奇函數(shù)，故R[f]=0。證畢。若n為偶數(shù)，則n/2為整數(shù)，再令t=u+n/2，得引進(jìn)變換x=a+th，則xj=a+jh，當(dāng)積分區(qū)間[a,b]的長度較大，而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1固定時(shí)，直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大。而如果增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n+1增加時(shí)，公式的舍入誤差又很難得到控制。為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復(fù)合方法：即將積分區(qū)間[a,b]分成若干個(gè)子區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式，最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加。5.2.3復(fù)合求積公式將[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得1、復(fù)合梯形公式－－復(fù)合梯形公式記復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)：由于即有由得設(shè)被積函數(shù)f(x)∈C2[a,b]，又由將[a,b]n等分，在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用Simpson公式，若記xk+1/2=xk+h/2，則可得復(fù)合Simpson公式形式為2、復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)：則當(dāng)n足夠大時(shí)，復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)為：3、復(fù)合Cotes公式復(fù)合Cotes公式的余項(xiàng)：比較三種復(fù)合公式的余項(xiàng)：例1.解:為簡單起見,依次使用8階復(fù)合梯形公式、4階復(fù)合Simpson公式和2階復(fù)合Cotes公式?？傻酶鞴?jié)點(diǎn)的值如下表：

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098分別由復(fù)合Trapz、Simpson、Cotes公式有原積分的精確值為精度最高精度次高精度最低含2n+2個(gè)待定參數(shù)xk,Ak

(k=0,1,…,n)，當(dāng)x取等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n次，若適當(dāng)選取xk(k=0,1,…,n)，有可能使求積公式具2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱Gauss求積公式。xk

為Gauss點(diǎn)。5.3Gauss求積公式公式只要取f(x)=xm對(duì)m=0,1,……,2n+1精確成立，即解得Ak

及xk即可得Gauss求積公式。例 構(gòu)造下列積分的Gauss求積公式：解：令其對(duì)f(x)=1，x，x2，x3

精確成立，得故求積公式為上式即為兩點(diǎn)Gauss求積公式，至少具3次代數(shù)精度。注：對(duì)積分區(qū)間[a,b]，作變換則求積公式為由上例知，據(jù)定義求xk，Ak

，計(jì)算復(fù)雜。故從分析Gauss點(diǎn)的特性來構(gòu)造Gauss公式。定理：插值型求積公式的節(jié)點(diǎn)a≤x0<x1<…<xn≤b是Gauss點(diǎn)的充要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式P(x)帶權(quán)正交，即證明：《必要性》設(shè)P(x)為n次多項(xiàng)式，則ωn+1(x)P(x)為2n+1次多項(xiàng)式。若x0,x1,…,xn是Gauss點(diǎn)，則求積公式對(duì)f(x)=ωn+1(x)P(x)精確成立，即《充分性》對(duì)任意2n+1次多項(xiàng)式f(x)，用ωn+1(x)去除f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，（其中P(x)，Q(x)都為n次多項(xiàng)式），即由得即由于求積公式對(duì)n次多項(xiàng)式精確成立，則又由ωn+1(xk)=0知，Q(xk)=f(xk)求積公式對(duì)一切次數(shù)≤2n+1的多項(xiàng)式均精確成立，故xk為Gauss點(diǎn)。幾種常用的Gauss型求積公式：對(duì)不同的

ρ

(x)，選不同的正交多項(xiàng)式系，可導(dǎo)出不同的Gauss求積公式。1、Gauss－Legendre求積公式：Legendre多項(xiàng)式：區(qū)間為[-1,1]，ρ

(x)≡1，由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式。表達(dá)式：性質(zhì)：（1）正交性：（2）奇偶性：（3）遞推關(guān)系：(n=1,2,……)（4）Pn(x)在[-1,1]內(nèi)有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)。因Legendre多項(xiàng)式是[-1,1]上的正交多項(xiàng)式，故Pn+1(x)的零點(diǎn)就是求積公式的Gauss點(diǎn)，上式稱Gauss－Legendre求積公式。n=1時(shí)，可得兩點(diǎn)Gauss－Legendre求積公式：n=2時(shí)，三點(diǎn)G