2023年電大作業(yè)工程數(shù)學(xué)考核作業(yè)第二次

第3章線性方程組第４章矩陣的特性值及二次型一、單項(xiàng)選擇題1用消元法得的解為(Ｃ）ＡBCＤ2線性方程組（B)A有無(wú)窮多解B有唯一解C無(wú)解Ｄ只有零解注：經(jīng)初等行變換,有,線性方程組有唯一解.3向量組,,，,得秩為(A）Ａ３Ｂ２C４設(shè)向量組為,,,，則（Ｂ）是極大無(wú)關(guān)組。ABCD注：極大無(wú)關(guān)組為:或.５與分別代表一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣,若這個(gè)方程組有解，則(A）ＡBCD６若某個(gè)線性方程組相應(yīng)的齊次方程組只有零解，則該線性方程組(A)A也許無(wú)解B有唯一解C有無(wú)窮多解D無(wú)解注:若線性方程組相應(yīng)的齊次方程組只有零解只能說(shuō)明:系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個(gè)數(shù)，至于系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等不得而知。例與７以下結(jié)論對(duì)的的是（Ｄ)A方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有解B方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有唯一解C方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組一定有無(wú)窮多解D齊次線性方程組一定有解(至少有零解,所以對(duì)的)８若向量組線性相關(guān)，則向量組內(nèi)(A）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出。Ａ至少有一個(gè)向量B沒(méi)有一個(gè)向量C至多有一個(gè)向量D任何一個(gè)向量定理3.6９設(shè)A,Ｂ為n階矩陣，既是A又是Ｂ的特性值，既是A又是B的屬于的特性向量，則結(jié)論（A）成立。A是的特性值B是的特性值C是的特性值D注：由已知得,,，從而選AB和D不對(duì)的１０設(shè)A，B,P為n階矩陣，若等式（C)成立，則稱(chēng)Ａ和B相似。ABＣD定義4．２二、填空題1當(dāng)１時(shí),齊次線性方程組有非零解．注:2向量組，線性相關(guān).注:第五行：包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.３向量組,，,得秩是3.４設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)行列式,則這個(gè)方程組有非零解，且系數(shù)列向量是線性相關(guān)的.5向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是.６向量組的秩與矩陣的秩相等.注：定理3．９7設(shè)線性方程組中有5個(gè)未知量,且秩(A）=3,則其基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解向量有2個(gè).８設(shè)線性方程組有解,是它的一個(gè)特解，且的基礎(chǔ)解系為,則的通解為:（為任意常數(shù)）.9若是的特性值,則是方程的根.注:（3)10若矩陣滿足為方陣且，則稱(chēng)為正交矩陣.注：定義4．5三、解答題１用消元法解線性方程組解：將增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為階梯陣：于是知，,,，為唯一解.2設(shè)有線性方程組，為什么值時(shí),方程組有唯一解?或有無(wú)窮多解？解:方法一:①當(dāng)時(shí),有,方程組有唯一解，于是有于是當(dāng)且時(shí)，方程有唯一解。②當(dāng)時(shí),有,有,知有無(wú)窮多解．當(dāng)時(shí),有由，方程組無(wú)解．于是,當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解.方法二：于是當(dāng)時(shí),,方程組無(wú)解.當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解.當(dāng)且時(shí)，方程有唯一解。3判斷向量能否由向量組線性表出,若能，寫(xiě)出一種表出方式．其中：,,,解：若能由向量組線性表達(dá),有寫(xiě)作線性方程組即為:,于是有，所以不能由線性表出．4計(jì)算下列向量組的秩,并且判斷該向量組是否線性相關(guān)?，，，解:由矩陣（認(rèn)為列）進(jìn)行初等行變換，有知向量組的秩為３，由于,所以向量組線性相關(guān).５求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.解:將系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有于是有即，令，得化簡(jiǎn)，令,則為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.6求線性方程組的所有解．解：將增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有令，得相應(yīng)的解向量,令,得相應(yīng)的解向量,令,得相應(yīng)的特解，于是線性方程組的所有解為：（其中為任意常數(shù)）．７試證：任一4維向量都可由向量組，,，線性表出,且表出方式唯一，寫(xiě)出這種表出方式.證：由已知可由線性表達(dá)，有寫(xiě)作線性方程組,有由于系數(shù)行列式所以由克拉默法則,線性方程組有唯一解又由于所以.且表出方式唯一。８試證：線性方程組有解時(shí),它有唯一解的充足必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解.證:本題前提條件為:線性方程組有解一方面證明“”即:“有唯一解相應(yīng)齊次線性方程組只有零解”由線性方程組有解鑒定定理，有當(dāng)，即滿秩時(shí),線性方程組有唯一解.這時(shí)當(dāng)然有相應(yīng)齊次方程組,即滿秩，所以,相應(yīng)齊次線性方程組只有零解．另一方面證明“”即：“相應(yīng)齊次線性方程組只有零解有唯一解“一方面，由線性方程組有解,有;又相應(yīng)齊次線性方程組只有零解,有，即滿秩;于是有,有結(jié)論:線性方程組有唯一解.9設(shè)是可逆矩陣的特性值，且，試證:是矩陣的特性值．證；由已知條件有非零向量,使得即上式兩端左乘,得-即整理得由定義可知，是矩陣的特性值，命題得證.10用配方法將二