理論力學-碰撞理論

西北工業(yè)大學支希哲朱西平侯美麗動力學碰撞

§8–5碰撞對平面運動剛體的作用

§8–4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用

·碰撞中心

§8–3恢復系數(shù)

§8–2碰撞時的動力學定理

§8–1碰撞現(xiàn)象及其基本特征第八章碰撞理論力學目錄§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征碰撞現(xiàn)象碰撞問題基本特征幾個基本假設一、碰撞現(xiàn)象塑料碰撞是一種常見的力學現(xiàn)象。當物體在極短的時間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時就發(fā)生碰撞。榔頭重一點好還是輕一點好？榔頭把長一點好還是短一點好？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征擊球手的手握在哪里所受的撞擊力最??？這與碰撞有關系嗎？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例碰撞是一種常見的力學現(xiàn)象。當物體在極短的時間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時就發(fā)生碰撞?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征不成功的降落§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征阻攔裝置飛機起落架有類似裝置?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征碰撞是一種常見的力學現(xiàn)象。當物體在極短的時間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時就發(fā)生碰撞。工程中碰撞實例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例飛行員座椅彈射裝置§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例汽車碰撞實物試驗§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征汽車碰撞虛擬試驗研究的問題：車體間的碰撞、人體與車體的碰撞、人體內(nèi)臟的碰撞§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實例：§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征這些都是碰撞現(xiàn)象嗎？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征例如，兩直徑25mm的黃銅球，以72mm/s的相對法向速度碰撞，

碰撞過程的持續(xù)時間極短，通常用千分子一秒或萬分之一秒來度量。

碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。二、碰撞問題基本特征§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征例如，用鐵錘打擊鋼板表面。塑料力傳感器接示波器碰撞時間只有0.0002秒?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征錘重4.45N;碰撞前錘的速度457.2mm/s;碰撞的時間間隔0.00044s;撞擊力峰值1491N，

碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。例如，用鐵錘打擊鋼板表面。塑料力傳感器接示波器若不小心砸到手上!碰撞的時間間隔0.01s;撞擊力峰值244.8N，靜載作用的335倍。靜載作用的55倍?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征由于碰撞過程是一個十分復雜的物理過程，要研究碰撞過程的動力學問題，必須進行適當?shù)暮喕?，略去次要因素，突出事物的本質，以獲得較簡單的力學模型。

1.由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力等）的幾百倍甚至幾千倍，故平常力在碰撞過程中可以忽略不計。ω0CyvCIFINxAuCαβ注意：摩擦力是碰撞力時,不能忽略。三、幾個基本假設FmaxtFOt1t2

2.由于碰撞力隨時間而變化，瞬時值很難測定?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征不考慮碰撞力在極小碰撞時間間隔Δt內(nèi)的急劇變化，平均碰撞力的近似估計值可表示為因此，通常是用碰撞力在碰撞時間內(nèi)的沖量來表示碰撞的強弱。這個沖量稱為碰撞沖量。

3.碰撞時間非常短促，而速度是有限量，兩者的乘積非常小，因此在碰撞過程中，碰撞物體的位移可以忽略不計?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征

4.

采用準剛體模型（局部變形的剛體）。物體的整個碰撞過程分為兩個階段。即可以認為碰撞前后物體的位置不變。參與碰撞的物體仍考慮為剛體，但在碰撞點的局部范圍內(nèi)可以允許變形，這樣就忽略了彈性波在物體內(nèi)部的傳播。§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征變形階段

由兩物體開始接觸到兩者沿接觸面公法線方向相對湊近的速度降到零為為止?；謴碗A段

物體由于彈性而部分或完全恢復原來的形狀，兩物體重新在公法線方向獲得分離速度，直到脫離接觸為止。碰撞過程的兩個階段變形階段恢復階段nn§8-2碰撞時的動力學定理用于碰撞過程的動量定理--沖量定理用于碰撞過程的動量定理矩--沖量矩定理一、用于碰撞過程的動量定理--沖量定理上式表示了碰撞時質點系的沖量定理。即質點系在碰撞過程中的動量變化，等于該質點系所受的外碰撞沖量的矢量和。質點系的動量可以用質點系的總質量M與質心速度的乘積來計算，所以可以改寫為其中vC

和v'C分別是碰撞開始和結束時質心C的速度。上式稱為碰撞時的質心運動定理。

對于質點系有§8-2碰撞時的動力學定理xzyriMiO根據(jù)研究碰撞問題的基本假設，在碰撞過程中，質點系內(nèi)各質點的位移均可忽略，因此，可用同一矢ri

表示質點Mi在碰撞開始和結束時的位置。或者寫成全部內(nèi)碰撞沖量之矩的總和恒等于零，所以只剩下外碰撞沖量的矩。Iimivimiv'i二、用于碰撞過程的動量定理矩--沖量矩定理§8-2碰撞時的動力學定理質點對固定點的動量矩為碰前：碰后：所以對于整個質點系有上面兩式分別表示了碰撞時質點系對點（或對軸）的沖量矩定理，即在碰撞過程中，質點系對任一點（或任一軸）的動量矩的變化，等于該質點系所受到外碰撞沖量時對同一點（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）。由于碰撞過程中伴隨有機械能損失，因此研究碰撞問題一般不用動能定理。沖量矩定理§8-2碰撞時的動力學定理把上式投影到任一軸上，例如Ox上，則得xzyriMiOIimivimiv'i§8-3恢復系數(shù)碰撞的分類恢復系數(shù)若碰撞開始時，兩物體的質心均在接觸點的公法線上，這種碰撞稱為對心碰撞，如圖a。兩物體的質心不在接觸點的公法線上的碰撞，如圖b。一、碰撞的分類§8-3恢復系數(shù)

對心碰撞

偏心碰撞C1C2nn(a)C1C2nn(b)在對心碰撞的情形下，若兩物體質心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖c。在對心碰撞的情形下，質心速度不在此公法線上的碰撞，如圖d。碰撞的分類

對心正碰撞

對心斜碰撞C1C2nnv2v1(c)C1C2nnv2v1(d)§8-3恢復系數(shù)設質量分別為m1和m2的兩個光滑球作平動，兩球質心的速度分別為v1和v2，且v1＞v2，在某瞬時發(fā)生正碰撞。

先以兩球為研究對象。考察整個碰撞過程，因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有沿水平方向投影，得碰撞結束時，兩球仍作平動，其速度分別為v'1和v'2。C1C2nv1v2碰撞前C1C2nv'1v'2碰撞后§8-3恢復系數(shù)二、恢復系數(shù)沿水平方向投影，得從而求出

考察碰撞的第一階段——變形階段。用u表示變形結束時兩球的公共速度。以兩球為研究對象C1C2nv1v2碰撞前C1C2nu碰撞變形階段結束時§8-3恢復系數(shù)因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有沿水平方向投影，得分別取兩球為研究對象

考察碰撞的第一階段——變形階段。C1v1uI'1C2I1v2u§8-3恢復系數(shù)由沖量定理，有x沿水平方向投影，得

恢復階段與變形階段碰撞沖量I2和I1的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復的程度，稱為恢復系數(shù)，用e表示。

現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段——恢復階段。C2C1I'2I2v'1v'2uu§8-3恢復系數(shù)利用沖量定理，有x消去u，得利用式

恢復階段與變形階段碰撞沖量I2和I1的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復的程度，稱為恢復系數(shù)，用e表示。即§8-3恢復系數(shù)可以證明，對于一般碰撞，恢復系數(shù)兩球正碰撞時的恢復系數(shù)為§8-3恢復系數(shù)大量的實驗表明，恢復系數(shù)主要與碰撞物體的材料性質有關，可由實驗測定。

恢復系數(shù)一般都小于1而大于零（0＜e＜1），這時的碰撞稱為彈性碰撞。物體在彈性碰撞結束時，變形不能完全恢復，動能有損失。

理想情況e=1時，碰撞結束后，物體能完全恢復原來的形狀，這種碰撞稱為完全彈性碰撞。

在另一極端情況e=0

時，說明碰撞沒有恢復階段，即物體的變形不能恢復，碰撞結束于變形階段，這種碰撞稱為非彈性碰撞或塑性碰撞?！?-3恢復系數(shù)§8-3恢復系數(shù)恢復系數(shù)測定一種最簡單的測定恢復系數(shù)的方法如圖所示。h1h2v1v'1nACB

例題8-1兩小球的質量分別為m1和m2

，碰撞開始時兩質心的速度分別為v1和v2

，且沿同一直線，如圖所示。如恢復系數(shù)為e，試求碰撞后兩球的速度和碰撞過程中損失的動能。C1v1C2v2例題8-1§8-3恢復系數(shù)例題8-1圖示兩球能碰撞的條件是。設碰撞結束時，二者的速度分別為和，方向如圖所示。由恢復系數(shù)定義有聯(lián)立（a）和（b）二式，解得解：（a）（b）C1C2（c）v1v2§8-3恢復系數(shù)例題8-1根據(jù)動量守恒，有1.碰撞后兩球的速度可見，當時，，。在碰撞過程中質點系損失的動能為以T1和T2分別表示此兩球組成的質點系在碰撞過程開始和結束時的動能，則有C1C2v1v2（d）§8-3恢復系數(shù)例題8-12.碰撞過程中的動能損失（d）考慮到于是有§8-3恢復系數(shù)例題8-1

在理想情況下，e=1,ΔT=T2－T1=0。可見，在完全彈性碰撞時，系統(tǒng)動能沒有損失，即碰撞開始時的動能等于碰撞結束時的動能。如果第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即v2=0，

則動能損失為在塑性碰撞時，e=0

，動能損失為§8-3恢復系數(shù)例題8-1可見，在塑性碰撞過程中的動能損失與兩物體的質量比有關。注意到上式可改寫為上式可改寫為§8-3恢復系數(shù)例題8-1第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即v2=0，

則動能損失為AvoAv0§8-3恢復系數(shù)

思考題(a)(b)圖(a)、(b)中各球完全相等，摩擦不計。球A以水平速度v0向右運動，設發(fā)生完全彈性正碰撞。其他各球速度如何？。BFEDC工程中碰撞實例打樁鍛壓§8-3恢復系數(shù)

錘打樁的過程可以看成兩物體的對心正碰撞。把樁打入要依靠錘和樁相撞后一起運動的動能，打樁的效率定義為

例8-2

打樁機錘頭的質量是m1,被打入的樁的質量是m2。假定恢復系數(shù)e=0,求打樁的效率。解：設錘頭在和樁開始接觸時具有的速度是v1,則初動能§8-3恢復系數(shù)例題8-2例題8-2本例中v2=0

，所以故打樁的效率等于可見，比值m2/m1

越小，則打樁效率越高。打樁機錘頭的質量是m1被打入的樁的質量是m2榔頭敲釘子§8-3恢復系數(shù)例題8-2碰撞時的動能損失△T1可由下式求得

這也是兩物體的對心正碰撞問題。這里，使鍛件變形的有效功是碰撞時損失的動能△T。錘鍛的效率定義為例8-3

鍛機的錘頭質量是m1,鍛件連同砧塊的質量是m2,恢復系數(shù)是e,求錘鍛的效率。解：設錘頭在和鍛件開始接觸時具有的速度是v1,則初動能§8-3恢復系數(shù)例題8-3例題8-3本例中v2=0

，所以故錘鍛的效率等于可見，錘頭相對于砧塊和錘件來說質量越小，則效率越高?！?-3恢復系數(shù)例題8-3碰撞過程中的動能損失△T可由下式求得

例題8-4如圖所示物塊A自高度h=4.9m處自由落下，與安裝在彈簧上物塊B相碰。已知A的質量m1=1kg，B的質量m2=0.5kg

，彈簧剛度k=10N·mm－1。設碰撞結束后，兩物塊一起運動。求碰撞結束時的速度v'和彈簧的最大壓縮量。AhsmaxsstB§8-3恢復系數(shù)例題8-4例題8-4§8-3恢復系數(shù)例題8-4物塊A自高處落下與B塊接觸的時刻，碰撞開始。此后A的速度減少，B的速度增大。當兩者速度相等時，碰撞結束。解：

1.碰撞前階段AhsmaxsstBm1g§8-3恢復系數(shù)例題8-4然后A，B一起壓縮彈簧作減速運動，直到速度等于零時，彈簧的壓縮量達最大值。此后物塊將向上運動，并將持續(xù)地往復運動。碰撞過程中，忽略重力和彈簧力，沿y方向系統(tǒng)的動量守恒。2.碰撞過程已知解得AhsmaxsstBA§8-3恢復系數(shù)例題8-4上式可整理成對smax

的標準二次方程注意到，解得最大壓縮量另一解為-78.55mm

，彈簧為拉伸狀態(tài)，不合題意。3.碰撞后階段碰撞結束后，設最大壓縮量為smax

，由動能定理得AhsmaxsstBA(m1+m1)

gF§8-3恢復系數(shù)例題8-4例題8-5一勻質正方形貨物邊長是

b

，質量是

m，由傳輸帶沿傾斜角

α=15o

的軌道送下，速度是

v0

(圖

a)。當?shù)竭_底端時棱

D

碰上檔架。假定碰撞是完全塑性的，并且

D

處的總碰撞沖量在垂直于棱并通過貨物質心的平面內(nèi)。求使貨物能繞棱

D

翻轉到水平傳輸帶上所需的最小速度

v01

。(a)v0αω1D§8-3恢復系數(shù)例題8-5例題8-5§8-3恢復系數(shù)例題8-5

碰撞使貨物內(nèi)各點的速度進行突然的重新分布：由碰撞前的平動變成碰撞后的定軸轉動(因為棱D

被突然固定)。貨物只在棱D

處受到外碰撞，因而便于對棱D

的沖量矩方程來求解。解:

在碰撞開始時，貨物對棱

D的動量矩等于mv0b/2(以逆鐘向為正)。在碰撞結束時，貨物繞棱D

的轉動慣量等于故這時貨物對棱D的動量矩等于ω1DIDmv0v0αmv0§8-3恢復系數(shù)例題8-5外碰撞沖量ID

對棱D

無矩，故貨物在碰撞過程中的動量矩守恒，即故求得碰撞結束時貨物繞棱D

的角速度(b)貨物對棱D的動量矩等于ω1DIDmv0§8-3恢復系數(shù)例題8-5

要使貨物翻轉到水平傳輸帶上的條件是：當重心G

上升到最高位置時(圖c

)，貨物還有一點剩余的動能，即T2>0或

2>0

。在ω2→0的臨界情形時,v0

趨近于最小速度v01

,代入(3)得由此求得所需的最小速度根據(jù)積分形式的動能定理T2－T1

＝∑W

，有ω2DG(c)§8-3恢復系數(shù)例題8-5§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心剛體角速度的變化軸承處的反作用碰撞·撞擊中心當定軸轉動剛體受到碰撞作用時，其角速度將發(fā)生急劇變化，因而在軸承處會產(chǎn)生及其巨大的壓力，以致引起嚴重破壞。在工程實際中，有許多必須經(jīng)受碰撞的轉動件，如離合器，沖擊擺等，為了防止碰撞對軸承的危害，應該設法減弱或消除軸承處的碰撞沖量?！?-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心設ω1和ω2分別是這兩個瞬時的角速度，JO是剛體對于O軸的轉動慣量，則上式成為故角速度的變化為設定軸轉動剛體受到外碰撞沖量I的作用，如圖所示。一、剛體角速度的變化將沖量矩定理投影到通過點O且垂直于圖面的的轉軸Oz上，有xyIHCObhω1ω2§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心假設在圖所示位置發(fā)生碰撞，則有所以由上式可得軸承處的反作用碰撞沖量設剛體具有對稱平面，且繞垂直于對稱面的軸Oz轉動。當受到作用在對稱面內(nèi)的外碰撞沖量I的作用時，軸承上一般將出現(xiàn)反作用碰撞沖量IO。取oy軸通過剛體的質心C，應用碰撞時的質心運動定理式，有二、軸承處的反作用碰撞·撞擊中心xyIHCObhIoyIox§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心即滿足上式的點H稱為剛體對于軸O的撞擊中心。

●分析上式知，為使IOy=0,必須Iy=0,即要求作用于剛體的碰撞沖量S必須垂直于轉軸O與質心C的連線。xyIHCObhIoyIox

●為使

IOx=0,則必須m(uCx-vCx)-Ix=0。在圖所示情況下，即為mb(ω2-ω1)-Ix=0

。將代入可得IyIx§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心于是有結論：當外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質心的連線時，軸承O處不會受到反作用碰撞沖量。這一結論在實際中很重要，例如在設計材料沖擊試驗機的擺錘時，若將撞擊試件的刃口設在擺的撞擊中心上，則可避免軸承受到反作用碰撞沖量作用。試件l§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心于是有結論：當外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質心的連線時，軸承O處不會受到反作用碰撞沖量。這一結論在實際中很重要。高爾夫球桿§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心例題8-6

均質桿質量為m，長為2b，其上端由圓柱鉸鏈固定，如圖所示。桿由水平位置無初速落下，撞上一固定物塊。設恢復系數(shù)為e，求(1)軸承的碰撞沖量；(2)撞擊中心的位置。b2blOCA例題8-6例題8-6§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心例題8-6§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心桿在鉛直位置與物塊碰撞，設碰撞開始和結束時，桿的角速度分別為ω1和ω2

。撞擊點碰撞前后的速度為v和v'，由恢復系數(shù)求得在碰撞前，桿自水平位置自由落下，應用動能定理：解：b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心得對O點的沖量矩定理為于是碰撞沖量代入ω1的數(shù)值，得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心根據(jù)沖量定理，有則由上式可見，當時，IOx=0

，此時碰撞于撞擊中心，由上式得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對定軸轉動剛體軸承的作用·碰撞中心§

8-5碰撞對平面運動剛體的作用設剛體具有質量對稱面，且平行于此平面作平面運動。當受到外碰撞沖量I作用時，該剛體的質心速度和角速度都要發(fā)生改變。設碰撞開始和結束瞬時剛體的質心速度和角速度分別vC、ω1為uC、ω2和，取固定坐標面Oxy與剛體的質量對稱面重合，根據(jù)沖量定理和相對于質心軸的沖量矩定理，有§

8-5碰撞對平面運動剛體的作用

例題8-7

勻質薄球殼的質量是m

,半徑是r

,以質心速度vC

斜向撞在水平面上,vC

對鉛直線成偏角α。同時,球殼具有繞水平質心軸(垂直于vC

)的角速度ω0

。假定碰撞接觸點的速度能按反向全部恢復(e=e′=1)，求碰撞后球殼的運動?！?/p>

8-5碰撞對平面運動剛體的作用ω0CyvCIFINxAα例題8-7例題8-7

球殼作平面運動，作用于它的外碰撞沖量有瞬時法向反力的沖量IN

和瞬時摩擦力的沖量IF。解:設碰撞結束時質心速度是uC

,繞質心軸的角速度是ω(規(guī)定以逆鐘向為正)。寫出質心沖量方程和對質心的沖量矩方程,并注意球殼對質心軸的轉動慣量JC

=2mr2/3

。（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對平面運動剛體的作用例題8-7

由恢復系數(shù)的定義可知,在完全彈性碰撞結束后,接觸點的切向和法向相對速度都按相反方向全部恢復;以vA和uA

分別表示碰撞始末接觸點A

的速度,則有但由運動學知（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對平面運動剛體的作用例題8-7從而可得由于聯(lián)立求解上列方程(1)(5),就可得到需求的全部答案。（4）（5）則有AvAvCvACAuAuCuACω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對平面運動剛體的作用例題8-7由式(a)可以求出球殼回跳時的角度β，有這個結果表明β

有可能取任意的數(shù)值,只要vC

，α和ω