理論力學(xué)第3章 力系的平衡條件與平衡方程

06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1第3章

力系的平衡條件與平衡方程06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2平衡若平面力系的主矢及對(duì)任一點(diǎn)的主矩等于零，即：

FR‘＝0

｝＝>平衡

ＭO＝006二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院3平面力系的平衡條件和平衡方程平面力系平衡的必要且充分條件是：力系的主矢以及力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即：FR'＝0，ＭO＝0

而FR'＝((∑Fxi）2+（∑Fyi）2)1/2，ＭO＝∑ＭO（F

i）

于是得：平面力系的平衡方程（基本形式）

∑Fxi

＝0

∑Fyi

＝0

∑ＭO（F

i）＝0

即：力系中各力在任選的兩直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零，以及力系中各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院4平衡方程的其他形式平面力系平衡方程除上面基本形式外，還可以寫成如下兩種形式:兩矩一投影：∑ＭA（F

i）＝0

∑ＭB（Fi

）＝0

∑Fix

＝0

附加條件：X軸不垂直于A、B

二點(diǎn)的連線。三矩式：∑ＭA（Fi

）＝0

∑ＭB（Fi

）＝0

∑ＭC（F

i）＝0

附加條件：A、B、C

三點(diǎn)不共線。

必須指出：平面力系的平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立方程，因此只能求解三個(gè)未知量！06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5平行分布線載荷的簡化

若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線載荷，簡稱線載荷。合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。合力的方向與線載荷的方向相同。合力的作用線通過荷載圖的形心。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院6平行分布線載荷的簡化3、梯形荷載

Q=(q1+q2)l/2(自己求合力的位置)2、三角形荷載Q=ql/21、均布荷載Q=ql06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7剛體系統(tǒng)的平衡剛體系統(tǒng)的平衡:

是指組成系統(tǒng)的每一個(gè)剛體都處于平衡狀態(tài)。這類問題是常見的工程實(shí)際問題。在研究剛體系統(tǒng)平衡問題時(shí)，應(yīng)區(qū)分兩種力：

外力：剛體系統(tǒng)以外的物體作用在系統(tǒng)上的力；

內(nèi)力：組成系統(tǒng)的物體間相互作用的力。關(guān)鍵：建立方程組的概念！06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院8例題一題：單個(gè)物體的平衡已知：梁AD

的支承及受力如圖所示。F

＝500N，F(xiàn)A＝1000N，q＝1000N/m，Ｍ＝2000N·m，a=2m

求：支座B、C

的約束反力06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院9例題一的解答

步驟１：選取研究對(duì)象：梁AD。

步驟２：受力分析如圖所示：

步驟３：取坐標(biāo)系，列平衡方程：

步驟４：求解，得：06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院10例題二題：物系的平衡

已知：構(gòu)架如圖所示,重物重P

＝10kN,AD

＝DB

＝2m，CD

＝DE

＝1.5m，滑輪半徑為R，不計(jì)摩擦及桿、滑輪的重量。

求：桿BC

所受的力和桿AB

作用于銷釘D

的力。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院11例題二的解答解：選取研究對(duì)象：桿CE（帶有銷釘D）以及滑輪、繩索、重物組成的系統(tǒng)（小系統(tǒng)）受力分析如圖，列平衡方程:解得：FC＝12.5kNFDX＝20kNFDY＝2.5kN06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院12例題三

求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。于是得：再以AB為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。AA06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院13例題四06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院14講解：例題3-8課本第63頁討論圖3-8（d）（e）的錯(cuò)誤之處！例題3-9課本第65頁討論圖3-9（d）（e）的錯(cuò)誤之處！給出更一般的求解方法；06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院15課堂練習(xí)1求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。解之得：06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院16課堂練習(xí)2組合結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖所示，求支座反力和各鏈桿的內(nèi)力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院17多跨靜定梁由AB梁和BC梁用中間鉸B連接而成，支撐和荷載情況如圖所示，已知P=20kN，q=5kN?m，α=45°。求支座A、C的反力和中間鉸B處的反力。課堂練習(xí)306二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1806二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院19歷史回顧之第2章例題一已知：懸臂式起重機(jī)OB=AB,θ=45.,重物D

重G=5kN,梁重OA不計(jì)。

求：鋼索BC

的拉力及鉸鏈O的反力06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院20歷史回顧之第2章例題一：解解：1、選取研究對(duì)象：梁OA

2、畫梁OA

的受力圖：G、FB

、FO，構(gòu)成一平面匯交力系，匯交點(diǎn)為E

點(diǎn)。

3、解析法，取坐標(biāo)軸如圖，列平衡方程：

解出：

FO

為負(fù)值，表示受力圖中FO

假定方向與正確指向相反。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院21歷史回顧之第2章例題二求圖示平面剛架的支反力。解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。由幾何關(guān)系，解得06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院22歷史回顧之第2章例題三

求圖示簡支梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院23靜定與靜不定的概念靜定問題：未知量個(gè)數(shù)=獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)靜不定問題：未知量個(gè)數(shù)>獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2406二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2506二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院26摩擦角由圖可知，角與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)的關(guān)系為：

當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)平衡物體的反力包含法向反力和切向摩擦力,這兩個(gè)力的合力稱為支承面的全約束反力，即，它與支承面間的夾角將隨主動(dòng)力的變化而變化，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，角達(dá)到一最大值，如圖，則稱為摩擦角。角的變化范圍為：06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院27自鎖自鎖：如果主動(dòng)力的合力的作用線在摩擦角（錐）之內(nèi)，則不論合力大小如何，物體總能平衡，這種情況稱為自鎖。如圖所示。與主動(dòng)力的大小無關(guān)而只與摩擦角有關(guān)的這一平衡條件，稱為自鎖條件：即φ≤φm

工程實(shí)例：千斤頂、固定螺紋等都是自鎖條件的利用。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院28滾動(dòng)摩擦滾動(dòng)摩擦：是指一物體沿另一物體表面相對(duì)滾動(dòng)（或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢）時(shí)接觸面間產(chǎn)生的一種阻礙物體相對(duì)滾動(dòng)的阻力偶，稱為滾動(dòng)摩擦，或稱為滾阻。一般用Ｍ表示。06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院29滾動(dòng)摩擦產(chǎn)生的物理原因?qū)嶋H上是面接觸，分布在接觸面上的約束力嚴(yán)格說是一空間力系，它的合力不一定通過A點(diǎn)。如將該力系向A點(diǎn)簡化，即得法向反力FN、滑動(dòng)摩擦力Fs

以及滾動(dòng)摩擦力偶Ｍ?？紤]滾動(dòng)摩擦?xí)r的受力圖通常如圖所示。

思考：為什么自行車輪胎氣不足時(shí)或者松軟的地面上騎車人感到費(fèi)力？06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院30滾動(dòng)摩擦力偶的性質(zhì)滾動(dòng)摩擦力偶Ｍ具有如下性質(zhì)（與滑動(dòng)摩擦力性質(zhì)類似）：

◆其大小由平衡條件確定；

◆轉(zhuǎn)向與滾動(dòng)趨勢相反；

◆當(dāng)滾子處于將滾未滾的平衡臨界狀態(tài)時(shí)，

Ｍ

=Ｍ

max=δFN

式中：δ—滾動(dòng)摩擦系數(shù)，它的量綱為長度；

FN—法向反力（一般由平衡條件確定）。

由此得物體的平衡范圍：

0≤FS≤Fmax（保證不滑動(dòng)）

0≤

Ｍ≤Ｍ

max（保證不滾動(dòng)）06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院31空間力系及其簡化06二月2023北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院32空間力系的簡化(F1,F2,......Fn)<＝>(F1‘,F2’,......Fn‘)＋(Ｍ1＋Ｍ2......Ｍn)

其中:F