高數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與極值

主講教師:

王升瑞高等數(shù)學(xué)第十八講1第九節(jié)一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的單調(diào)性與極值第二章2一、函數(shù)的單調(diào)性若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢I稱為單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間。3例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為為駐點4說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,5例2

證明證：令令從而成立6例3.

證明證:設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思考:

證明時,如何設(shè)輔助函數(shù)更好?提示:7例4求證證法一：設(shè)當(dāng)時當(dāng)時綜上可知，無論為什么值，總有則不等式成立。當(dāng)時8例4求證證法2：設(shè)則無論為什么值，總有則不等式成立對f(x)在0與x

之間應(yīng)用拉格朗日中值定理，有式中在0與x

之間，由于與x同號，9例5

證明在證明令在上利用拉格朗日中值定理得故當(dāng)時，從而在內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。此函數(shù)為冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)10例5

證明方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根。證明：設(shè)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，由零點定理，使即的根存在。又單調(diào)增加。的圖形至多與x軸有一個交點，所以方程僅有唯一解。11二、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點

.12注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(P146例4)為極大點,是極大值;是極小值.為極小點,13定理2（極值存在的必要條件）如果在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則（證明略）使的點稱為函數(shù)的駐點。定理2告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是駐點，但駐點未必是極值點。尋求函數(shù)的極值點首先要找的駐點以及不可導(dǎo)的點，再判斷其是否為極值點。14定理3

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)點擊圖中任意處動畫播放\暫停－0＋為極小值為極小點如：15例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為16定理4(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.17例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.18試問為何值時,在時取得極值,解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為并求出該極值。指出它是極大還是極小，例319內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值20思考與練習(xí)1.設(shè)則在點a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性.212.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號性.223.

設(shè)是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A23作業(yè)P1491（1）（2）；2；3(2)(4);4；5(2),(3)(6);6；7；8.24思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在25

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;

;264、設(shè)函數(shù)由方程