2017版數(shù)學(xué)知識(shí)方法篇專(zhuān)題2不等式與線性規(guī)劃第5練含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第5練如何讓“線性規(guī)劃"不失分[題型分析·高考展望]“線性規(guī)劃”是高考每年必考的內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，題目難度大多數(shù)為低、中檔，在填空題中出現(xiàn)時(shí)難度稍高.二輪復(fù)習(xí)中,要注重?？碱}型的反復(fù)訓(xùn)練，注意研究新題型的變化點(diǎn),爭(zhēng)取在該題目上做到不誤時(shí)，不丟分.體驗(yàn)高考1。(2015·天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2≥0，，x－y＋3≥0，，2x＋y－3≤0,）)則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋6y的最大值為(）A.3B.4C。18D.40答案C解析畫(huà)出約束條件的可行域如圖中陰影部分,作直線l：x＋6y＝0，平移直線l可知，直線l過(guò)點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)z＝x＋6y取得最大值，易得A（0，3),所以zmax＝0＋6×3＝18,選C.2.(2015·陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為()甲乙原料限額A3212B128A.12萬(wàn)元B。16萬(wàn)元C.17萬(wàn)元D。18萬(wàn)元答案D解析設(shè)甲，乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，，x＋2y≤8，，x≥0,,y≥0,)）目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示:可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＝8,，3x＋2y＝12，）)得A(2，3).則zmax＝3×2＋4×3＝18（萬(wàn)元）.3.（2016·山東）若變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，，x≥0，））則x2＋y2的最大值是（）A.4B。9C。10D。12答案C解析滿足條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0)）的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)，x2＋y2是可行域上動(dòng)點(diǎn)（x，y)到原點(diǎn)(0,0）距離的平方，顯然，當(dāng)x＝3，y＝－1時(shí)，x2＋y2取最大值，最大值為10。故選C。4.(2016·浙江)若平面區(qū)域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－3≥0，，2x－y－3≤0，，x－2y＋3≥0）)夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A.eq\f（3\r（5）,5)B。eq\r(2)C.eq\f(3\r（2）,2)D。eq\r（5）答案B解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，，x＋y－3＝0,))解得A(1,2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y－3＝0，)）解得B(2，1）。由題意可知,當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí),兩直線的距離最小,即|AB｜＝eq\r(1－22＋2－12）＝eq\r（2).5.（2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，)）則z＝x＋y的最大值為_(kāi)___________。答案eq\f（3,2）解析畫(huà)出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分(△ABC）所示：作直線l0：x＋y＝0，平移l0到過(guò)點(diǎn)A的直線l時(shí)，可使直線y＝－x＋z在y軸上的截距最大，即z最大，解eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝\f(1,2），))即Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（1,2))），故z最大＝1＋eq\f（1,2)＝eq\f（3，2)。高考必會(huì)題型題型一已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值例1(2016·北京）若x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－y≤0，,x＋y≤3,，x≥0，））則2x＋y的最大值為(）A。0B.3C.4D.5答案C解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示。令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大,即z取得最大值，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0,，x＋y＝3，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)）所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.點(diǎn)評(píng)（1)確定平面區(qū)域的方法:“直線定界，特殊點(diǎn)定域”。(2)線性目標(biāo)函數(shù)在線性可行域中的最值，一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，故可先求出可行域的頂點(diǎn),然后代入比較目標(biāo)函數(shù)的取值即可確定最值.變式訓(xùn)練1已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0,，x＜2，,x＋y－1≥0,）)則z＝|4x－4y＋3|的取值范圍是（）A。［eq\f(5,3),15)B。［eq\f（5，3），15］C.［eq\f(5,3),5）D。（5，15)答案A解析根據(jù)題意畫(huà)出不等式所表示的可行域，如圖所示，z＝｜4x－4y＋3｜＝eq\f（|4x－4y＋3|,4\r（2))×4eq\r(2）表示的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）到直線4x－4y＋3＝0的距離的4eq\r（2）倍，結(jié)合圖象易知點(diǎn)A(2，－1），B(eq\f（1,3)，eq\f（2，3)）到直線4x－4y＋3＝0的距離分別為最大和最小，此時(shí)z分別取得最大值15與最小值eq\f(5,3），故z∈［eq\f(5，3），15）,故選A。題型二解決參數(shù)問(wèn)題例2已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y≤1,,x－y≤1，，x≥a，))若x＋2y≥－5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(）A。(－∞，－1］ B.[－1，＋∞)C.[－1，1］ D。[－1，1)答案C解析由題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則x＋2y≥－5恒成立可轉(zhuǎn)化為圖中的陰影部分在直線x＋2y＝－5的上方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，，x＋2y＝－5，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝－2，))由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＝1，,x＋y＝1，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝0，））則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［－1，1].點(diǎn)評(píng)所求參數(shù)一般為對(duì)應(yīng)直線的系數(shù)，最優(yōu)解的取得可能在某點(diǎn)，也可能是可行域邊界上的所有點(diǎn)，要根據(jù)情況利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行確定,有時(shí)還需分類(lèi)討論.變式訓(xùn)練2(2015·山東)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y≥0，，x＋y≤2,,y≥0，)）若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于（）A.3B.2C。－2D。－3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,易知A（2,0），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＝0，，x＋y＝2,))得B（1,1).由z＝ax＋y,得y＝－ax＋z.∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時(shí)，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)a＝2或3時(shí)，z＝ax＋y在A（2，0)處取得最大值,∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.題型三簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用例3(1)(2016·浙江)在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線l上的投影。由區(qū)域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，，x＋y≥0，，x－3y＋4≥0）)中的點(diǎn)在直線x＋y－2＝0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|等于()A.2eq\r（2）B。4C。3eq\r(2)D。6（2）（2016·課標(biāo)全國(guó)乙）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1。5kg，乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0。3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)_______元.答案(1）C(2)216000解析(1)已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中△PMQ所示。因?yàn)閘與直線x＋y＝0平行。所以區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線x＋y－2上的投影構(gòu)成線段AB,則｜AB｜＝｜PQ｜。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，，x＋y＝0，））解得P（－1，1）,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，，x＋y＝0.))解得Q（2，－2）。所以|AB|＝|PQ｜＝eq\r（－1－22＋1＋22)＝3eq\r(2）.(2）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件,得線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1。5x＋0.5y≤150,，x＋0。3y≤90,，5x＋3y≤600，,x≥0，，y≥0，，x∈N*，,y∈N*)）目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域?yàn)閳D中的四邊形,包括邊界,頂點(diǎn)為(60，100）,(0,200)，（0，0)，（90，0），在（60，100）處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）.點(diǎn)評(píng)若變量的約束條件形成一個(gè)區(qū)域，如圓、三角形、帶狀圖形等,都可考慮用線性規(guī)劃的方法解決，解決問(wèn)題的途徑是：集中變量的約束條件得到不等式組，畫(huà)出可行域,確定變量的取值范圍，解決具體問(wèn)題。變式訓(xùn)練3設(shè)點(diǎn)P(x，y)是不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－2y＋1≥0,，x＋y≤3))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量m＝(1，1)，n＝(2,1)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量eq\o（OP,\s\up6(→））＝λm＋μn（λ，μ∈R）,則λ－μ的取值范圍是（)A.[－eq\f(3，2)，eq\f（2,3)］ B。[－6，2］C。[－1，eq\f（7,2)］ D.［－4，eq\f（2，3）］答案B解析畫(huà)出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示.由題意，可得（x,y）＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ）,故eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝λ＋2μ，,y＝λ＋μ。）)令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3（λ＋μ）＝－2x＋3y，變形得y＝eq\f（2,3)x＋eq\f（z，3）.當(dāng)直線y＝eq\f(2，3）x＋eq\f(z,3）過(guò)點(diǎn)A(－1，0）時(shí)，z取得最大值，且zmax＝2；當(dāng)直線y＝eq\f（2,3）x＋eq\f（z，3)過(guò)點(diǎn)B（3,0)時(shí)，z取得最小值，且zmin＝－6.故選B.高考題型精練1。(2015·安徽)已知x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y≥0，，x＋y－4≤0,,y≥1，)）則z＝－2x＋y的最大值是（）A.－1B.－2C。－5D。1答案A解析約束條件下的可行域如圖所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z,當(dāng)直線y＝2x＋z過(guò)點(diǎn)A（1，1)時(shí),截距最大，此時(shí)z最大為－1，故選A。2。(2016·四川)設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足(x－1）2＋（y－1)2≤2,q：實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x,，y≤1，）)則p是q的（)A.必要不充分條件 B。充分不必要條件C。充要條件 D。既不充分也不必要條件答案A解析如圖,（x－1)2＋(y－1）2≤2①表示圓心為（1，1），半徑為eq\r（2）的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界)；eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y≥x－1，，y≥1－x，，y≤1））②表示△ABC內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界）.實(shí)數(shù)x，y滿足②則必然滿足①，反之不成立.則p是q的必要不充分條件.故選A.3。在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P是由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥0,,y≥0,,x＋y≥1）)所確定的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),Q是直線2x＋y＝0上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則｜eq\o（OP，\s\up6(→）)＋eq\o(OQ，\s\up6（→))|的最小值為(）A.eq\f（\r(5)，5)B.eq\f(\r（2）,3）C。eq\f(\r(2)，2)D。1答案A解析在直線2x＋y＝0上取一點(diǎn)Q′,使得eq\o（Q′O,\s\up6（→）)＝eq\o（OQ,\s\up6(→)），則｜eq\o(OP,\s\up6(→））＋eq\o（OQ，\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(OP，\s\up6（→）)＋eq\o（Q′O，\s\up6(→)）｜＝|eq\o（Q′P，\s\up6（→))|≥｜eq\o(P′P，\s\up6（→))|≥|eq\o（BA,\s\up6(→））｜，其中P′，B分別為點(diǎn)P，A在直線2x＋y＝0上的投影，如圖。因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→)）｜＝eq\f（｜0＋1|，\r(12＋22）)＝eq\f（\r（5）,5)，因此|eq\o(OP，\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→)）｜min＝eq\f(\r（5),5），故選A。4。已知圓C:（x－a)2＋(y－b）2＝1，平面區(qū)域Ω:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－7≤0，，x－y＋3≥0，,y≥0.))若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為()A。5B。29C.37D.49答案C解析由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內(nèi)部及邊界.∵圓C與x軸相切，∴b＝1。顯然當(dāng)圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(diǎn)(6，1)處時(shí)，amax＝6?！郺2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C.5。設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y－2≤0,,x－y≥0,,x≥0，y≥0，）)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為4，則ab的取值范圍是(）A。（0，4） B.（0,4］C。［4，＋∞) D。(4，＋∞)答案B解析作出不等式組表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，z＝ax＋by（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（1,1）時(shí)取最大值，∴a＋b＝4，ab≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)）)2＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈（0，4]，故選B.6。已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2y≥1，，x－y≤1，，y－1≤0，)）若z＝x－2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(b，a)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(）A.（－6，－2） B。（－3,2)C.（－eq\f（10,3），－2) D.(－eq\f(10，3)，－3)答案C解析作出可行域，如圖所示，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y在點(diǎn)（1，0)處取得最大值1，在點(diǎn)(－1，1)處取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間（－3，1）上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解.令f（x）＝x2－kx＋1,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（f－3＞0,,f1＞0,，－3＜\f(k，2）＜1，，Δ＝k2－4＞0,））?－eq\f（10,3)＜k＜－2，故選C。7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1－y≥0，,x＋y－4≤0，，y≥m,）)若目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)m的值為（）A.4B.3C。2D.－eq\f（1，2)答案C解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－y≥0，，x＋y－4≤0,，y≥m)）表示的可行域如圖中陰影部分所示.將直線l0：2x＋y＝0向上平移至過(guò)點(diǎn)A，B時(shí)，z＝2x＋y分別取得最小值與最大值。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1－y＝0,，y＝m））得A（m－1，m），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，，y＝m））得B（4－m,m),所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2（4－m）＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝2，解得m＝2.8。設(shè)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，，y－m＞0））表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是（)A。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(4,3)）） B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞,\f(1，3）））C。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（2,3)）） D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(5，3)）)答案C解析當(dāng)m≥0時(shí)，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足x0－2y0＝2，因此m＜0。如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域.要使可行域內(nèi)包含y＝eq\f（1,2)x－1上的點(diǎn),只需可行域邊界點(diǎn)(－m，m）在直線y＝eq\f(1,2)x－1的下方即可，即m＜－eq\f（1,2）m－1，解得m＜－eq\f（2,3).9.（2016·江蘇）已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，，2x＋y－2≥0，，3x－y－3≤0，))則x2＋y2的取值范圍是________.答案eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5）,13))解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖：x2＋y2表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方.解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－y－3＝0，，x－2y＋4＝0，）)得A（2，3）.由圖可知（x2＋y2)min＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(｜－2｜,\r（22＋12)）))2＝eq\f（4，5),（x2＋y2）max＝|OA|2＝22＋32＝13.10。4件A商品與5件B商品的價(jià)格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價(jià)格之和不大于24，則買(mǎi)3件A商品與9件B商品至少需要________元.答案22解析設(shè)1件A商品的價(jià)格為x元，1件B商品的價(jià)格為y元，買(mǎi)3件A商品與9件B商品需要z元，則z＝3x＋9y,其中x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥20，，6x＋3y≤24，,x≥0，，y≥0,))作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，其中A(0，4),B(0，8）,C(eq\f（10，3)，eq\f（4,3））.當(dāng)y＝－eq\f（1,3)x＋eq\f（1,9）z