微積分iii-2003春十三周答案

2003-x2y2z2

(a0到坐標原點的距離的平方成反比，則該球體的質量MzZ（ ）.（中

M2ka,

1a 3

M

Z1a3

M

Z1a 2

M

Z1a2r2aM

d2d

22a2

kr2sindr0

2acos Z

d2d

rcosr2sindr2M 2

{(x,y)R

x2y2t2,t0}

fx,yDtDt內可微，f(0,0)1Dt的正向邊界為Ctfx,yDt

2

2

1f(x,y),試對曲線Ctn0(t

t01cost

dl（ (A)

2

2

2

2

dllim1costCfn0dllim1cost(x

t

t

1f(,)t

tlim 1f(x,y)dxdy

f(0,0)Dt01cosDt

2

t,)B(

,)

,2

)的兩段線段構成則cos2ydxsin2xdy（ （中L(A)

2

I(cos2ydxsin2xdy)(cos2ydxsin2 2(sin2ysin2x)dxdysin2xdy0dyD設有空間區(qū)域

:

2R2,z02及：x2y2z2R2x0y0z0，則（C（易2（A）xdv4

ydv4

zdv4

s

Hx2y2zHR

3xi3

3j3

zk 則ds=（ s

zH zHds0dz0d (3rR)rdr ssx2y2z21

xxcoss

dxdzcos2

zcos2

（A。(難

tan1由輪換對稱性，可將原式轉化為：原式

zzcosS

cos21x2y1x1x2y1x2y1x2y1x2y D 1x2y1x2y1x2y1x2y

x2y21）D

D

112cos2112cos21

令1令12

40cos2u4向量場FX(x,y)iY(x,y)j在區(qū)域D內有連續(xù)的偏導數，C是D中任意簡單閉 ).（易）若F

0D內必有

X 若FC

0D內必有可微函數(x,ydX(x,y)dxY(x,D

，則F

dl0 LDFdlL 則FC.

0設

(xyzR3x2y2z1)21,x0,y0xx2y2z

的值為（

4 3

2 3

83

2cos

2d2d x2y2x2y2zr3記I aex20

(a0,則（A）.（中

(A)2

1e

I112

1e

I

1eII

I

11aa2a20 0aa ey2a200

I 1212120d er 0 122d400er21e4 rr2x2若I1(xy)2dI2(xy)2d,D0y

,則 )（易

I1I2

I1I2

I1I2 (D)

I2r有關xx由柱面y ，y ，xz4與坐標平面z0所圍成立體圖形之體積xx（

V44

4dz

xdy1282 2

11

。xx

。

。 2xy)dy ).（中21-x2y1-x2y設區(qū)域是由z

x2y2與z

(xz)dv（

4

8

8(xz)dvd4drcosr2sindr8 y2設是由曲線x

繞zz4(x2y2z)dv=（

4

8

2

.3x2y22zr23(x2y2z)dv(r2z)dv4dz2d2z(r2z)rdr2563 O（0，0）A(,0)的曲線族yasinx(a0）L沿該曲線從O到A的積分(1y3)dx(2xy)dy的值達到最小，則該曲線為（ L

2

1cosx2答：I(a) (1y3)dx(2xy)dyL

(1y3)dx(2xy)dyL(23y2)dxdydxasinx(23y2)dy4a4a3DI(a)44a2

a1x2dydzy2dzdxz2dxdys

7s為24x2y0z x4x2y答：x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xy 7)7 x3dydzy3dzdxz3dxdy12R5sx2y2z2R2 答：x3dydzy3dzdxz3dxdy3(x2y2z2s

d

d

R3R2r2sindr12R522x2y1f(xI1

f(z)dzx,bzIag(zf(z)dzab

，g(z 答案a1b

2,g(z)(2z22z2zI

f2

d2

rdr

f(z)(2

2

c2 cCx（A

1nC

，則ndl(A) (B)2 (C) (D)2ndlfndl(f)dxdycC為正向閉曲線：xxyxI2xyx

y。

xdyydxxy，則I1xdyydxxy

I1

I2

前者用公式，后者直接用第一類曲線積分計算I 2dxdy22a24aa aDI a

a0aa00dx 0

dx dx

2 a22a

x2y2z2Cz

，其正向為：向z軸負向看去取逆時針方向。則IcC(z2)dl

（62。

22p273--5P(x0y0z0P點的切平面方程為x0(xxa2

)y0(yy

)z0(zz

)a b4 cx2y2a b4 cx2y2za b4 c ax2y2 x ybL(xy)dS8L(xy)dSS1S a c aa c a x2y2 x)1 x ya 1 yxS

yS 1 x1

y2 8abc

d

d1

1 a p273--6.（1）幾何意義：axbycz

a2b2c2

1t1，則t

a2b2c2

（t為參數到原點的有向距離。如下圖所示，以球面的球心為原點，以通過球心、與平面axbycz pconst垂直的方向為縱軸建立柱坐標系，則t到uvaxbycz上的點RtR

trrtO對于距離原點O為t和tdtdS（球臺）dldtsin（因為這個環(huán)帶狀面積是斜的，不是平面的原點O為tr2r2RsindS2rdl2Rdt，dS2Rdtt從RR積分就可以得到ouvwaxbycz0v-waxbya2b2ca2b2cISf

a2b2c2)dSS*u2v2w21

u11