（參考答案）直線、圓、橢圓基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（一）

直線、圓、橢圓基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（一）直線、圓、橢圓基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（一）直線1.已知直線經(jīng)過點A，求：（1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（2）直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形面積最小時的直線方程；

解：（1）若直線的截距為，則直線方程為；若直線的截距不為零，則可設(shè)直線方程為：，由題設(shè)有，所以直線方程為：，綜上，所求直線的方程為。（2）設(shè)直線方程為：，，而面積，又由得，等號當(dāng)且僅當(dāng)成立，即當(dāng)時，面積最小為12所求直線方程為直線與圓1.若圓：與線段：有且只有一個交點，則的取值范圍_________．2.過點A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2,1)，則圓C的方程為___(x－3)2＋y2＝2_______．3.若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是[]4.己知點和圓：，一條光線從點出發(fā)射到軸上后沿圓的切線方向反射，則這條光線從點到切點所經(jīng)過的路程是．5.已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切.（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A,B兩點，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè)圓心為。由于圓與直線相切，且半徑為5，所以因為m為整數(shù)，故m=1。故所求圓的方程為。 (2)把直線代入圓的方程，消去y整理，得。由于直線交圓于A，B兩點，故。即，由于，解得。所以實數(shù)的取值范圍是。 6.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M，N兩點，且(其中O為坐標(biāo)原點)求m的值；

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

解：(1)x2+y2-2x-4y+m=0即(x-1)2+(y-2)2=5-m(2分)

若此方程表示圓，則5-m＞0∴m＜5

(2)x=4-2y代入得5y2-16y+8+m=0

∵△=(-16)2-4×5×(8+m)＞0

∴，

∵得出：x1x2+y1y2=0而x1x2=(4-2y1)?(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2

∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0，∴滿足故的m值為．

(3)設(shè)圓心為(a，b)，且O點為以MN為直徑的圓上的點

半徑圓的方程

7.已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．

(1)若∠APB=60°，試求點P的坐標(biāo)；

(2)若P點的坐標(biāo)為(2，1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點，當(dāng)時，求直線CD的方程；

(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)P(2m，m)，由題可知MP=2，所以(2m)2+(m-2)2=4，

解之得：，

故所求點P的坐標(biāo)為P(0，0)或．

(2)設(shè)直線CD的方程為：y-1=k(x-2)，易知k存在，

由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，

解得，k=-1或，故所求直線CD的方程為：x+y-3=0或x+7y-9=0．

(3)設(shè)P(2m，m)，MP的中點，

因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，

故其方程為：

化簡得：x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0，此式是關(guān)于m的恒等式，

故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0，

解得或

所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點(0，2)或(，)8.已知點，圓的圓心在直線上且與軸切于點，（1）求圓C的方程；（2）若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓交于，兩點，過點的直線垂直平分弦，這樣的實數(shù)是否存在，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意圓心，半徑故圓的方程為即……4分（2）設(shè)直線的斜率為（存在）則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由弦長為，故弦心距………………5分由，解得.所以直線方程為，即.……7分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件.的方程為或……………………9分（3）把直線即．代入圓的方程，消去，整理得．由于直線交圓于兩點，故，即，解得．………………11分設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上．所以的斜率，而，所以．由于，故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦．……………16分橢圓1.點P為橢圓上一點，為其左、右焦點，且，點為的中點，則線段的長為_____________．2.在橢圓上，對不同于頂點的任意三個點，存在銳角θ，使．則直線與的斜率之積為▲；3.已知橢圓E：的右焦點為F，離心率為，過原點O且傾斜角為的直線與橢圓E相交于A、B兩點，若△AFB的周長為，則橢圓方程為．4.已知直線與橢圓交于A，B兩點，則線段AB的長為▲.5.已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的斜率為，直線與橢圓C交于兩點．點為橢圓上一點，求△PAB的面積的最大值．（1）6分（2）設(shè)直線的方程為，并設(shè)點將直線方程代入到橢圓方程中可得，9分11分又因為點到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng),滿足題意.13分所以△PAB的面積最大值為2.14分

6.設(shè)橢圓E:（）過兩點，其中為橢圓的離心率，為坐標(biāo)原點.（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由.（）……6分（II）假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A，B兩點當(dāng)直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為①聯(lián)立方程得要使,需使,即,所以,②…10分,,所求的圓為,……………12分而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,…14分綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.………………16分考點：1.橢圓的幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.直線與圓的位置關(guān)系.7.已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；（3）在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點．解⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．…4分⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．……………10分⑶設(shè)點，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點．………………16分8.如圖，點分別是橢圓的左、右焦點．點是橢圓上一點，點是直線與橢圓的另一交點，且滿足軸，．（1）求橢圓的離心率；（2）若的周長為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）解法1：在中，．……………5分解法2：中，則，代入并利用化簡整理得，即，，，．（2）由橢圓定義知，∴的周長為，∴則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……………10分（3）解法1：由（1）知則，于是橢圓方程可化為，即，設(shè)直線的方程為，代入化簡整理得，或，則點的橫坐標(biāo)為，∴點到直線的距離為，∴的面積為解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……………16分解法2：設(shè)，則，在中由余弦定理得：,即，化簡整理得，∴又∵軸，，∴點到直線的距離為，∴的面積為解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．9.已知橢圓的左右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為4的正方形.（1）求橢圓方程；（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點.證明：為定值；（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若