新高考數(shù)學(xué)重難點專題突破31 利用均值和方差的性質(zhì)求解新的均值和方差

專題31利用均值和方差的性質(zhì)求解新的均值和方差一、單選題1．設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，…，，的均值和方差分別為和，若(為非零常數(shù)，)，則，，，…，，的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值為，方程為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，由已知得新樣本的均值為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，代入可得選項.【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值為，方程為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則新樣本的均值為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，，所以標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，故選：B.【點睛】本題考查均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，屬于中檔題.2．某班統(tǒng)計某次數(shù)學(xué)測試的平均數(shù)與方差，計算完畢才發(fā)現(xiàn)有位同學(xué)的試卷未登分，只好重算一次.已知第一次計算所得的平均數(shù)和方差分別為，，重算時的平均數(shù)和方差分別為，，若此同學(xué)的得分恰好為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用平均數(shù)和方差的運算方法分別計算出第一次和第二次的結(jié)果，然后進(jìn)行比較，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)這個班有n個同學(xué)，除被忘記登分的同學(xué)外的分?jǐn)?shù)分別是，被忘記登分的同學(xué)的分?jǐn)?shù)為，則所以，，方差，①因為②將①代入到②得：故故選：A【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差的知識，只要運用其計算方法即可得到結(jié)果，本題較為簡單.3．2020年7月，我國湖北?江西等地連降暴雨，造成嚴(yán)重的地質(zhì)災(zāi)害.某地連續(xù)7天降雨量的平均值為26.5厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為6.1厘米.現(xiàn)欲將此項統(tǒng)計資料的單位由厘米換為毫米，則標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)椋ǎ〢．6.1毫米 B．32.6毫米 C．61毫米 D．610毫米【答案】C【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解.【詳解】設(shè)這7天降雨量分別為，，，，，，則因為1厘米=10毫米，這7天降雨量分別為10，10，10，10，10，10，10，平均值為=265，所以標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?故選：C【點睛】本題考查統(tǒng)計知識，考查標(biāo)準(zhǔn)差的求解，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)隨機變量，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的方差可得的值，然后利用方差的性質(zhì)可求得的值.【詳解】，，由方差的性質(zhì)可得.故選：B.【點睛】本題考查利用方差的性質(zhì)計算方差，同時也考查了正態(tài)分布方差的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90．在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中所給的平均數(shù)的條件，重新列式求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)方差公式寫出兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較大小.【詳解】由題意，可得，設(shè)收集的48個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為，則，，所以．故選:A．【點睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，合理準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，是基礎(chǔ)題．6．已知，，．．．，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則，，．．．，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)可得選項.【詳解】解：∵，，…，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，∴，，…，的平均數(shù)為：，標(biāo)準(zhǔn)差為：．故選：C．【點睛】本題考查平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知樣本，，…，的平均數(shù)為2，方差為5，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A．4和10 B．5和11 C．5和21 D．5和20【答案】D【分析】利用平均數(shù)和方程的性質(zhì)可算出答案.【詳解】因為樣本，，…，的平均數(shù)為2，方差為5，所以，，…，的平均數(shù)為，方差為故選：D【點睛】本題考查的是平均數(shù)和方程的性質(zhì)，較簡單.8．某同學(xué)參加學(xué)?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個同學(xué)罰籃20次，每罰進(jìn)一球得5分，不進(jìn)記0分，已知該同學(xué)罰球命中率為60%，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（）.A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120【答案】D【分析】根據(jù)二項分布的期望和方差的計算公式進(jìn)行計算，由此判斷出正確選項.【詳解】設(shè)該同學(xué)次罰籃，命中次數(shù)為，則，所以，，所以該同學(xué)得分的期望為，方差為.故選：D【點睛】本小題主要考查二項分布的期望和方差的計算，屬于基礎(chǔ)題.9．隨機變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由表格可求，故，故選A．10．已知某7個數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)6，此時這8個數(shù)的期望為記為，方差記為，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望以及方差的公式求解即可.【詳解】設(shè)原來7個數(shù)分別為由，則由則所以故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)期望和方差性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.11．已知某7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的方差為（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】由平均數(shù)公式求得原有7個數(shù)的和，可得新的8個數(shù)的平均數(shù)，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【詳解】因為7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，由平均數(shù)和方差的計算公式可得，.故選：C.【點睛】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的計算公式是解題關(guān)鍵．12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率為，乙、丙打中的概率均為（），若甲、乙、丙都打中的概率是，設(shè)表示甲、乙兩人中中靶的人數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望是（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，求出列出分布列，利用期望公式計算.【詳解】，列出分布列，利用期望公式計算.記的所有可能取值為0，1，2012故選：D.【點睛】本題考查離散型隨機變量的期望，考查運算求解能力，求解時注意概率的求解.13．已知的分布列為1234Pm設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件算出，然后算出，然后可算出答案.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，解得所以因為，所以故選：C【點睛】本題考查的是分布列的性質(zhì)和期望的性質(zhì)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，較簡單.14．隨機變量的分布列如表所示，若，則（）-101A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由于，利用隨機變量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，可知：，則，，即：，解得：，，，則，.故選：B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，以及離散型隨機變量的分布列?數(shù)學(xué)期望等知識，考查運算求解能力.15．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為m，方差為n，將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都加上得到一組新數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（）A．這組新數(shù)據(jù)的平均不變 B．這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為amC．這組新數(shù)據(jù)的方差為 D．這組新數(shù)據(jù)的方差不變【答案】D【分析】考查平均數(shù)和方差的性質(zhì)，基礎(chǔ)題．【詳解】設(shè)這一組數(shù)據(jù)為，由，，故選：D．【點睛】本題主要考查方差的性質(zhì)，考查了運算能力，屬于容易題.16．設(shè)，相互獨立的兩個隨機變量，的分布列如下表：-11-11則當(dāng)在內(nèi)增大時（）A．減小，增大 B．減小，減小C．增大，增大 D．增大，減小【答案】D【分析】求出，，從而，，，從而，由此得到當(dāng)在內(nèi)增大時，增大，減?。驹斀狻拷猓?，，，，，，，當(dāng)在內(nèi)增大時，增大，減小，故選：D．【點睛】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．17．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為（）A．31 B．15 C．32 D．16【答案】B【分析】本題根據(jù)已知直接求方差即可.【詳解】解：因為樣本數(shù)據(jù)的方差為8，所以數(shù)據(jù)的方差為：，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)據(jù)同時乘除同一數(shù)對方差的影響，是基礎(chǔ)題18．已知數(shù)據(jù)的方差為，若，則新數(shù)據(jù)的方差為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)直接計算可得結(jié)果.【詳解】由方差的性質(zhì)知：新數(shù)據(jù)的方差為：.故選：.【點睛】本題考查利用方差的性質(zhì)求解方差的問題，屬于基礎(chǔ)題.19．若隨機變量服從兩點分布，其中，則和的值分別是（）A．3和4 B．3和2 C．2和4 D．2和2【答案】D【分析】先由隨機變量服從兩點分布求出和，再根據(jù)性質(zhì)求出和的值.【詳解】隨機變量服從兩點分布，且，，，，，.故選：D.【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率分布，解題時要注意兩點分布的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20．一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．81.2，84.4 B．78.8，4.4 C．81.2，4.4 D．78.8，75.6【答案】C【分析】原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差不改變，得到答案.【詳解】原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差不改變?yōu)?故選：C.【點睛】本題考查了平均值和方差的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.21．若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為（）A． B． C． D．二、多選題【答案】D【分析】設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，計算出數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)，利用方差公式可求得結(jié)果；或直接利用方差性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解法一：設(shè)，由題意可得，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，因此，數(shù)據(jù)、、、的方差為.解法二：由，根據(jù)方差的性質(zhì)得.故選：D.【點睛】本題考查方差的計算，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.22．下列說法正確的是（）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后，方差也變?yōu)樵瓉淼谋?；B．若四條線段的長度分別是1，3，5，7，從中任取3條，則這3條線段能夠成三角形的概率為；C．線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱；D．設(shè)兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生且不發(fā)生的概率與發(fā)生且不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率為.【答案】BD【分析】A.根據(jù)數(shù)據(jù)的變化與方差的定義進(jìn)行判斷.B．利用古典概型的概率公式進(jìn)行判斷.C．結(jié)核性相關(guān)性系數(shù)與相關(guān)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.D．根據(jù)獨立性概率公式建立方程組進(jìn)行求解即可．【詳解】A:設(shè)一組數(shù)據(jù)為,則每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后,可得，則，所以方差也變?yōu)樵瓉淼谋?，故A不正確.B:從中任取3條有4中取法,其中能構(gòu)成三角形的只有3,5,7一種，故這3條線段能夠成三角形的概率為，故B正確.C:由，兩個變量的線性相關(guān)性越強，，兩個變量的線性相關(guān)性越弱，故C不正確.D:根據(jù)題意可得,設(shè)則，得，即解得或（舍）所以事件發(fā)生的概率為，故D正確.故選：BD【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.23．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X1234P0.20.10.2q若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)求出，由此能求出，再由離散型隨機變量Y滿足，能求出和．【詳解】解：由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)得：，所以，，∴，，故選：BD．【點睛】本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機變量的期望和方差公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.24．下列說法中正確的是（）A．設(shè)隨機變量X服從二項分布，則B．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則C．；D．已知隨機變量滿足，，若，則隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大【答案】ABD【分析】對于選項都可以通過計算證明它們是正確的；對于選項根據(jù)方差的性質(zhì)，即可判斷選項C.【詳解】對于選項設(shè)隨機變量，則，所以選項A正確；對于選項因為隨機變量，所以正態(tài)曲線的對稱軸是，因為，所以，所以，所以選項B正確；對于選項，，故選項C不正確；對于選項由題意可知，，，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大，故選項D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查二項分布和正態(tài)分布的應(yīng)用，考查期望和方差的計算及其性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.25．下列說法正確的有（）A．若離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為，則，B．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6C．4份不同的禮物分配給甲?乙?丙三人，每人至少分得一份，共有72種不同分法D．10個數(shù)學(xué)競賽名額分配給4所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配一個名額，則共有種不同分法【答案】ABD【分析】根據(jù)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)即可知A正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知B正確；根據(jù)先分組再分配的原則可知C錯誤，利用擋板法可知D正確【詳解】解：對于A，因為離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為，所以，，所以A正確；對于B，因為，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，所以表示點與原點的距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，的最大值為，所以B正確；對于C，4份不同的禮物分組的方式只有1，1，2，所以只有種情況，再分配給三人，有種方式，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有36種不同的方法，所以C錯誤；對于D，10個數(shù)學(xué)競賽名額分配給4所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1個名額，采用擋板法可知，共有種不同的分法，D正確，故選：ABD【點睛】此題考查了離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的幾何意義，以及排列組合問題，屬于中檔題26．設(shè)隨機變量的分布列為，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用分布列的性質(zhì)求，而，根據(jù)期望、方差公式即可求、、，進(jìn)而可確定選項的正誤.【詳解】因為隨機變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，∴，A選項正確；，即有，B選項正確；，C選項正確，D選項不正確.故選：ABC.【點睛】本題考查隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望和方差的計算，考查運算求解能力?數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).27．已知隨機變量的分布列是－101隨機變量的分布列是123則當(dāng)在內(nèi)增大時，下列選項中正確的是（）A． B．C．增大 D．先增大后減小【答案】BC【分析】由，根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可得，；求出，，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：對于，，，故錯誤；對于，，，故正確；對于，，當(dāng)在內(nèi)增大時，增大，故正確；對于，，，當(dāng)在內(nèi)增大時，單調(diào)遞增，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．28．一組數(shù)據(jù)的平均值為7，方差為4，記的平均值為a，方差為b，則（）A．a(chǎn)=7 B．a(chǎn)=11 C．b=12 D．b=9【答案】BD【分析】根據(jù)所給平均數(shù)與方差，可由隨機變量均值與方差公式求得E(X)，D(X)，進(jìn)而求得平均值a，方差b.【詳解】的平均值為7，方差為4，設(shè)，，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，則D(X)=1，的平均值為a，方差為b，a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，b=D(3X+2)=9D(X)=9.故選：BD.【點睛】本題考查了離散型隨機變量均值與方差公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題29．已知一組數(shù)據(jù)的方差為5，則數(shù)據(jù)的方差為___．【答案】45【分析】依據(jù)計算即可.【詳解】由題意可得，數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為：45.30．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為____________.【答案】200【分析】設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，由二項分布的數(shù)學(xué)期望公式及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則有，由題意可知服從二項分布，即,則，所以.故答案為：200.31．已知隨機變量的分布列為012若，則______．【答案】【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系計算新的均值．【詳解】由概率分布列知．．【點睛】本題考查線性變換后新變量與原變量間均值之間的關(guān)系，考查隨機變量的概率分布列．屬于基礎(chǔ)題．．32．已知離散型隨機變量，隨機變量，則的數(shù)學(xué)期望________.【答案】【分析】利用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式計算出的值，然后利用期望的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由于離散型隨機變量，，又因為隨機變量，由期望的性質(zhì)可得.故答案為：.【點睛】本題考查期望的計算，考查了二項分布的期望以及期望性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.33．隨機變量的分布如下表，則_______.0240.40.30.3【答案】13【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出，然后可得的值.【詳解】因為所以故答案為：13【點睛】本題考查的是期望的算法和性質(zhì)，較簡單.34．設(shè)隨機變量的分布列為，為常數(shù)，則________．【答案】3【分析】根據(jù)，由解得a，再利用期望公式結(jié)合性質(zhì)求解.【詳解】因為，所以，所以，故．故答案為：3【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列和期望及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.35．已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值，則樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值為______.【答案】7【分析】利用平均數(shù)計算公式求解.【詳解】∵數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為均值，則樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值為：.故答案為：7.【點睛】此題為基礎(chǔ)題，考查樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的求法.36．設(shè)離散型隨機變量可能取的值為，.又的均值，則______.【答案】【分析】由概率之和為1得到一個方程，由得到第二個方程，建立方程組，從而得到結(jié)果.【詳解】離散隨機變量可能取的值為1,2,3，，故的數(shù)學(xué)期望，而且，聯(lián)立方程組，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了概率與數(shù)學(xué)期望的問題，解題的關(guān)鍵是熟記公式.四、雙空題37．已知，隨機變量X的分布列如圖.若時，________；在p的變化過程中，的最大值為______.X012P【答案】2【分析】由數(shù)學(xué)期望的公式運算即可得解；由方差的公式可得，進(jìn)而可得，結(jié)合方差的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)時，；在p的變化過程中，，則，所以當(dāng)時，，所以.故答案為：；2.38．在一袋中有個大小相同的球，其中記上的有個，記上號的有個（＝，，，），現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號，則______，若，且，則_____.【答案】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求出，化簡即得解.【詳解】（1）由題得；（2）由題意知的可能取值為0，1，2，3，4，的分布列為：01234，因為，所以.所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查古典概型的概率的計算，考查隨機變量的分布列和期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.39．已知隨機變量服從二項分布，，則________，________.【答案】96【分析】由二項分布的期望公式求出．，再由數(shù)據(jù)變換間的關(guān)系求得新期望和方差．【詳解】∵隨機變量服從二項分布，，則．故答案為9；6．【點睛】本題考查在二項分布的期望與方差公式，考查數(shù)據(jù)線性變換后期望與方差間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．五、解答題40．2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【答案】（1）；（2）選擇第二種方案更合算.【分析】（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計算所付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計算所付款金額的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的