彈塑性力學(xué)第十章

2023/2/61第十章彈性力學(xué)的能量原理§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)§10-2虛功方程§10-3功的互等定理

§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理§10-6基于能量原理的近似解法2023/2/62第十章彈性力學(xué)的能量原理

彈性力學(xué)的解法之一為彈性力學(xué)邊值問(wèn)題求解體系——靜力法。在前面各章中就圍繞平面問(wèn)題、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題和空間軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行了具體分析和研究。2023/2/63第十章彈性力學(xué)的能量原理

彈性力學(xué)問(wèn)題的解法還有另一種解法：以能量形來(lái)建立彈性力學(xué)求解方程——能量法（從數(shù)學(xué)意義上說(shuō)也可認(rèn)為變分法）。本章主要介紹幾個(gè)基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介紹能量原理以前，先介紹幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)。2023/2/64§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)1.1應(yīng)變能U和應(yīng)變余能Uc：dijijij應(yīng)變能

U在第四章中已定義過(guò)：應(yīng)變能密度2023/2/65——彈性關(guān)系

如果將幾何關(guān)系引入應(yīng)變能,U、W

為位移的函數(shù)。應(yīng)變余能（類似應(yīng)變能）定義§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)2023/2/66應(yīng)變余能密度——單位體積的應(yīng)變余能Wc與積分路徑無(wú)關(guān)，只與終止?fàn)顟B(tài)和初始狀態(tài)有關(guān)。

Wc=ijij

為全微分§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)dijijijdij2023/2/67

——逆彈性關(guān)系且

W+Wc=ijij

§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)dijijijdij2023/2/68

但§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)材料為線彈性時(shí)2023/2/69各向同性線性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)將幾何關(guān)系引入上式U=U(ui)應(yīng)變能是位移的函數(shù)2023/2/610

代入U(xiǎn)c表達(dá)式各向同性線性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)2023/2/611§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)應(yīng)變能、應(yīng)變余能的計(jì)算舉例xolP圖示等截面桿，承受軸向荷載P作用。桿截面面積為

A,材料應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系分別為（1）=E，(2)=E1/2.試計(jì)算外力功T、應(yīng)變能U和應(yīng)變余能Uc。解：（1）=E2023/2/612§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)xolP

T=U=Uc=Pl/2l=Pl/(EA)P=N=lEA/l,U=l2EA/(2l),Uc=P2l/(2EA),（2）=E1/2T=U=2023/2/613§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)xolP

T=U2023/2/614§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)xolPUc=Pl–U=Pl-U2023/2/615§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)作業(yè)：圖示結(jié)構(gòu)各桿等截面桿，截面面積為A,結(jié)點(diǎn)C承受荷載P作用,材料應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系分別為（1）=E，(2)=E1/2。試計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U和應(yīng)變余能Uc。lPCBAx

ylC’2023/2/6161.2可能位移ui(k)和可能應(yīng)變ij(k)：可能應(yīng)變ij(k)：由ui(k)通過(guò)幾何方程導(dǎo)出的

可能位移ui(k)：在V內(nèi)連續(xù)且可微，在

su上滿足：§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)2023/2/6171.3可能應(yīng)力ij(k)：ij,j(k)+fi=0

(a)在s上滿足

(b)滿足式(a)、（b)——滿足靜力方程可能應(yīng)力

ij(k)：在V內(nèi)滿足

§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)2023/2/618

兩種可能位移ui(k1)和ui(k2)之差稱為虛位移ui，而由兩種可能位移狀態(tài)對(duì)應(yīng)的可能應(yīng)變

ij(k1)

、ij(k2)之差稱為虛應(yīng)變ij

。1.4虛位移ui和虛應(yīng)變ij

：ui=0

在su上齊次位移邊界條件。ij=(ui,j+uj,i)/2

在V內(nèi)§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)2023/2/6191.5虛應(yīng)力ij

：在s

上:njij=0；ij=ij(k1)-ij(k2)

§10-1幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)在V內(nèi)：ij,j=0滿足齊次靜力方程。2023/2/620§10-2虛功方程2.1虛功方程Su

S

在給定體力、面力和約束情況下，如果找到兩種狀態(tài):第一種狀態(tài)：

在給定的體力fi和面力，已知（找到）可能應(yīng)力狀態(tài)ij(k1)在V內(nèi)：ij(k1)+fi=0

;在s=s:

2023/2/621第二種狀態(tài)：

彈性體處于可能變形狀態(tài)ui(k2)

、ij(k2)

則第一種狀態(tài)外力在第二種狀態(tài)可能位移作的外力虛功等于第一種狀態(tài)可能應(yīng)力在第二種狀態(tài)可能應(yīng)變上作的虛變形功。

——虛功原理§10-2虛功方程在s=su:

2023/2/6222.2虛功方程的證明：§10-2虛功方程2023/2/623§10-2虛功方程2023/2/624代入虛功方程左端，得并注意虛功方程未涉及本構(gòu)關(guān)系，所有在各種材料性質(zhì)虛功方程成立。則We=Wi§10-2虛功方程2023/2/625虛功方程雖然對(duì)兩種不相干的可能狀態(tài)成立，但一般應(yīng)用是一種為真實(shí)狀態(tài)，另一種為虛設(shè)可能狀態(tài)（虛設(shè)狀態(tài)）。qP=1§10-2虛功方程2023/2/626§10-3功的互等定理將虛功方程用于線彈性體可導(dǎo)出功的互等定理。同一彈性體處于兩種真實(shí)狀態(tài)。第一種狀態(tài)：滿足所有方程。

第二種狀態(tài)：

滿足所有方程。2023/2/627§10-3功的互等定理根據(jù)虛功方程第一種狀態(tài)的外力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上做功第二種狀態(tài)外力在第一種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上做功2023/2/628§10-3功的互等定理對(duì)于線彈性體本構(gòu)關(guān)系

W12=W212023/2/629§10-3功的互等定理功的互等定理優(yōu)點(diǎn)：可以避免求解物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場(chǎng)的復(fù)雜過(guò)程，而直接從整體變形的角度來(lái)處理問(wèn)題。PPb第一種狀態(tài)的外力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上所做的功等于第二種狀態(tài)外力在第一種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上所做的功。第一狀態(tài)：一對(duì)力P作用在直桿的垂直方向，局部效應(yīng)，在桿兩端點(diǎn)伸長(zhǎng)？2023/2/630§10-3功的互等定理

第二狀態(tài)：讓一對(duì)力Q作用同一桿兩端點(diǎn)，很易求得一對(duì)力Q引起桿橫向縮短。對(duì)兩種狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理P=Q

Q第二狀態(tài)引起的

易求:QQx2023/2/631§10-3功的互等定理QQx2023/2/632

§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理4.1虛位移原理

運(yùn)用虛功原理，但一種狀態(tài)為與真實(shí)外力平衡的狀態(tài)，ij、fi、

、;而第二狀態(tài)為可能變形狀態(tài)，為真實(shí)狀態(tài)位移的變分:

ui=0

在su上

ui、ij=(ui,j+uj,i)/2

在V內(nèi)虛設(shè)狀態(tài)2023/2/633§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理根據(jù)虛功方程，真實(shí)的外力與應(yīng)力狀態(tài)在虛設(shè)的齊次可能位移上做功彈性體應(yīng)力與外力處于平衡狀態(tài)，對(duì)于任意虛設(shè)的齊次微小位移及應(yīng)變，則外力在虛位移上做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功

——虛位移方程。2023/2/634§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理代入原虛位移方程將虛位移方程重新改寫(xiě)2023/2/635§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理代入原虛位移方程虛位移方程為平衡方程和力的邊界條件的積分形式。虛位移原理舉例2023/2/636§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理虛位移原理舉例

圖示受均布荷載q作用的等跨連續(xù)梁，EI為常數(shù)，中間支座為彈性支座。試用虛位移原理寫(xiě)出梁的撓曲線方程和邊界條件。lACBqlx

z解：圖示連續(xù)梁在荷載作用下，產(chǎn)生撓曲線w(x)、內(nèi)力和支座反力。

設(shè)連續(xù)梁有虛位移

w

，C點(diǎn)虛位移

wC

。2023/2/637§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z虛位移方程利用對(duì)稱性

在計(jì)算薄梁的內(nèi)力虛功時(shí)，只考慮梁的正應(yīng)力x作的虛功。2023/2/638§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z2023/2/639§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z分部積分，得再積分，得2023/2/640§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z虛位移方程為2023/2/641§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z得平衡微分方程和力的邊界條件（由虛位移方程得到）2023/2/642§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lACBqlx

z得平衡微分方程和力的邊界條件（由虛位移方程得到）而事先要求滿足的位移邊界條件2023/2/643§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理4.2最小勢(shì)能原理

1．彈性體的總勢(shì)能

(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))2023/2/644§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理

(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))（1）和給定;（2）已將幾何關(guān)系引入

ij=(ui,j+uj,i)/2;（3）ui(k)為可能位移：在su上

;2023/2/645§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理2．由(k)

中尋求真實(shí)位移ui(k)為可能位移,有無(wú)窮多。因此，與其對(duì)應(yīng)的勢(shì)能

(k)也有無(wú)窮多。要從

(k)

中找真實(shí)位移：

（1）=0（2）引入本構(gòu)關(guān)系

真實(shí)位移應(yīng)滿足的方程。2023/2/646§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理取=0,得引入本構(gòu)關(guān)系

——虛位移方程

2023/2/647§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理或ui(k)為可能位移，同時(shí)滿足本構(gòu)方程。而=0，表明由ui(k)導(dǎo)出ij(k)滿足靜力方程，所以由=0

即為真解應(yīng)滿足的控制方程。

2023/2/648§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理的表述：

在位移滿足幾何方程和位移邊界條件的前提下，如果由位移導(dǎo)出的相應(yīng)應(yīng)力還滿足平衡微分方程和力的邊界條件，則該位移必使勢(shì)能

為駐值（極值）。如果可能位移使

的變分

=0，則該位移相應(yīng)應(yīng)力必滿足靜力方程。=0等價(jià)與靜力方程。2023/2/649§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理作業(yè)：圖示梁受荷載作用，試?yán)米钚?shì)能原理導(dǎo)出梁的平衡微分方程和力的邊界條件。

y

qEI

x

l

M2023/2/650§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理舉例

（1）已知圖示桁架各桿EA相同，材料的彈性關(guān)系為

=E，試用勢(shì)能原理求各桿內(nèi)力。lPCBAx

ylC’解：計(jì)算圖示桁架的總勢(shì)能

=U

+V

=

(uc、vc)應(yīng)變能2023/2/651§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lPCBAx

ylC’則，應(yīng)變能為2023/2/652§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lPCBAx

ylC’荷載勢(shì)能為

=U

+V

=由總勢(shì)能

的變分

=0

，得2023/2/653§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lPCBAx

ylC’解得2023/2/654§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理lPCBAx

ylC’各桿內(nèi)力為

2023/2/655§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理(2)已知圖示ab薄板（厚度t=1）無(wú)體積力作用，試用最小勢(shì)能原理求位移。xq2yq1ab解：圖示薄板受雙向壓縮作用，可猜應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ａ俊?/p>

所以，位移為x,y的線性式.采用最小勢(shì)能原理求位移2023/2/656§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理xq2yq1ab位移邊界條件

x=0:u=0,y=0:v=0考慮位移邊界條件取位移：

u=A1x,v=B1y薄板的總勢(shì)能

=U

+V

2023/2/657§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理xq2yq1ab平面應(yīng)力問(wèn)題：代入應(yīng)變能表達(dá)式，得2023/2/658§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理

u=A1x,v=B1y代入上式，得2023/2/659§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理荷載勢(shì)能V為xq2yq1ab

=2023/2/660§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理由總勢(shì)能的變分

=0

，得解得2023/2/661§10-4虛位移原理和最小勢(shì)能原理代回u=A1x,v=B1y

，得求得應(yīng)力為x=-q1,y=-q2,

xy=02023/2/662§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理5.1虛應(yīng)力原理1．虛應(yīng)力方程運(yùn)用虛功原理，但第一種狀態(tài)為真實(shí)變形狀態(tài)，ui和ij

、fi、、第二狀態(tài)為自平衡狀態(tài)的可能應(yīng)力（或真實(shí)應(yīng)力的變分）ij；滿足：

ij,j=0

在V內(nèi)

njij=0

在s上（在s

上無(wú)面力）

2023/2/663§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理ij在

su上產(chǎn)生

Xi（在su上有反力）

Su

S

Xi

根據(jù)虛功方程2．虛應(yīng)力方程表達(dá)

彈性體的應(yīng)變與位移處于相容狀態(tài)，對(duì)于任意虛設(shè)的齊次容許應(yīng)力ij及位移邊界上的虛反力Xi，虛應(yīng)力在應(yīng)變上做的虛功等于虛反力在給定位移上做的虛功。2023/2/664

Rc

RB

RA§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理3．虛應(yīng)力原理舉例

圖示受均布荷載q作用的等跨連續(xù)梁，EI為常數(shù)。試用虛應(yīng)力原理求梁的反力和彎矩。lABCqlx

z解：連續(xù)梁在荷載q作用下，產(chǎn)生撓曲線、內(nèi)力和支座反力。根據(jù)平衡關(guān)系，知2023/2/665

RA

RB

RC

Rc

RB

RA§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理梁的彎矩為設(shè)連續(xù)梁有虛反力和虛彎矩：lABCqlx

z應(yīng)用虛應(yīng)力方程lCAlx

zB2023/2/666

RA

RB

RC

Rc

RB

RA§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理lABCqlx

zlCAlx

zB在

su上無(wú)位移2023/2/667

Rc

RB

RA§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理lABCqlx

z得解得2023/2/668§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理5.2最小余能原理已知變形體在體力fi、面力作用及在位移邊界上有給定位移

。定義：由可能應(yīng)力狀態(tài)ij(k)表示c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))

——變形的總余能1．變形體的總余能c(k)2023/2/669§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))

——變形的總余能而Xi(k)=njij(k)

在su上（位移邊界上的反力）——應(yīng)變余能——位移邊界的余能

由ij(k)導(dǎo)出的在su邊界上的反力2023/2/670§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理結(jié)構(gòu)總余能c(k)由可能應(yīng)力ij(k)

定義。ij(k)

滿足

在V內(nèi)：ij(k)+fi=0在s=s:

（1）

c=02．由ij(k)定義的總余能中找出真實(shí)應(yīng)力ij（2）引入關(guān)系式—逆彈性關(guān)系2023/2/671§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理c

=0，即——虛應(yīng)力方程2023/2/672§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理由于ij

滿足自平衡的應(yīng)力狀態(tài):ij,j=0

在V內(nèi),njij=0

在s上c=0

為一個(gè)虛應(yīng)力方程,則ij(k)為可能變形狀態(tài)，而ij(k)已滿足靜力方程，

由ij(k)導(dǎo)出的ij(k)、ui(k)

滿足幾何方程及位移邊界條件。2023/2/673§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理因此，由c=0

表明由ij(k)中找出真實(shí)應(yīng)力ij。3．最小余能原理表述：

在應(yīng)力滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的前提下，如果由應(yīng)力導(dǎo)出的相應(yīng)應(yīng)變還滿足相容條件，則該應(yīng)力必使總余能c

為極值；或可能應(yīng)力使得總余能的變分c=0,則由該應(yīng)力導(dǎo)出相應(yīng)位移必滿足相容條件。2023/2/674§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理EIB

x

l

qEI

y

lACRBRC最小余能原理舉例

兩跨連續(xù)梁受均布荷載q作用的彎曲問(wèn)題，試用最小余能原理求解。RA解:（1）確定梁的可能應(yīng)力狀態(tài)：梁的彎曲問(wèn)題可選取支座反力RB為廣義可能應(yīng)力梁的彎矩和其它支座反力可由RB表示。2023/2/675§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理EIB

x

l

qEI

y

lACRBRCRA2．確定結(jié)構(gòu)的總余能c(k)2023/2/676§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理c(k)=Uc(RB)+Vc(RB)3．由余能的變分c=0

確定RB

2023/2/677§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理即積分，解得2023/2/678§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理代入可得梁的最后彎矩方程2023/2/679§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理作業(yè)：利用虛應(yīng)力原理和最小余能原理，求梁的反力和彎矩。

y

qEI

x

l2023/2/680§10-5虛應(yīng)力原理和最小余能原理4．真實(shí)狀態(tài)總勢(shì)能總余能c關(guān)系：——虛功方程

所以真實(shí)狀態(tài)

=-c對(duì)于真實(shí)狀態(tài)的2023/2/681§10-6基于能量原理的近似解法

在前面幾節(jié)介紹了幾個(gè)最基本的能量原理，利用能量原理求問(wèn)題的解，從理論上看是明確的步驟規(guī)范。如最小勢(shì)能原理：（分兩步）1．對(duì)于給定的外力和邊界條件尋找滿足幾何方程和位移邊界條件的ui(k)

函數(shù)序列，并確定

(k)

。2．由

=0尋求真解ui，即由ui(k)中找ui的控制方程，但由于問(wèn)題求解域復(fù)雜性及約束的變化，利用能量原理求解析解也是無(wú)法實(shí)際進(jìn)行的。但可由能量原理可以建立尋求問(wèn)題近似解的有效途徑。2023/2/682§10-6基于能量原理的近似解法6.1基于虛位移原理的近似解法虛位移原理可以用來(lái)求問(wèn)題的近似解法。

在給定的體積力、邊界力和邊界位移情況下，真實(shí)應(yīng)力、應(yīng)變和位移狀態(tài)（它們滿足所有方程）對(duì)于任意虛位移和虛應(yīng)變滿足虛位移方程。虛位移原理近似解法的步驟2023/2/683§10-6基于能量原理的近似解法（1）選取可能位移（近似解），包含若干待定系數(shù)；（滿足位移邊界方程）（2）由可能位移求可能應(yīng)變（滿足幾何方程）以及應(yīng)力（應(yīng)力一般不是可能應(yīng)力），它們包含若干待定系數(shù)；（3）設(shè)滿足齊次邊界條件的虛位移，并導(dǎo)出相應(yīng)的虛應(yīng)變；2023/2/684§10-6基于能量原理的近似解法（4）將外力和包含若干待定系數(shù)的應(yīng)力對(duì)虛位移作功等于零——虛位移方程（應(yīng)力近似滿足靜力方程）；（5）由虛位移方程得到確定若干待定系數(shù)的方程，并由方程解出待定系數(shù)，從而得位移的近似解。舉一個(gè)應(yīng)用虛位移原理求問(wèn)題的近似解的例題2023/2/685§10-6基于能量原理的近似解法圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用,材料應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系分別為=E，試確定梁撓曲線的近似解

。解：（1）設(shè)梁的近似解為（包含若干待定系數(shù)）：

qEI

y

x

lv=B1x(x-l)——滿足邊界條件2023/2/686§10-6基于能量原理的近似解法（2）由梁的近似解求可能應(yīng)變以及應(yīng)力（應(yīng)力一般不是可能應(yīng)力）：（3）設(shè)滿足齊次邊界條件的虛位移，并導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變；

qEI

y

x

lv=B1x(x-l),=-v’’=-2B12023/2/687§10-6基于能量原理的近似解法（4）應(yīng)用虛位移方程：（5）由虛位移方程解出待定系數(shù)B1，從而得位移的近似解。

qEI

y

x

l2023/2/688§10-6基于能量原理的近似解法得材料力學(xué)的精確解2023/2/689§10-6基于能量原理的近似解法作業(yè)：利用虛位移原理的近似法求梁的彎矩。xyPEIl/2l/2P2023/2/690§10-6基于能量原理的近似解法u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,w(k)=w0+Cmwm,1．選取可能位移(在給定的條件下選可能位移)式中u0

、um、v0、vm、w0、wm

均為已知連續(xù)可微函數(shù)，6.2基于最小勢(shì)能原理的近似解法（Ritz法）2023/2/691§10-6基于能量原理的近似解法而um=0、vm=0、wm=0、在Su上可能位移中的

Am、Bm和Cm為待定系數(shù)。在Su上且u0

、v0、w0滿足Su

的位移邊界條件2023/2/692§10-6基于能量原理的近似解法2．結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能

(k)及其變分

(k)

此時(shí)結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能不是泛函了，而是Am、Bm、

Cm的函數(shù)。

(k)=

(k)(Am、Bm、Cm)=U(Am、Bm、Cm)+V(Am、Bm、Cm）2023/2/693§10-6基于能量原理的近似解法3.利用

=0求解方程

=0

由于Am、Bm、

Cm的增量

Am、Bm、Cm的任意性，則

=0

2023/2/694§10-6基于能量原理的近似解法需要求對(duì)于線彈性體的應(yīng)變能U為待定系數(shù)的二次式，荷載勢(shì)能V

為待定系數(shù)的一次式。2023/2/695§10-6基于能量原理的近似解法2023/2/696§10-6基于能量原理的近似解法各向同性線彈性體有關(guān)Am、Bm和Cm

的線性方程組（3m個(gè)方程）2023/2/697§10-6基于能量原理的近似解法4．Ritz法在平面問(wèn)題的應(yīng)用

可能位移

u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm

u0

、v0滿足

Su

的位移邊界條件,

而

um=0、vm=0

在Su上。

平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題均不考慮位移分量w，而u、v為x、y的函數(shù)，體積力分量fz=0，面力分量2023/2/698§10-6基于能量原理的近似解法總勢(shì)能

的變分

=0

，得總勢(shì)能

=（Am,Bm）2023/2/699§10-6基于能量原理的近似解法平面應(yīng)力問(wèn)題，取薄板厚度

t=1。其應(yīng)變能為:對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題（取t=1）將上式中替換可得平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)變能U的表達(dá)式。2023/2/6100§10-6基于能量原理的近似解法Ritz法在平面問(wèn)題舉例

設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)的薄板，上下兩端固定，僅受豎向重力作用。求其位移解答。xybgo2023/2/6101§10-6基于能量原理的近似解法解：由于問(wèn)題對(duì)y

軸對(duì)稱，所以推論：(1)選擇可能位移：設(shè)：xybgo2023/2/6102§10-6基于能量原理的近似解法滿足上下兩邊的邊界條件：

=U

+V

2023/2/6103§10-6基于能量原理的近似解法(2)計(jì)算應(yīng)變能U

：（取

y軸兩側(cè)各1/2單位長(zhǎng)度計(jì)算）xybgo1/21/22023/2/6104§10-6基于能量原理的近似解法(3)由

=0變分方程確定系數(shù)Bk：經(jīng)推導(dǎo)得：即2023/2/6105§10-6基于能量原理的近似解法或：2023/2/6106§10-6基于能量原理的近似解法得：這是k個(gè)獨(dú)立方程，可求出k個(gè)待定系數(shù)Bk。解得：2023/2/6107§10-6基于能量原理的近似解法

(4)位移解答令：處的豎向位移為：2023/2/6108§10-6基于能量原理的近似解法項(xiàng)數(shù)精確解0.12900.12420.12530.1250123值與級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的關(guān)系作業(yè)：設(shè)位移的近似解為

u=0,v=

B1y(y-b)，求其位移解答。2023/2/6109§10-6基于能量原理的近似解法最小勢(shì)能原理

Ritz法自變量自變函數(shù)u、v、w

由自變量Am、Bm

、Cm

定義的u、v、w自變量的

約束條件

幾何方程和位移

邊界條件

幾何方程和位移

邊界條件

總勢(shì)能

=（u、v、w）

泛函

=（Am、Bm、Cm）多元（3m元）函數(shù)變分等于零=0

積分方程——

靜力方程的積分形式

多元（線性）方程組

滿足

=0的解

解析解

近似解最小勢(shì)能原理與Ritz法的比較2023/2/6110§10-6基于能量原理的近似解法

在最小勢(shì)能原理中，由可能位移ui(k)

定義的總勢(shì)能(k)

，并由

=0尋求真解ui。也可改寫(xiě)為靜力方程的積分形式等價(jià)于靜力方程。6.3伽遼金法（1915年）而

=0

本身表示為虛位移方程：2023/2/6111§10-6基于能量原理的近似解法伽遼金法步驟：1．設(shè)定滿足強(qiáng)約束條件的可能位移ui(k)

ui(k)

需要滿足的強(qiáng)約束條件：在Su上由u(k)、v(k)、w(k)

導(dǎo)出的應(yīng)力ij(k)

在S

上

：可能位移ui(k)

滿足給定和條件，即滿足所有邊界條件——強(qiáng)約束條件。2023/2/6112§10-6基于能量原理的近似解法2．由結(jié)構(gòu)總勢(shì)能

的變分等于零導(dǎo)出求解方程

如果所設(shè)可能位移ui(k)

的形式與Ritz法一樣u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,w(k)=w0+Cmum但可能位移ui(k)滿足強(qiáng)約束條件。由

=0

得這里

u=umAm,v=vmBm,w=wmCm

2023/2/6113§10-6基于能量原理的近似解法并注意Am、Bm、Cm的任意性以及

由可導(dǎo)出三組方程3m個(gè)方程2023/2/6114§10-6基于最小勢(shì)能原理上的近似解法3．伽遼金法在平面問(wèn)題例題與Ritz法類似，不考慮w,而u、v為x、y函數(shù)。伽遼金法在平面問(wèn)題的求解方程為2m個(gè)。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題為2023/2/6115§10-6基于能量原理的近似解法對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題將上式中例.已知：2ab薄板（厚度t=1），無(wú)體力作用。邊界條件:在x=a和y=0：u=0,v=0;在y=b：u=0,

全部邊界為位移邊界條件，無(wú)力的邊界條件。

xyaabb2023/2/6116§10-6基于能量原理的近似解法xyaabb解：不管采用Ritz法或伽遼金法，選取的近似位移場(chǎng)首先要為可能位移：

u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,當(dāng)取m=1時(shí)，u=u0+A1u1,v=v0+B1v1,2023/2/6117§10-6基于能量原理的近似解法根據(jù)邊界條件,可選u0=0，而u1和v1在所有邊界上為零。取則2023/2/6118§10-6基于能量原理的近似解法由于全部邊界均為位移邊界，可能位移無(wú)需要求其它約束條件?？衫觅み|金法求A1、B1

。由于體力為零，則用伽遼金法的求解方程（2個(gè)）：——求出A1和B12023/2/6119§10-6基于能量原理的近似解法，

A1和B1求出后可求應(yīng)力的近似解。2023/2/6120§10-6基于能量原理的近似解法作業(yè)：1.試寫(xiě)出伽遼金法在梁彎曲問(wèn)題的求解方程。

2.利用伽遼金法求圖示簡(jiǎn)支梁的近似解，設(shè)梁撓度的近似解為v=

B1sinx/l。

qEI

y

x

l2023/2/6121§10-6基于能量原理的近似法6.4基于最小余能原理的近似解法c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))