第三章理論分布與抽樣分布

第三章理論分布與抽樣分布第一節(jié)概率-頻率的穩(wěn)定性一、統(tǒng)計概率的概念事件的概率：在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)為α，則α與n之比，稱為事件A的頻率，如果試驗次數(shù)逐漸增多，事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近定值ρ，ρ就稱為事件A的概率。P(A)=ρ統(tǒng)計概率的概念當n充分大時，事件A的頻率作為該事件概率的近似值，稱為統(tǒng)計概率。概率的基本性質(zhì)：任一事件的概率不可能大于1，也不可能小于0[0≤P(A)≤1]；必然事件的概率等于1[P(A)=1]；不可能事件的概率等于0[P(A)=0]假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗就是根據(jù)總體的理論分布和小概率原理，對未知或不完全知道的總體提出兩種彼此對立的假設(shè)，然后由樣本的實際結(jié)果，經(jīng)過一定的計算．作出在一定概率意義上應(yīng)該接受的那種假設(shè)的推斷。如果抽樣結(jié)果使小概率發(fā)生。則拒絕假設(shè)．如抽樣結(jié)果沒有使小概率發(fā)生，則接受假設(shè)。一般認為小于0.05或0.01的概率為小概率。通過假設(shè)檢驗，可以正確分析處理效應(yīng)和隨機誤差，作出可取的結(jié)論。隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。小概率事件實際不可能性原理小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學(xué)上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的基本依據(jù)。假設(shè)檢驗的步驟1.提出假設(shè)無效假設(shè)(nullhypothesis)：備選假設(shè)(alternativehypothesis)：“無效”指處理效應(yīng)與總體參數(shù)之間沒有真實的差異，試驗結(jié)果中的差異乃誤差所致。引進一醋的新曲種，以原生產(chǎn)標準為對照，已知原生產(chǎn)標準醋酸含量為=9.75%，采用新曲種釀造10個樣本的醋酸含量平均數(shù)為11.99%，標準差S為1.3%，試分析采用新曲種是否提高了醋酸的含量。假設(shè)：

即：是來自隨機誤差2.確定顯著水平以多大概率接受或否定無效假設(shè)？通常規(guī)定5%（）和1%（）為測試差異是否顯著的概率標準，稱為檢驗水平或顯著標準，一般以a表示。3.推斷是否接受假設(shè)當時，認為差異顯著，標記為“*”，否定；當時，便認為差異非常顯著，標記“**”號；當時，則認為其差異不顯著，其差值為零，差值是來自誤差，接受二、概率的運算法則1.概率的加法定理：互斥事件。某種產(chǎn)品的正品率與次品率。2.概率的乘法定理：互不排斥或相容的事件。某生產(chǎn)流水線上第一道工序產(chǎn)品與第二道工序產(chǎn)品的正品率。第二節(jié)二項分布有些總體的各個個體的某種性狀，只有兩種結(jié)果，非此即彼，此和彼是對立事件。這種由非此即彼事件構(gòu)成的總體，叫做二項總體。這些資料的理論分布為二項分布。二項分布的概念

如某實驗中小白鼠染毒后死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2，故對一只小白鼠進行實驗的結(jié)果為：死（概率為P）或生（概率為1-P）

對二只小白鼠（甲乙）進行實驗的結(jié)果為：甲乙均死（概率為P2）、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P）P]或甲乙均生[概率為(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2

依此類推，對n只小白鼠進行實驗，所有可能結(jié)果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n其中n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù)，x為某事件出現(xiàn)次數(shù),cnxPx(1-P)n-x為二項式通式，cnx=n!/x!(n-x)!,P為總體率。

因此，二項分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次實驗中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。其概率密度為：

,x=0,1,...n。

二項分布的應(yīng)用條件每次實驗只有兩類對立的結(jié)果；n次事件相互獨立；每次實驗?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生的概率是一個常數(shù)。二項分布的形狀(1)二項分布圖形的形狀取決于P和n的大小；(2)當P=0.5時，無論n的大小，均為對稱分布；(3)當P<>0.5,n較小時為偏態(tài)分布,n較大時逼近正態(tài)分布。二項分布的參數(shù)平均數(shù)和標準差二項分布的平均數(shù)μ=np，二項分布的標準差為np(1-p)的算術(shù)平方根。正態(tài)分布

1、正態(tài)分布也稱高斯(Gauss)分布，是一種連續(xù)型隨機變量的理論分布。它的分布狀態(tài)是多數(shù)變量都圍繞在平均值左右，由平均值到分布的兩側(cè)，變量數(shù)減少。正態(tài)分布的概率函數(shù)為：

為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，表示某一定x值出現(xiàn)的概率密度。表示總體平均數(shù)，表示總體方差。

正態(tài)分布是一種在統(tǒng)計理論和應(yīng)用上最重要的分布。試驗誤差的分布一般服從于這種分布，許多生物現(xiàn)象的計量資料均近似服從這種分布。正態(tài)分布記為N（，）。

當時，f(x)值最大，所以正態(tài)分布曲線是以平均數(shù)為中心分布。當?shù)慕^對值相等時，f(x)值也相等，所以正態(tài)分布是以為中心向左右兩側(cè)對稱的分布。標準離差u=的絕對值越大，f(x)值就越小，但f(x)永遠不會等于0，所以正態(tài)分布以x軸為漸近線，x的取值區(qū)間為。正態(tài)分布曲線完全由位置參數(shù)和形態(tài)參數(shù)來決定。確定正態(tài)分布曲線在x軸上的中心位置，確定正態(tài)分布的變異度。正態(tài)分布具有以下特征：

值不同，值相同的三條正態(tài)分布曲線值相同，值不同的三條正態(tài)分布曲線標準正態(tài)分布記為N（0,1）

標準正態(tài)分布為了方便，令即可將的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為的標準正態(tài)分布。欲求一定區(qū)間標準正態(tài)分布曲線下的面積只需查附表1即可。有一批面包，重量平均為100g，標準差為1.2g，試求其單個面包重量從100g到102g的概率是多少？根據(jù)公式得：查表得當u=1.66時，對應(yīng)的概率P=0.451，從100g到102g的面包占總面包數(shù)量的45.1%t分布

當樣本容量較大（），用樣本方差估計。但當樣本容量不大（）時，如果仍用估計，這時標準離差就不呈正態(tài)分布，而是服從自由度為的t分布。

t分布具有以下特征：

t分布曲線也是左右對稱的，以0為中心向兩側(cè)遞降。t分布受自由度df=n-1的制約，每個自由度都有一條t分布曲線。和正態(tài)分布相比，t分布的頂部偏低，尾部偏高，自由度df>30時，其曲線就比較接近正態(tài)分布曲線，當時則和正態(tài)分布曲線重合。抽樣誤差系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差是指測定值的數(shù)學(xué)期望與真值之差用ε表示。

ε=x∞－x真值

隨機誤差是指n次測量中各次測量值x與測量數(shù)學(xué)期望之差。用σi表示：

σi=xi－x∞

數(shù)學(xué)期望：指當測量次數(shù)n趨向無窮大（n→∞）時算術(shù)平均值的極限。用x∞表示：

x真值、x∞和xi關(guān)系的示意圖。從圖中得知，隨機誤差σi說明各次測量值與x∞的離散程度，即精密度，σi越小說明數(shù)據(jù)的重復(fù)性好、精密度高；而系統(tǒng)誤差ε可做為x∞與真值x真值偏離的尺度，ε越小，即準確度越高。平均誤差與標準誤差平均誤差可用下式表示：

其中：；用平均誤差表示測量誤差，計算方便，但由于采用平均值的方法，容易掩蓋個別質(zhì)量不高的測量。

標準誤差σ又稱均方根誤差。通常真值x是未知的，而且測量次數(shù)n有限，這時可以用貝塞爾（Bessel）式得出在有限次測量情況下，單次測量值的標準離差S，且把測量的標準離差（S）作為標準誤差（σ）的估計，σ≈S，這樣標準誤差σ就表示為：

絕對誤差與相對誤差絕對誤差是測量值與真值之間的偏差，某次實驗的絕對誤差可用下式計算：

絕對誤差＝測量值－真值

視測量值與真值相比較大小不同，絕對誤差可以是正值，也可以是負值，它的單位與測量的單位相同。

相對誤差是絕對誤差與真值的比值（百分數(shù)表示），某次實驗的相對誤差可用下式計算：樣本異常值的判斷和處理

１、概念

樣本異常值是指樣本中的個別值，其數(shù)值明顯偏離它所在樣本的其余觀測值。

異常值可能僅僅是數(shù)據(jù)中固有的隨機誤差的極端表現(xiàn)，也可能是過失誤差。異常值檢驗的顯著性水平，推薦的值為１％。２、異常值的處理

Ａ、異常值保留在樣本中參加其后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計計算。Ｂ、允許剔除異常值，即把異常值從樣本中排除。Ｃ、允許剔除異常值并追加適宜的觀測值代入樣本。Ｄ、在找到實際原因時修正異常值。處理規(guī)則為：（1）對于任何異常值，若無充分的技術(shù)上的原因，則不得剔除或修正。（2）異常值中除有充分的技術(shù)上的或?qū)嶒炆系睦碛赏?，在統(tǒng)計上表現(xiàn)為高異常，才允許剔除或修正。３、簡單的壞值及其剔除原則

（１）拉依達原則

如果某個測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>3

就認為Ｘd是含有過失誤差的壞值，須剔除，誤差絕對值大于3的概率為0.26％.（２）肖維勒準則

如果某個測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>Wn

式中wn與測量值的測試次數(shù)n有關(guān)

壞值Xd應(yīng)剔除。肖維勒系數(shù)wn數(shù)值表

４、單個異常值的檢驗——狄克松檢驗準則

一組觀測值中單個異常值的檢驗有多種方法，狄克松（Dixon）法是應(yīng)用最廣泛的一種，由于該法簡便且適用于小樣本觀測值的檢驗，故已成為國際標準化組織（ISO）和美國材料試驗協(xié)會（ASTM）的推薦方法。狄克松檢驗法適用于一組觀測值的一致性檢驗和剔除一組觀測中的異常值。狄克松檢驗的要點如下：六、測量結(jié)果的有效數(shù)字測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與測量的精密度密切相關(guān)，有效數(shù)字位數(shù)不能多寫，也不能少寫。一般情況下，要根據(jù)相對誤差來確定有效數(shù)字的位數(shù)，其關(guān)系式為：

（Z+1）Ex

10S

式中，Z為第一位數(shù)字；Ex為相對誤差；S為指數(shù)的最大值；

有效數(shù)字與S的關(guān)系是：

有效數(shù)字=S+1＊當?shù)谝晃粩?shù)字甚小時，可以增加一位有效數(shù)字。＊當數(shù)值