第三章理論分布與抽樣分布

第三章理論分布與抽樣分布第一節(jié)概率-頻率的穩(wěn)定性一、統(tǒng)計(jì)概率的概念事件的概率：在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為α，則α與n之比，稱為事件A的頻率，如果試驗(yàn)次數(shù)逐漸增多，事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近定值ρ，ρ就稱為事件A的概率。P(A)=ρ統(tǒng)計(jì)概率的概念當(dāng)n充分大時(shí)，事件A的頻率作為該事件概率的近似值，稱為統(tǒng)計(jì)概率。概率的基本性質(zhì)：任一事件的概率不可能大于1，也不可能小于0[0≤P(A)≤1]；必然事件的概率等于1[P(A)=1]；不可能事件的概率等于0[P(A)=0]假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)總體的理論分布和小概率原理，對未知或不完全知道的總體提出兩種彼此對立的假設(shè)，然后由樣本的實(shí)際結(jié)果，經(jīng)過一定的計(jì)算．作出在一定概率意義上應(yīng)該接受的那種假設(shè)的推斷。如果抽樣結(jié)果使小概率發(fā)生。則拒絕假設(shè)．如抽樣結(jié)果沒有使小概率發(fā)生，則接受假設(shè)。一般認(rèn)為小于0.05或0.01的概率為小概率。通過假設(shè)檢驗(yàn)，可以正確分析處理效應(yīng)和隨機(jī)誤差，作出可取的結(jié)論。隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。小概率事件實(shí)際不可能性原理小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1.提出假設(shè)無效假設(shè)(nullhypothesis)：備選假設(shè)(alternativehypothesis)：“無效”指處理效應(yīng)與總體參數(shù)之間沒有真實(shí)的差異，試驗(yàn)結(jié)果中的差異乃誤差所致。引進(jìn)一醋的新曲種，以原生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)為對照，已知原生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)醋酸含量為=9.75%，采用新曲種釀造10個(gè)樣本的醋酸含量平均數(shù)為11.99%，標(biāo)準(zhǔn)差S為1.3%，試分析采用新曲種是否提高了醋酸的含量。假設(shè)：

即：是來自隨機(jī)誤差2.確定顯著水平以多大概率接受或否定無效假設(shè)？通常規(guī)定5%（）和1%（）為測試差異是否顯著的概率標(biāo)準(zhǔn)，稱為檢驗(yàn)水平或顯著標(biāo)準(zhǔn)，一般以a表示。3.推斷是否接受假設(shè)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為差異顯著，標(biāo)記為“*”，否定；當(dāng)時(shí)，便認(rèn)為差異非常顯著，標(biāo)記“**”號；當(dāng)時(shí)，則認(rèn)為其差異不顯著，其差值為零，差值是來自誤差，接受二、概率的運(yùn)算法則1.概率的加法定理：互斥事件。某種產(chǎn)品的正品率與次品率。2.概率的乘法定理：互不排斥或相容的事件。某生產(chǎn)流水線上第一道工序產(chǎn)品與第二道工序產(chǎn)品的正品率。第二節(jié)二項(xiàng)分布有些總體的各個(gè)個(gè)體的某種性狀，只有兩種結(jié)果，非此即彼，此和彼是對立事件。這種由非此即彼事件構(gòu)成的總體，叫做二項(xiàng)總體。這些資料的理論分布為二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布的概念

如某實(shí)驗(yàn)中小白鼠染毒后死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2，故對一只小白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為：死（概率為P）或生（概率為1-P）

對二只小白鼠（甲乙）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為：甲乙均死（概率為P2）、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P）P]或甲乙均生[概率為(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2

依此類推，對n只小白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所有可能結(jié)果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n其中n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù)，x為某事件出現(xiàn)次數(shù),cnxPx(1-P)n-x為二項(xiàng)式通式，cnx=n!/x!(n-x)!,P為總體率。

因此，二項(xiàng)分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。其概率密度為：

,x=0,1,...n。

二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件每次實(shí)驗(yàn)只有兩類對立的結(jié)果；n次事件相互獨(dú)立；每次實(shí)驗(yàn)?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)。二項(xiàng)分布的形狀(1)二項(xiàng)分布圖形的形狀取決于P和n的大小；(2)當(dāng)P=0.5時(shí)，無論n的大小，均為對稱分布；(3)當(dāng)P<>0.5,n較小時(shí)為偏態(tài)分布,n較大時(shí)逼近正態(tài)分布。二項(xiàng)分布的參數(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差二項(xiàng)分布的平均數(shù)μ=np，二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為np(1-p)的算術(shù)平方根。正態(tài)分布

1、正態(tài)分布也稱高斯(Gauss)分布，是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布。它的分布狀態(tài)是多數(shù)變量都圍繞在平均值左右，由平均值到分布的兩側(cè)，變量數(shù)減少。正態(tài)分布的概率函數(shù)為：

為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，表示某一定x值出現(xiàn)的概率密度。表示總體平均數(shù)，表示總體方差。

正態(tài)分布是一種在統(tǒng)計(jì)理論和應(yīng)用上最重要的分布。試驗(yàn)誤差的分布一般服從于這種分布，許多生物現(xiàn)象的計(jì)量資料均近似服從這種分布。正態(tài)分布記為N（，）。

當(dāng)時(shí)，f(x)值最大，所以正態(tài)分布曲線是以平均數(shù)為中心分布。當(dāng)?shù)慕^對值相等時(shí)，f(x)值也相等，所以正態(tài)分布是以為中心向左右兩側(cè)對稱的分布。標(biāo)準(zhǔn)離差u=的絕對值越大，f(x)值就越小，但f(x)永遠(yuǎn)不會(huì)等于0，所以正態(tài)分布以x軸為漸近線，x的取值區(qū)間為。正態(tài)分布曲線完全由位置參數(shù)和形態(tài)參數(shù)來決定。確定正態(tài)分布曲線在x軸上的中心位置，確定正態(tài)分布的變異度。正態(tài)分布具有以下特征：

值不同，值相同的三條正態(tài)分布曲線值相同，值不同的三條正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記為N（0,1）

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為了方便，令即可將的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。欲求一定區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積只需查附表1即可。有一批面包，重量平均為100g，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2g，試求其單個(gè)面包重量從100g到102g的概率是多少？根據(jù)公式得：查表得當(dāng)u=1.66時(shí)，對應(yīng)的概率P=0.451，從100g到102g的面包占總面包數(shù)量的45.1%t分布

當(dāng)樣本容量較大（），用樣本方差估計(jì)。但當(dāng)樣本容量不大（）時(shí)，如果仍用估計(jì)，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)離差就不呈正態(tài)分布，而是服從自由度為的t分布。

t分布具有以下特征：

t分布曲線也是左右對稱的，以0為中心向兩側(cè)遞降。t分布受自由度df=n-1的制約，每個(gè)自由度都有一條t分布曲線。和正態(tài)分布相比，t分布的頂部偏低，尾部偏高，自由度df>30時(shí)，其曲線就比較接近正態(tài)分布曲線，當(dāng)時(shí)則和正態(tài)分布曲線重合。抽樣誤差系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差是指測定值的數(shù)學(xué)期望與真值之差用ε表示。

ε=x∞－x真值

隨機(jī)誤差是指n次測量中各次測量值x與測量數(shù)學(xué)期望之差。用σi表示：

σi=xi－x∞

數(shù)學(xué)期望：指當(dāng)測量次數(shù)n趨向無窮大（n→∞）時(shí)算術(shù)平均值的極限。用x∞表示：

x真值、x∞和xi關(guān)系的示意圖。從圖中得知，隨機(jī)誤差σi說明各次測量值與x∞的離散程度，即精密度，σi越小說明數(shù)據(jù)的重復(fù)性好、精密度高；而系統(tǒng)誤差ε可做為x∞與真值x真值偏離的尺度，ε越小，即準(zhǔn)確度越高。平均誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤差平均誤差可用下式表示：

其中：；用平均誤差表示測量誤差，計(jì)算方便，但由于采用平均值的方法，容易掩蓋個(gè)別質(zhì)量不高的測量。

標(biāo)準(zhǔn)誤差σ又稱均方根誤差。通常真值x是未知的，而且測量次數(shù)n有限，這時(shí)可以用貝塞爾（Bessel）式得出在有限次測量情況下，單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)離差S，且把測量的標(biāo)準(zhǔn)離差（S）作為標(biāo)準(zhǔn)誤差（σ）的估計(jì)，σ≈S，這樣標(biāo)準(zhǔn)誤差σ就表示為：

絕對誤差與相對誤差絕對誤差是測量值與真值之間的偏差，某次實(shí)驗(yàn)的絕對誤差可用下式計(jì)算：

絕對誤差＝測量值－真值

視測量值與真值相比較大小不同，絕對誤差可以是正值，也可以是負(fù)值，它的單位與測量的單位相同。

相對誤差是絕對誤差與真值的比值（百分?jǐn)?shù)表示），某次實(shí)驗(yàn)的相對誤差可用下式計(jì)算：樣本異常值的判斷和處理

１、概念

樣本異常值是指樣本中的個(gè)別值，其數(shù)值明顯偏離它所在樣本的其余觀測值。

異常值可能僅僅是數(shù)據(jù)中固有的隨機(jī)誤差的極端表現(xiàn)，也可能是過失誤差。異常值檢驗(yàn)的顯著性水平，推薦的值為１％。２、異常值的處理

Ａ、異常值保留在樣本中參加其后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算。Ｂ、允許剔除異常值，即把異常值從樣本中排除。Ｃ、允許剔除異常值并追加適宜的觀測值代入樣本。Ｄ、在找到實(shí)際原因時(shí)修正異常值。處理規(guī)則為：（1）對于任何異常值，若無充分的技術(shù)上的原因，則不得剔除或修正。（2）異常值中除有充分的技術(shù)上的或?qū)嶒?yàn)上的理由外，在統(tǒng)計(jì)上表現(xiàn)為高異常，才允許剔除或修正。３、簡單的壞值及其剔除原則

（１）拉依達(dá)原則

如果某個(gè)測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>3

就認(rèn)為Ｘd是含有過失誤差的壞值，須剔除，誤差絕對值大于3的概率為0.26％.（２）肖維勒準(zhǔn)則

如果某個(gè)測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>Wn

式中wn與測量值的測試次數(shù)n有關(guān)

壞值Xd應(yīng)剔除。肖維勒系數(shù)wn數(shù)值表

４、單個(gè)異常值的檢驗(yàn)——狄克松檢驗(yàn)準(zhǔn)則

一組觀測值中單個(gè)異常值的檢驗(yàn)有多種方法，狄克松（Dixon）法是應(yīng)用最廣泛的一種，由于該法簡便且適用于小樣本觀測值的檢驗(yàn)，故已成為國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）和美國材料試驗(yàn)協(xié)會(huì)（ASTM）的推薦方法。狄克松檢驗(yàn)法適用于一組觀測值的一致性檢驗(yàn)和剔除一組觀測中的異常值。狄克松檢驗(yàn)的要點(diǎn)如下：六、測量結(jié)果的有效數(shù)字測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與測量的精密度密切相關(guān)，有效數(shù)字位數(shù)不能多寫，也不能少寫。一般情況下，要根據(jù)相對誤差來確定有效數(shù)字的位數(shù)，其關(guān)系式為：

（Z+1）Ex

10S

式中，Z為第一位數(shù)字；Ex為相對誤差；S為指數(shù)的最大值；

有效數(shù)字與S的關(guān)系是：

有效數(shù)字=S+1＊當(dāng)?shù)谝晃粩?shù)字甚小時(shí)，可以增加一位有效數(shù)字。＊當(dāng)數(shù)值