第9章機(jī)械振動和機(jī)械波

第九章

機(jī)械振動和機(jī)械波本章重點：9.1；9.2；9.5；9.6本章作業(yè)：機(jī)械振動：物體在某一位置附近所作的周期性往復(fù)運動。波動：振動狀態(tài)在空間或媒質(zhì)中的傳播過程。簡稱為波。機(jī)械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播稱為彈性波。變化電場和變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。振動:描述物體狀態(tài)的物理量在某一數(shù)值附近所作的周期性變化。

簡諧振動是最簡單、最基本的振動，是研究各種復(fù)雜振動的基礎(chǔ)。

振動和波動是緊密聯(lián)系的兩種物質(zhì)運動形式，振動的規(guī)律是研究波動的必備基礎(chǔ)。9.1簡諧振動物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的規(guī)律隨時間變化，這種運動就稱為簡諧振動。9.1.1簡諧振動的特征和運動方程彈簧振子：一個質(zhì)量可忽略的彈簧和一個剛體所組成的振動系統(tǒng)。下面以水平彈簧振子為例討論。坐標(biāo)原點O為平衡位置；取坐標(biāo)軸x向右，所受彈性力為：負(fù)號表示彈性力F的方向與位移的方向相反，始終指向運動物體的平衡位置，故稱之為線性回復(fù)力。1、受力特征

在線性回復(fù)力作用下物體沿x軸圍繞平衡位置O點作周期性往復(fù)運動。（2）平衡位置是物體受力為零的位置。（1）位移是相對平衡位置的。說明2、動力學(xué)方程特征由牛頓第二定律，有：則有：加速度與離開平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：簡諧振動的動力學(xué)微分方程注意：ω僅由系統(tǒng)本身決定，與振動情況無關(guān)。若某系統(tǒng)的運動規(guī)律滿足上述微分方程，且ω由系統(tǒng)性質(zhì)決定，則該系統(tǒng)做簡諧振動。（該判斷方法具有一般性，不僅適用于機(jī)械振動）。3、運動學(xué)方程（振動方程）由：可解得：或：簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動。A—振幅（離開平衡位置的最大距離）ω—角頻率（2π秒內(nèi)振動次數(shù)或單位時間相位改變）—相位（描述運動狀態(tài)的量）—初相位利用上述判據(jù)判斷是否做簡諧振動的步驟：(1)確定研究對象，分析受力。(2)找出平衡位置（受合外力為零的點），寫出回復(fù)力（或回復(fù)力矩）的表達(dá)式。(3)寫出動力學(xué)方程（利用牛頓第二定律或剛體定軸轉(zhuǎn)動定律）。4、簡諧振動的判椐若位移x，滿足或或結(jié)論：如果質(zhì)點所受的力可以表示為或質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系可以表示為或則質(zhì)點做簡諧振動。5、簡諧振動的速度和加速度由：

1)v、a

與x

的ω相同。2)4)三者相位依次差π/2

。3)a

與

x方向相反，且成正比。說明對時間t求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得9.1.2描述簡諧振動的特征量(1)振幅A(2)角頻率描述物體振動強(qiáng)弱的物理量描述振動狀態(tài)恢復(fù)的快慢。周期T

:振動物體作一次完全振動（即一次往復(fù)運動）所經(jīng)歷的時間。單位：秒（s）頻率ν：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)物體振動的次數(shù)。單位：赫茲（Hz）則稱為角頻率或圓頻率，單位為對于彈簧振子，固有周期固有頻率(3)初相位、相位和相位差—t=0時的相位，反映初始時刻振動物體的運動狀態(tài)。初相位—描述物體振動狀態(tài)的物理量相位相位差：同相

兩振動步調(diào)相反。①同相和反相兩振動步調(diào)相同。反相

txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2兩個同頻率的簡諧振動：②超前和滯后x2比x1較早達(dá)到正最大。x1比x2較早達(dá)到正最大。(4)振幅和初相位的確定由：初始條件：寫為：聯(lián)立1)和2)式，得：b）僅由中之一不能決定，需由其中兩個方程可求出。

a）

尚需滿足1）和2）所決定的狀態(tài)。注意例題1、單擺：質(zhì)量m，擺長l，試分析單擺的運動規(guī)律。解：單擺受力如圖所示。取逆時針方向為角位移θ的正方向，則重力沿擺球運動軌跡的切向分量為：負(fù)號表明該力的方向與角位移的方向相反。若θ很小，則有：即：擺球的切向運動方程為：因此，單擺在小角度下的擺動是簡諧振動。其中：單擺的周期：

例題2、

一長為

l

的均勻細(xì)棒懸于其一端的光滑水平軸上，做成一復(fù)擺。此擺作微小擺動的周期為多少？

解：均勻細(xì)棒可看作剛體，分析所受力矩：取逆時針為正方向。θ很小，則：即：由轉(zhuǎn)動定律：所以是簡諧振動，其周期為：例題3、一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，其角頻率。在t=0時刻，其初始位移，初始速度。求此簡諧振動的表達(dá)式。解：質(zhì)點的振動方程及速度表達(dá)式分別為則根據(jù)初始條件可得：將初始條件和角頻率代入振動方程有所以因此可以確定所以該質(zhì)點作簡諧振動的表達(dá)式為例題4、一質(zhì)點作簡諧振動，其振動曲線如圖所示。求此簡諧振動的表達(dá)式。x/m解：質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程及速度表達(dá)式分別為由振動曲線可知時，由圖可知，即可以確定則該簡諧振動的表達(dá)式為9.1.3簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法—振幅A

作坐標(biāo)軸Ox,自O(shè)點作一矢量

OM

，用表示。

t

時刻與x軸的夾角—

相位ωt+

以恒定角速度ω

繞O點作逆時針轉(zhuǎn)動

—角頻率ω

在t=0時與x軸的夾角—初相

矢量的端點M

在x

軸上的投影點P

的坐標(biāo)為：所以，P點的運動為簡諧振動。P點的速度和加速度分別代表著簡諧振動的速度和加速度。例題5、一作簡諧振動的物體，其振動曲線如圖所示。試寫出該振動的表達(dá)式。解：振動方程為由振動曲線可知，振幅為t=0時，且其初始速度作旋轉(zhuǎn)矢量圖，如右圖。可得其振動初相位為又t=1s時，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：則振動方程為：例題6、一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12

m，周期T=2

s，當(dāng)t=0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x0

=0.06m，此時向x軸正向運動。求：(1)此振動的表達(dá)式。(2)從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間。

利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件就可畫出振幅矢量的初始位置，從而得到：

解

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點。設(shè)振動方程為：(2)由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原點，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為：

v0>0時，在3，4象限。v0

<0時，在1，2象限。

x0

>0

時，在1，4象限。x0<0

時，在2，3象限。討論：9.1.4簡諧振動的能量2、簡諧振動的勢能

1、簡諧振動的動能3、簡諧振動的總能量(以彈簧振子為例)振動能量曲線如右圖①Ep與Ek

振幅相同，變化規(guī)律相同，周期相同，相位相反。②系統(tǒng)總能量守恒，與振幅的平方成正比，動能與勢能相互轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)與外界無能量交換（無阻尼自由振動系統(tǒng)）③E∝A2，這是一切振動形式的共同性質(zhì)。說明④將對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得即：對同一物理現(xiàn)象，用動力學(xué)觀點分析得到的簡諧振動的微分方程式和從能量觀點分析得到的簡諧振動的微分方程式，結(jié)論是相同的。9.2簡諧振動的合成9.2.1同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成：則合振動的運動方程：設(shè)質(zhì)點同時參與兩個獨立的同振動方向，同頻率的簡諧振動有:令其中：

合成結(jié)果仍為簡諧運動合振動與分振動在同一方向，且有相同頻率。說明：

用旋轉(zhuǎn)矢量法研究同方向、同頻率簡諧振動的合成：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以直接得到合振動的振幅及初相位。討論：(1)

(2)同相，合振幅最大反相，合振幅最小當(dāng)A1

=A2時，質(zhì)點靜止。(3)一般情況（相位差任意）相位差在同頻率簡諧振動合成中起決定性作用此動畫有錯誤9.2.2同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成

兩振動的相位差隨時間變化。一般情況下，合振動不再是簡諧振動。合振動的運動方程為：設(shè)兩振動的振幅相同，都為A0，初相相同為。兩頻率都較大，而頻率差很小的情況。合振幅出現(xiàn)時大時小的現(xiàn)象—拍現(xiàn)象討論:x1x2ttxt當(dāng)

都很大，且相差甚微時，可將視為振幅變化部分，合成振動是以為角頻率的周期振動。單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻。拍現(xiàn)象的應(yīng)用：

用音叉振動校準(zhǔn)樂器測定超聲波測定無線電頻率調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等9.2.3同頻率相互垂直的兩個簡諧振動的合成消去參數(shù)t，得軌跡方程。橢圓方程，形狀決定于分振動的振幅和相位差。運動方程：軌跡：1、兩個分振動同相。合運動是簡諧振動，角頻率與初相不變。運動方程：合運動是簡諧振動，角頻率與初相不變。軌跡：2、兩個分振動反相軌跡：y比x相位超前/2，橢圓軌道運動的方向是順時針，即右旋的。3、軌跡：y比x相位滯后/2，橢圓軌道運動的方向是逆時針，即左旋的。4、9.2.4不同頻率相互垂直的兩個簡諧振動的合成（1）若兩分振動的頻率差異很小，可近似看成同頻率的合成，不過相位差不是定值而是在緩慢地變化，故合振動是不穩(wěn)定的，由直線→橢圓→直線，重復(fù)進(jìn)行。xA1yo-A1A2-A2A2xA1yo-A2-A1A1yoA2x-A2-A1（2）若兩分振動的頻率差別較大，但有簡單的整數(shù)比，則合振動的軌跡是穩(wěn)定的封閉曲線（李薩如圖形）。9.3阻尼振動、受迫振動和共振9.3.1阻尼振動1、阻尼的分類a、摩擦阻尼：機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能。b、輻射阻尼：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）。

實驗表明當(dāng)速度不太大時：為阻尼系數(shù)

。動力學(xué)方程：振幅隨時間而減小的振動叫做阻尼振動。2、阻尼振動的動力學(xué)方程：粘滯阻力：由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。

固有角頻率由阻尼系數(shù)決定。阻尼因子(1)時，阻尼較?。ㄇ纷枘幔朔匠痰慕猓菏街校?、阻尼振動的動力學(xué)方程的解：欠阻尼特點：

振幅隨時間t

作指數(shù)衰減。近似為簡諧振動。阻尼振動周期比系統(tǒng)的固有周期長。臨界阻尼：物體不能往復(fù)運動的臨界情況。從周期運動變?yōu)榉侵芷谡駝印?3)時，為臨界阻尼。應(yīng)用：阻尼裝置可應(yīng)用于機(jī)器減振或儀器指針調(diào)節(jié)。(2)時，阻尼較大（過阻尼）。無振動發(fā)生、非周期運動欠阻尼臨界阻尼過阻尼9.3.2受迫振動系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所作的等幅振動。1、受迫振動的定義阻尼力:彈性力:2、受迫振動的運動微分方程策動力：在阻尼較小的情況下，微分方程的解為：阻尼振動，隨時間的推移而消失簡諧振動，穩(wěn)定解。

經(jīng)一段時間受迫振動變?yōu)橐圆邉恿Φ念l率為振動頻率的簡諧振動。其振幅為：初相位：9.3.3共振

當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時,受迫振動的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振。共振的振幅共振的角頻率

位移共振時，振幅最大，故振動系統(tǒng)能量最大，系統(tǒng)形變最大。1、位移共振：2、速度共振：

當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時,受迫振動的速度振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為速度共振。共振的角頻率注意：位移共振與速度共振，條件不同。

速度共振時，速率最大，系統(tǒng)動能最大。也稱能量共振。共振的速度振幅速度振幅隨阻尼的減小而增大,但共振頻率皆為3、共振的危害及應(yīng)用：利：樂器利用之可提高音效、電磁共振選臺(收音機(jī))、核磁共振。害：橋梁、建筑物等。1940年11月7日塔科瑪海峽大橋的共振斷塌9.4機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播9.4.1機(jī)械波的產(chǎn)生3、橫波和縱波(1)橫波:傳播方向與振動方向垂直（如：繩上波）

任一波，例如水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進(jìn)行研究。2、機(jī)械波產(chǎn)生的條件:

(1)要有振源(波源)；(2)要有傳播振動的彈性媒質(zhì)。1、機(jī)械波:機(jī)械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播。(2)縱波:傳播方向與振動方向平行（如：聲波）橫波有波峰和波谷；只能在固體中傳播?？v波有疏部和密部；可在固體、液體和氣體中傳播。由彈性力結(jié)合的連續(xù)媒質(zhì)注意：波動只是振動狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播，不論橫波還是縱波，在傳播過程中，媒質(zhì)中各質(zhì)點并不隨波前進(jìn)，只是在各自的平衡位置附近振動。(2)波前:某時刻在最前面的波面(3)波射線:沿波的傳播方向作的射線,簡稱波線在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直.(1)波面:t時刻相位相同的點組成的空間曲面(波陣面)4、波的幾何描述——波面、波線、波前波面波線波線波面可用任意一條波線上的波動情況代表整個波的傳播情況。9.4.2描寫波動的物理量

橫波:相鄰的兩個波峰（或波谷）之間的距離;

縱波:相鄰的兩個密部（或疏部）之間的距離。波長反映了波的空間周期性。1、波長:同一波線上相鄰的、相位差為2π的兩質(zhì)元間的距離。

即一個完整波形的長度.（）2、周期：波前進(jìn)一個波長的距離所需要的時間，或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間（T

）周期反映了波的時間周期性。3、頻率：單位時間內(nèi)波前進(jìn)距離中所包含的完整波的數(shù)目。（

）4、波速：在波動過程中，某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離叫做波速，也稱相速。（u

）②液體、氣體中(僅有縱波)B——液體或氣體的容變彈性模量ρ——媒質(zhì)的密度①固體中橫波:縱波:其中:G——切變彈性模量Y——楊氏彈性模量

——固體媒質(zhì)的密度③柔繩和弦線中橫波其中:F—張力μ—質(zhì)量線密度說明：3）波長由波源和媒質(zhì)共同決定。同一頻率的波其波長將隨媒質(zhì)的不同而不同。僅由波源決定，與媒質(zhì)無關(guān)。1）2）波速的大小取決于媒質(zhì)，與頻率無關(guān)。5、波程差對應(yīng)的相位差波線上相距為的兩點間的相位差為由于波線上單位長度對應(yīng)的相位差為，所以：9.5平面簡諧波

在平面波的傳播過程中，若波源作簡諧振動，媒質(zhì)中各質(zhì)元均按余弦（或正弦）規(guī)律振動，則此平面波稱為平面簡諧波。9.5.1平面簡諧波的波函數(shù)1、平面簡諧波平面簡諧波是一種最簡單、最基本的波動過程。2、波函數(shù)

波動過程中，各質(zhì)元的位移y隨時間t和質(zhì)元所在空間位置x變化的函數(shù)關(guān)系稱為波函數(shù)，又稱為波的表示式。x表示不同質(zhì)元在x軸上的坐標(biāo)。y表示離開平衡位置的位移。3、平面簡諧波波函數(shù)的建立

在理想無吸收的均勻無限大媒質(zhì)中，要建立平面簡諧波的波函數(shù)，只要得到波線上任意點的振動表達(dá)式即可。

要寫出波線上任意點P的振動表達(dá)式，可從點P與點O之間的波程差或時間差兩個方面來考慮:（假設(shè)波沿x正方向傳播）（1）由波程差求波函數(shù)點P的相位落后于點O的相位，落后的相位為：設(shè)O點質(zhì)元的振動方程為則P點的振動方程為：由于點P是任意一點，因此波動過程中任意一點的振動位移隨時間的變化規(guī)律為此即沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)。（2）由時間差求波函數(shù)

點P的振動時間落后于原點O。振動從點O傳到點P所需的時間為P點在t時刻重復(fù)的是O點t-△t時刻的振動狀態(tài)：波函數(shù)的不同形式波函數(shù)9.5.2波函數(shù)的物理意義1、x確定時（x=x0）為該處質(zhì)點的振動方程，對應(yīng)曲線為該處質(zhì)點振動曲線。2、t確定時（t=t0）為該時刻各質(zhì)點位移分布，對應(yīng)曲線為該時刻波形圖。x確定時t確定時其中:注意:波形圖與振動曲線的區(qū)別3、t,x都變化時，表示不同時刻,不同平衡位置處各質(zhì)元的位移情況，即所有質(zhì)元位移隨時間變化的整體情況

—行波。

波形曲線(波形圖)波函數(shù)描述了波形(相位)的傳播，速度為u在△t時間內(nèi)，整個波形以速度u向前推進(jìn)了△x=u△t。例題1、一平面簡諧波沿x軸的正方向傳播，已知其波函數(shù)為

(SI)求：(1)波的振幅、波長、周期和波速；(2)媒質(zhì)中質(zhì)元振動的最大速度；(3)畫出t1=0.0025s和t2=0.005s時的波形曲線。

解:(1)將已知的波函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式將上式與比較，可得(2)媒質(zhì)中質(zhì)元的振動速度為其最大值為(3)t1=0.0025s時，波形表達(dá)式為t2=0.005s時，波形表達(dá)式為y/mt/s波形圖如下所示：例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標(biāo)原點O處質(zhì)元的振幅為0.01m，振動周期為0.01s，并且在t=0時刻，其正好經(jīng)過平衡位置沿正方向運動。求：(1)波函數(shù)；(2)距原點2m處的質(zhì)點的振動方程；(3)若以2m處為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)。解：(1)由題意，原點處質(zhì)元在t=0時，初始位移y0=0，初始速度v0>0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法得其初相位為因此O點的振動方程為所以其波函數(shù)為(3)如果坐標(biāo)原點設(shè)在2m處，則由(2)知新坐標(biāo)原點振動方程所以新坐標(biāo)下的波函數(shù)為例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標(biāo)原點O處質(zhì)元的振幅為0.01m，振動周期為0.01s，并且在t=0時刻，其正好經(jīng)過平衡位置沿正方向運動。求：(1)波函數(shù)；(2)距原點2m處的質(zhì)點的振動方程；(3)若以2m處為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)。(2)將x=2m代入波函數(shù)，得到2m處質(zhì)點的振動方程為例題3、有一平面簡諧波沿x方向傳播，已知P點的振動規(guī)律為，在下列四種坐標(biāo)選擇下，寫出波函數(shù)及距P點為b的A點的振動方程。解：四種情況下A點的振動都比P點落后，根據(jù)相位差可寫出它們對應(yīng)的波函數(shù)：（此時A點為任意點，坐標(biāo)為x）P、A間距為b時，四種情況下A點的振動方程均為：A點相位比P點落后例題4、一平面簡諧波在t=0時的波形如圖(a)所示，在波線上x0=1m處質(zhì)元P的振動曲線如圖(b)所示。求該平面簡諧波的波函數(shù)。y/mx/m圖(a)y/mt/s圖(b)解:由圖(a)可得由圖(b)可得由圖(b)可知P點處質(zhì)元在t=0時向下運動，因此波是沿x軸負(fù)方向傳播的。則對于O點處，t=0時：由旋轉(zhuǎn)矢量法可得O處質(zhì)元的初相為所以波函數(shù)為例題5、一平面簡諧波在t=1s時的波形如圖所示。若已知波的振幅A、波速u和波長λ，求：(1)該簡諧波的波函數(shù)；(2)P點處質(zhì)點的振動方程。yx對于x=0處的質(zhì)點，在t=1s時：解：(1)由于波沿x軸負(fù)方向傳播，設(shè)波函數(shù)為由旋轉(zhuǎn)矢量法：所以波函數(shù)為:(2)將代入波函數(shù)，得P點處質(zhì)點的振動方程為：9.5.3波動方程將平面簡諧波的波函數(shù)對時間t和對x分別求二階偏導(dǎo)數(shù)，有:平面波波動方程推廣:任何物理量滿足上式，則以波動形式傳播。9.5.4波的能量波的傳播過程:(1)振動狀態(tài)的傳播(相位)(2)能量的傳播1、波的能量：以棒內(nèi)簡諧縱波為例：

細(xì)長棒，沿x軸放置，密度、橫截面為S。任取質(zhì)元dx，質(zhì)元的體積為，質(zhì)量為。設(shè)平面縱波的波函數(shù)為（設(shè)）：則質(zhì)元的振動速度為質(zhì)元的振動動能為（1）質(zhì)元的動能（2）質(zhì)元的勢能

波在傳播過程中，質(zhì)元不斷受到相鄰質(zhì)元的擠壓和拉伸而產(chǎn)生彈性形變，因而具有彈性勢能。

假設(shè)在t

時刻，質(zhì)元左端的振動位移為y，右端的位移為y+dy，則質(zhì)元的伸長量為dy，其應(yīng)變?yōu)棰俑鶕?jù)胡克定律(Y為楊氏模量)又考慮到可以得出則質(zhì)元的彈性勢能為將①式代入，結(jié)合，整理可得質(zhì)元的勢能為：（3）質(zhì)元的總機(jī)械能:（4）能量密度:（單位體積內(nèi)波的能量）（5）平均能量密度（能量密度在一個周期內(nèi)的平均值）說明①的相位、大小均相同；機(jī)械能不守恒。(注意與振動能量相區(qū)別)所以，波動過程中，某個質(zhì)元的動能和勢能同時達(dá)到最大（平衡位置處），也同時達(dá)到最?。ㄗ畲笪灰铺帲?，而總機(jī)械能隨時間作周期性變化。②波動是能量傳遞的一種方式，能量以速度

u傳播。2、波的能流密度：

（描述波的能量傳播的物理量）（1）能流：單位時間內(nèi)垂直通過波傳播方向上某一面積的能量稱為通過該面積的能流。（2）平均能流：單位時間內(nèi)垂直通過某一面積的平均能量。

如右圖。dt

時間內(nèi)，通過面積S的平均能量就等于體積Sudt中的能量。

所以，單位時間內(nèi)通過面積S的平均能量，即平均能流為單位：W波的能流也稱為波的功率。（3）能流密度:單位時間內(nèi)通過垂直波傳播方向單位面積的平均能流，稱為能流密度或波的強(qiáng)度。單位:W/m2

能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。

波在媒質(zhì)中傳播時，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱為波的吸收。（3）波的吸收：α為吸收系數(shù)，取決于媒質(zhì)和波的頻率9.6波的疊加原理波的干涉9.6.1波的疊加原理當(dāng)幾列波在媒質(zhì)中傳播時：不論是否相遇，各列波仍將保持其原有的頻率、波長、振動方向等特征繼續(xù)沿原來的傳播方向前進(jìn)，不受其它波的影響。在幾列波相遇處，質(zhì)元的振動是各列波單獨存在時對該質(zhì)元所引起振動的合成。

——波的疊加原理——波傳播的獨立性原理

能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。注意：波的疊加原理僅在弱波條件時成立，強(qiáng)沖擊波則不成立。遵守疊加原理的波稱為線性波，否則稱為非線性波。9.6.2波的干涉1、干涉現(xiàn)象:

在一定條件下，兩波相遇，在媒質(zhì)中某些位置的點振幅始終最大，另些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強(qiáng)弱介乎二者之間，保持不變，這種現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。2、產(chǎn)生干涉的條件：兩波源具有恒定的相位差。兩波源的振動方向相同。兩波源具有相同的頻率。滿足上述條件的稱為相干波。3、干涉加強(qiáng)、減弱條件：設(shè)有兩個頻率相同的波源S1

和S

2

傳播到P

點引起的振動為：在P

點的振動為同方向同頻率振動的合成。由疊加原理，P點合振動為：其中：干涉加強(qiáng)的條件干涉減弱的條件當(dāng)兩波源的初相位相同時，相干條件可寫為：干涉加強(qiáng)干涉減弱

例題1、如圖所示，S1和S2是兩相干波源，相距1/4波長，S1比S2的相位超前。設(shè)兩列波在S1、S2連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問S1、S2連線上在S1外側(cè)各點處的合成波的強(qiáng)度如何？又在S2外側(cè)各點處的強(qiáng)度如何？解：(1)

S1外側(cè)各點以任意點M表示，兩波在此相遇時的相位差為：所以在S1外側(cè)各點的合振幅A=0，波的強(qiáng)度也為零。(2)S2外側(cè)各點以任意點N表示，兩波在此相遇時的相位差為：所以在S2外側(cè)各點的合振幅A=2A0，合振動強(qiáng)度:為兩波源單獨存在時強(qiáng)度的4倍。

解選S1處為坐標(biāo)原點O，向右為x軸正方向,設(shè)點S1

的振動初相位為零,由已知條件可得波源S1和S2作簡諧振動的運動方程分別為:S1

發(fā)出的向右傳播的波的波函數(shù)為:S2

發(fā)出的向左傳播的波的波函數(shù)為:

例題2、在同一媒質(zhì)中相距為20m

的兩平面簡諧波源S1

和S2

作同方向，同頻率(=100Hz

)的諧振動，振幅均為A=0.05m，點S1

為波峰時，點S2

恰為波谷，波速u=200m/s

。求：兩波源連線上因干涉而靜止的各點位置。因干涉而靜止的點的條件為:化簡上式,得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點的位置分別為:將代入,可得:9.6.3駐波（駐波是干涉的特例）1、駐波:兩列振幅相同，而傳播方向相反的相干波，其合成波是駐波。

設(shè)有兩列相干波，振幅相同，初相皆為零，分別沿x軸正、負(fù)方向傳播，選初相位均為零的表達(dá)式為：2、駐波的形成:其合成波稱為駐波，其表達(dá)式：整理可得：駐波方程

各點作頻率相同、振幅不同的簡諧振動。

振幅為隨x變化3、駐波的特征：（1）波節(jié)和波腹：波節(jié)：振幅為零的點稱為波節(jié)。波腹：振幅最大的點稱為波腹。兩相鄰波節(jié)間的距離

/2。兩相鄰波腹間的距離

/2。相鄰波節(jié)與波腹間的距離/4。的各點。即:波節(jié)的位置為：的各點。即:波腹的位置為：（應(yīng)用）：可用之測量波腹間的距離，來確定波長。（2）相位：（3）波形：相位為相位為*在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達(dá)到反向最大或同時達(dá)到反向最小。速度方向相反。

結(jié)論：*兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達(dá)到最大或同時達(dá)到最小。速度方向相同。波形不傳播。能量不傳播——“駐”駐波表達(dá)式中不含項，所以駐波不是行波。分段振動

當(dāng)一列波從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)的界面時，反射波在反射點有π的相位突變，等效于波多走或少走半個波長的波程，這種現(xiàn)象稱為半波損失。彈性波：ρu

較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)；

較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì)。波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波腹。無半波損失無半波損失密疏波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波節(jié)。半波損失半波損失密疏9.6.4半波損失

例題3設(shè)入射波的波函數(shù)為，在x=0處發(fā)生反射，反射點為一自由端，求：（1）反射波的波函數(shù)；（2）合成波（駐波）的波函數(shù)，并由合成波的波函數(shù)說明哪些點是波腹，哪些點是波節(jié)？

解：（1）依題意，在x=0處反射，因此入射波在反射點的振動方程為

反射方向上任意一點P比反射點落后相位，又由于無半波損失，因此反射波的波函數(shù)為（2）合成波的波函數(shù)為顯然，那些點，振幅最大(2A)，即波腹；

的那些點，振幅最小(0)，是波節(jié)。例題4一列沿x軸正方向傳播的入射波的波函數(shù)為。該波在距坐標(biāo)原點O為x0=5λ處被一垂直面反射，如圖，反射點為一波節(jié)。求：(1)反射波的波函數(shù)；(2)駐波的表達(dá)式；(3)原點O到x0間各個波節(jié)和波腹的坐標(biāo)。解（1）從入射波的波函數(shù)可以確定在原點的振動方程為反射波在O點的振動相位比入射波在O點的振動相位要落后所以反射波在O點的振動方程為據(jù)此可寫出反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)為：（2）駐波表達(dá)式為（3）因為原點O和x0=5λ處均為波節(jié)，鑒于相鄰波節(jié)的間距為λ/2，可知各波節(jié)點的坐標(biāo)為又兩波節(jié)之間為一波腹，故波腹點的坐標(biāo)為9.7惠更斯原理波的衍射9.7.1惠更斯原理惠更斯提出:

媒質(zhì)中波動傳播到達(dá)的各點都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任意時刻，這些子波波面的包絡(luò)（與所有子波的波前相切的曲面或曲線）就是新的波前，這就是惠更斯原理。荷蘭物理學(xué)家惠更斯(C.Huygens，1629-1695)球面波平面波惠更斯原理適用于任何形式的波動。

波在傳播過程中遇到障礙物時，能夠繞過障礙物的邊緣前進(jìn)，這種現(xiàn)象稱為波的衍射。9.7.2波的衍射衍射現(xiàn)象是波動的重要特征之一。衍射現(xiàn)象顯著與否，與障礙物的大小有關(guān)。波的衍射波長相同的水波通過寬度不同的窄縫靠近狹縫的邊緣處，波面彎曲，波線改變了原來的方向，即繞過了障礙物繼續(xù)前進(jìn)。AB可用惠更斯原理定性解釋波的衍射現(xiàn)象9.8多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)如果波源或觀察者或兩者都相對于媒質(zhì)運動，并且在二者連線方向上有相向或相反的運動分量時，則觀察者接收到的頻率將不同于波源發(fā)出的頻率，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。波源頻率：單位時間內(nèi)波源振動的次數(shù)或單位時間內(nèi)發(fā)出的“完整波”的數(shù)目。觀察者接收到的頻率：觀察者在單位時間內(nèi)接收到的

“完整波”的個數(shù)。波的頻率：單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某點的“完整波”的數(shù)目。首先區(qū)別下面三種頻率:二、三種不同情況下頻率的變化表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度。表示觀察者相對于媒質(zhì)的運動速度。表示媒質(zhì)中的波速三種速度1、波源相對于媒質(zhì)靜止，觀察者以速度vR相對于媒質(zhì)運動

觀察者接收到的頻率（單位時間內(nèi)接收到完整波的個數(shù)）:①觀察者以速度vR

接近波源S：波在媒質(zhì)中傳播時的波長為。單位時間內(nèi)波相對于觀察者傳播的距離:波源不動：波的頻率

等于波源的頻率。②觀察者以速度vR離開波源S：表明:觀察者接收到的頻率提高。同理可得觀察者接收到的頻率：特例：即觀察者與波面同速運動，接收不到聲波。表明:觀察者接收到的頻率降低。當(dāng)時，①若波源S以速度vs接近觀察者：2、觀察者靜止，波源相對于媒質(zhì)以速度vs

運動波在媒質(zhì)中的波長：波的頻率為：波長:波傳播時,在同一波線上兩個相鄰的相位差為2

的質(zhì)元之間的距離。觀察者靜止：觀察者接收到的頻率等于波的頻率。波被擠壓②若波源S以速度vs離開觀察者，

表明:觀察者接收到的頻率升高。表明:觀察者接收到的頻率降低。同理可得觀察者接收到的頻率：由于觀察者不動，則觀察者接收到的頻率等于波的頻率

：3、波源和觀察者同時相對媒質(zhì)運動：①當(dāng)波源和觀察者相向運動時：觀察者接受到的頻率為：②當(dāng)波源和觀察者彼此離開時，觀察者接受到的頻率為：利用聲波的多普勒效應(yīng)可以測定流體的流速、振動體的振動和潛艇的速度用來報警和監(jiān)測車速在醫(yī)學(xué)上，如做超聲心動、多普勒血流儀。馬赫波：當(dāng)波源的速度超過波的速度時，波源前方不可能有任何波動產(chǎn)生。如沖擊波。多普勒效應(yīng)的應(yīng)用例題1、當(dāng)汽車迎著一固定波源駛來時，波源向汽車發(fā)射頻率為100kHz的超聲波。相對波源靜止的觀察者測得從汽車反射回來的超聲波的頻率為110KHz。已知空氣中聲速u=340m/s。求：汽車行駛的速度v。

解:波源：固定波源；靜止觀察者：汽車；向著波源運動。速度為v

。[第一步]所以汽車接收到的頻率：根據(jù)[第二步]觀察者：人（接收器），靜止。根據(jù)解得波源：汽車；向著觀察者運動。汽車發(fā)出的波的頻率即是它接收到的頻率

解:在式中已知u=330m/s，vsA=0，