第五章頻域分析法

第五章頻域分析法——頻率法

頻率特性法是經(jīng)典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合的又一重要方法。與時域分析法和根軌跡法不同；頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)之間有內(nèi)在聯(lián)系；頻率特性法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實(shí)驗的方法測出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性；頻率特性分析系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；基本要求1.正確理解頻率特性的概念。2.熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線。3.熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。4.熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。5.熟練掌握Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。6.熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)定裕度的方法。7.理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。8.理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會用三頻段的分析方法對兩個系統(tǒng)進(jìn)行分析與比較。5－1頻率特性一、基本概念輸入信號：其拉氏變換式：控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出頻率特性分析系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。輸出：拉氏反變換得：其中：暫態(tài)值穩(wěn)態(tài)值同理：將B、D代入c(t)，則:式中：結(jié)論：線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量是和輸入同頻率的正弦信號。二、頻率特性的定義及求取方法

線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特性（即為幅相頻率特性，簡稱幅相特性）。頻率特性表達(dá)式為：例子以RC網(wǎng)絡(luò)為例其傳遞函數(shù)正弦穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出幅值：穩(wěn)態(tài)輸出相位：對于任何線性系統(tǒng)都可以采用這種方法分析。幅頻特性：相頻特性：取：G(jw)能夠完整描述網(wǎng)絡(luò)在正弦信號作用下穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相角與輸入信號頻率之間的規(guī)律。G(jw)即為系統(tǒng)的頻率特性。RC網(wǎng)絡(luò)其傳遞函數(shù)頻率特性該結(jié)論適用任何線性系統(tǒng)！三、頻率特性的幾種表示方法1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性為系統(tǒng)的幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線2、對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線。對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性:

對數(shù)相頻特性曲線：橫坐標(biāo)為角頻率仍采用對數(shù)分度，縱坐標(biāo)采用線性分度用角度表示。

對數(shù)幅頻特性曲線：橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度，取10為底的對數(shù)，縱坐標(biāo)采用線性分度用分貝數(shù)(dB)表示。對數(shù)坐標(biāo)刻度圖注意：縱坐標(biāo)以幅值對數(shù)分貝數(shù)為刻度，是均勻的；橫坐標(biāo)按頻率對數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實(shí)際的值，是不均勻的。——這種坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10、5-50，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。為了說明對數(shù)幅頻特性的特點(diǎn)，引進(jìn)斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量。

以角頻率為參變量，橫坐標(biāo)是相位，單位采用角度；縱坐標(biāo)為幅值，單位采用分貝。☆對數(shù)幅相頻率曲線（尼柯爾斯圖）例程：sys=tf([1],[111]);nichols(sys,{0.1,100});grid幅值的乘積簡化為加減；可以用疊加方法繪制Bode圖；可以用簡便方法近似繪制Bode圖；擴(kuò)大研究問題的范圍；便于用實(shí)驗方法確定頻率特性對應(yīng)的傳遞函數(shù)。Bode圖的優(yōu)點(diǎn)對數(shù)坐標(biāo)系5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）幅頻特性相頻特性幅相特性比例環(huán)節(jié)的頻率特性曲線二、積分環(huán)節(jié)幅相特性傳遞函數(shù)相頻特性是一常值積分環(huán)節(jié)的幅頻/相頻、幅相特性曲線對數(shù)頻率特性三、微分環(huán)節(jié)幅相特性傳遞函數(shù)相頻特性是一常值微分環(huán)節(jié)的幅頻/相頻、幅相、對數(shù)特性曲線頻域分析法頻率特性法：分析系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三種表示方法：直角坐標(biāo)表示法、幅相特性曲線(Nyquist圖)、對數(shù)頻率特性曲線(bode圖)。頻率特性—輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，即為幅相頻率特性，簡稱幅相特性，包括幅頻特性和相頻特性兩部分。四、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）傳遞函數(shù)幅相特性慣性環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線例程：sys2=tf([1],[0.51]);nyquist(sys2,{0.1,100000});例程：sys2=tf([1],[0.51]);nyquist(sys2,{0.1,100000});grid對數(shù)頻率特性

當(dāng)當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線圖示：當(dāng)T=0.5（s）時，系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對數(shù)幅頻特性的漸近線的近似方法：在頻率很低時，對數(shù)幅頻曲線可用0分貝線近似。T=0.5s時，系統(tǒng)的伯德圖在圖中T=0.5,1/T=2(rad/sec)當(dāng)頻率很高時，對數(shù)幅頻曲線可用一條直線近似，直線斜率為-20dB/dec，與零分貝線相交的角頻率為1/T。

慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線近似為兩段直線。兩直線相交，交點(diǎn)處頻率，稱為轉(zhuǎn)折頻率。兩直線實(shí)際上是對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，故又稱為對數(shù)幅頻特性漸近線。用漸近線代替對數(shù)幅頻特性曲線，最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，即處。

慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線

誤差的最大值發(fā)生在角頻率為1/T處，這時誤差最大值為-3dB

。用漸近線近似產(chǎn)生的誤差曲線五、一階微分環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）傳遞函數(shù)頻率特性振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性低頻漸近線是零分貝線。

高頻段是一條斜率為-40/dB的直線，和零分貝線相交于，振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為。特征點(diǎn)：振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖漸近線對數(shù)幅頻特性引起的誤差：阻尼比ξ0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0最大誤差（dB）+14+8+4.4+1.90-1.6-2.9-4.1-5.1-6.0當(dāng)ω=ωn時，該處的實(shí)際值為：其誤差與ξ有關(guān)。誤差計算結(jié)果如下：在ω=ωn處，當(dāng)0.4＜ξ＜0.7時，誤差小于3dB，可以不對漸近線進(jìn)行修正；當(dāng)ξ＜0.4或ξ＞0.7時，誤差較大，必須對漸近線進(jìn)行修正。令無因次頻率為參變量若振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）振蕩環(huán)節(jié)的幅頻、相頻特性曲線幅頻特性的諧振峰值和諧振頻率：幅頻特性的諧振頻率和諧振峰值：諧振頻率諧振峰值振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性七、二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)定義：傳遞函數(shù)中有右半平面極點(diǎn)、右半平面零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），稱為非最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）。一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一樣。相位的絕對值大，故一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱非最小相位環(huán)節(jié)。九、延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為例5-1

繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為

的零型系統(tǒng)的伯德圖。

解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

例5-1的伯德圖由例5-1可見,零型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著w的增加,每遇到一個交接頻率,對數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。實(shí)際上,在熟悉了對數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后,不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性,然后相加,而可以采用更簡便的方法。5－3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)開環(huán)頻率特性一、開環(huán)幅相特性曲線系統(tǒng)開環(huán)幅頻與相頻分別為1、開環(huán)幅相特性曲線（1）當(dāng)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不包含積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)。系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線（2）當(dāng)取m=1,n=3時系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子有一階微分環(huán)節(jié)，其開環(huán)幅相特性曲線出現(xiàn)凹凸。（3）當(dāng)含有積分環(huán)節(jié)時的開環(huán)幅相特性曲線

開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)時，頻率趨于零時，幅值趨于無窮大。2.系統(tǒng)開環(huán)幅相的特點(diǎn)當(dāng)頻率w→0時，其開環(huán)幅相特性完全由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定。當(dāng)頻率w→∞時，若n>m，|G(jw)|=0，相角為(m-n)p/2。若G(s)中分子含有s因子環(huán)節(jié)，其G(jw)曲線隨w變化時發(fā)生彎曲。G(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，是一個關(guān)鍵點(diǎn)。高頻段斜率為－20(n-m)dB/dec。系統(tǒng)中有振蕩環(huán)節(jié)時，當(dāng)ξ>0.7或ξ<0.4時,

需修正。系統(tǒng)開環(huán)傳函的頻率特性稱為開環(huán)頻率特性。

控制系統(tǒng)一般總是由若干環(huán)節(jié)組成的,設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：二、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制或得則系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性為其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與對數(shù)相頻表達(dá)式為:例

5-2

設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。

系統(tǒng)的伯德圖如圖所示。

解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

例

5-2的伯德圖

此系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec,它在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處,幅頻特性的斜率由－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec。

通過以上分析,可以看出系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn):

低頻段的斜率為－20νdB/dec,ν為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。

低頻段在ω＝1處的對數(shù)幅值為20lgK。在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處,對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化,變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型。遇到G(s)＝(1+Ts)-1的環(huán)節(jié),交接頻率處斜率改變-20dB/dec;遇到G(s)＝(1+Ts)的環(huán)節(jié),交接頻率處斜率改變+20dB/dec;遇到二階振蕩環(huán)節(jié) ,交接頻率處斜率改變－40dB/dec。

綜上所述,可以將繪制對數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下:(1)將開環(huán)傳函分解,寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式;(2)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率,將其從小到大排列為w1,w2,w3,…并標(biāo)注在w軸上;(3)繪制低頻漸近線(w1左邊的部分)，這是一條斜率為-20νdB/dec(ν為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)的直線,它或它的延長線應(yīng)通過(1,20lgK)點(diǎn);(4)隨著w的增加,每遇到一個典型環(huán)節(jié)的交接頻率,就改變一次斜率;(5)對數(shù)相頻特性可以由各個典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數(shù)φ(w)直接計算。例5-3

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制開環(huán)對數(shù)頻率特性。解:

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)由5個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成：比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)

對數(shù)幅頻特性漸近線在時穿越0dB線，其斜率為-20dB/dec。

轉(zhuǎn)折頻率，對數(shù)幅頻特性漸近線曲線在轉(zhuǎn)折頻率前為0dB線，轉(zhuǎn)折頻率后為一條斜率為-20dB/dec的直線。對稱于點(diǎn)。

慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)

轉(zhuǎn)折頻率，對數(shù)幅頻特性漸近線類似于，相頻特性類似于。一階微分環(huán)節(jié)

轉(zhuǎn)折頻率，對數(shù)幅頻特性漸近線在之前為0分貝線，在之后為一條斜率為20dB/dec的直線。

相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率處為45°，低頻段為0°，高頻段為90°，且曲線對稱于點(diǎn)。將以上個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性漸近線和相頻特性曲線繪制出，在同一頻率下相加即得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線及相頻特性，如圖所示。Bode圖例5－4

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：

開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。例5－551234五個基本環(huán)節(jié)繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖將寫成典型環(huán)節(jié)之積；找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；畫出各環(huán)節(jié)的漸近線；在轉(zhuǎn)折頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線；將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。一般規(guī)則：三、最小相位系統(tǒng)

若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半部,這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù);否則,稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

對于幅頻特性相同的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相位滯后是最小的,而非最小相位系統(tǒng)的相位滯后必大于前者。例如有一最小相位系統(tǒng),其頻率特性為：另有一非最小相位系統(tǒng),其頻率特性如下:

(T2＞T1＞0)這兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性完全相同

相頻特性不同：前一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°負(fù)角度值0°；后一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°-180°。它們的Bode圖如圖3-22所示。

對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù),反之亦然。但是，對于非最小相位系統(tǒng)，就不存在上述的這種關(guān)系。由最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性確定其傳遞函數(shù)的步驟：（1）由低頻段確定系統(tǒng)傳函的型別：-20νdB/dec(ν為傳函中包含的積分環(huán)節(jié)數(shù))（2）確定傳函增益K0型：20lgK=L1

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點(diǎn)0，K=0

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點(diǎn)0，K=02逆問題L()L11（3）串聯(lián)環(huán)節(jié)的確定：交接頻率1處，斜率改變-20dB/dec，串

斜率改變+20dB/dec，串

斜率改變-40dB/dec，串

斜率改變+40dB/dec，串最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對應(yīng)關(guān)系環(huán)節(jié)幅頻相頻-20dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-40dB/dec→0dB/dec→20dB/dec→………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec→0dB/dec→m·(+20)dB/dec→例5-6

已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖如下：-20-40L()1c0試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為其中，或5－4穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)令將F(s)寫成零、極點(diǎn)形式，則：輔助函數(shù)F(s)具有如下特點(diǎn)：其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。其零點(diǎn)的個數(shù)與極點(diǎn)的個數(shù)相同。輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)1。1.幅角原理

如果封閉曲線內(nèi)有Z個F(s)的零點(diǎn)，有P個F(s)的極點(diǎn)，則s依順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)N為P和Z之差，即N＝P－Z

若N為負(fù)，表示F(s)曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。N=P-Z也可寫成:Z=P-Ns為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=δ+jω來表示。F(s)為復(fù)變函數(shù)，以F(s)復(fù)平面上的F(s)=u+jv表示。點(diǎn)映射關(guān)系、s平面與F(s)平面的曲線映射關(guān)系，如圖所示。點(diǎn)映射關(guān)系s平面與F(s)平面的映射關(guān)系

如果在s平面上任取一條封閉曲線Cs，且要求Cs曲線滿足下列條件:1)曲線Cs不通過F(s)的奇點(diǎn)（即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）；2)曲線Cs包圍F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)。

·s、F(s)平面上的封閉曲線Cs、Cs’如圖所示

復(fù)變函數(shù)F(s)，當(dāng)s1(封閉曲線Cs上任一點(diǎn))沿閉合曲線Cs順時針轉(zhuǎn)動一圈時，其矢量總的相角增量記為△∠F(s)。由證

式中，P和Z分別是被封閉曲線Cs包圍的特征方程函數(shù)F(s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。當(dāng)s平面上的試驗點(diǎn)s1沿封閉曲線Cs順時針方向繞行一圈時，F(xiàn)(s)平面上對應(yīng)的封閉曲線將按逆時針方向包圍坐標(biāo)原（P-Z）圈。例：N＝P－Z=-1即F(s)曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)一圈。2.奈式判據(jù)

若開環(huán)傳函在s的右半平面有p個極點(diǎn)，則為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從變化時，的軌跡必逆時針包圍GH平面上的點(diǎn)次。即：z—閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。（F(s)在s右平面的零點(diǎn)數(shù)）p—開環(huán)傳函在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。N—

繞點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)的次數(shù)。若N為順時針旋轉(zhuǎn)圈數(shù)，則有

為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析聯(lián)系起來，適當(dāng)選擇s平面的封閉曲線Cs：由整個虛軸和半徑為∞的右半圓組成，試驗點(diǎn)按順時針方向移動一圈，該封閉曲線稱為Nyquist軌跡（路徑）。

Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。

s平面上的Nyquist軌跡Nyquist軌跡及其映射Nyquist軌跡Cs由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動，試驗點(diǎn)s=jw在整個虛軸上的移動，在F平面上的映射就是曲線F(jw)(w由-∞→+∞)。

F(jw)=1+G(jw)H(jw)Nyquist軌跡Cs的另一部分為s平面上半徑為∞的右半圓，映射到F(s)平面上為：

F(∞)=1+G(∞)H(∞)

根據(jù)映射定理可得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(jw)，(w從-∞→+∞)F平面上的Nyquist曲線F平面上的Nyquist曲線Z——F(s)位于右半平面的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)；

P——F(s)位于右半平面的極點(diǎn)數(shù)，即開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)；

N——Nyquist曲線逆時針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)。F(s)=1+G(s)H(s)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面。即Z=0或

N=P。

由幅角定理可得F(s)逆時針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)N為N=P-Z

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一

由G(jw)H(jw)的Nyquist曲線

(w從0→+∞)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Nyquist判據(jù)為G(jw)H(jw)曲線(w：0→+∞)逆時針包圍(-1，j0)的次數(shù)為。

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上無極點(diǎn)時，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表示為：當(dāng)w從-∞→+∞變化時G(jw)H(jw)的Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(N≠P)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。極坐標(biāo)圖例

已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0；從圖中看到w由-∞→+∞變化時，G(jw)H(jw)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0；

Z=P-N=0；所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

作出w=0→+∞變化時G(jw)H(jw)曲線如圖所示，鏡像對稱得w：-∞→0變化時G(jw)H(jw)如圖中虛線所示。系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有一個位于s平面的右極點(diǎn)，即P=1。例單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為極坐標(biāo)圖

從G(jw)H(jw)曲線看出，當(dāng)K>1時，Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=1，Z=N-P=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)K<1時，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N-P=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點(diǎn)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)二

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中υ——開環(huán)傳遞函數(shù)中位于原點(diǎn)的極點(diǎn)個數(shù)。繞過原點(diǎn)的Nyquist軌跡1.以原點(diǎn)為圓心,以無限大為半徑的大半圓；2.由-j∞到j(luò)0-的負(fù)虛軸；3.由j0+沿正虛軸到+j∞；4.以原點(diǎn)圓心，以(→0)為半徑的從j0-到j(luò)0+的小半圓。需對Nyquist軌跡進(jìn)行修正，它由四部分組成：s平面上有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的υ個極點(diǎn)時，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為：

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有υ個極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)時，如果增補(bǔ)開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)（ω從-∞→+∞）逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。解系統(tǒng)的頻率特性為例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作出ω=0＋→+∞變化時G(jω)H(jω)的曲線；根據(jù)鏡像對稱得ω=-∞→0-變化時G(jω)H(jω)的曲線；從ω=0－到ω=0＋以無限大為半徑順時針轉(zhuǎn)過p，得封閉曲線(或輔助圓)。極坐標(biāo)曲線

當(dāng)時，G(jw)H(jw)(w從-∞→+∞)曲線穿越(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

從Nyquist曲線可以看出：

當(dāng)時，G(jw)H(jw)(w從-∞→+∞)曲線順時針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù)Z=P-N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

當(dāng)時，G(jw)H(jw)(w從-∞→+∞)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是看開環(huán)頻率特性曲線對負(fù)實(shí)軸上(-1,-∞)區(qū)段的穿越情況。穿越伴隨著相角增加稱之為正穿越，記作N+，穿越伴隨著相角減小，稱為負(fù)穿越，記作N-。臨界放大倍數(shù)Nyquist判據(jù)可描述為：當(dāng)w由-∞→+∞變化時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸上(-1，-∞)區(qū)段的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差等于開環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù)P時，系統(tǒng)穩(wěn)定。P＝0N+＝N-=1N+-N-=P頻率特性曲線例5－7已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別K=0.5和K=2時的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。分別作出K=0.5和K=2時開環(huán)幅相特性曲線K=0.5時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（P=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的所有頻段內(nèi)，正負(fù)穿越線的次數(shù)差為0。注意：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性大于零的頻段內(nèi)，相頻特性曲線由下(上)往上（下）穿過-1800線為正（負(fù)）穿越。N+（N-）為正（負(fù)）穿越次數(shù)，從-1800線開始往上（下）稱為半個正（負(fù)）穿越。幅相曲線（a)及對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線(b)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：在開環(huán)對數(shù)幅頻的頻段內(nèi)，對應(yīng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差為。即:

P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

注：，Bode圖只討論ω從0到＋∞變化；

，討論，即(-1,-∞)區(qū)段。

例5－8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0所以閉環(huán)穩(wěn)定例5-9

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為在處振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻值為:三、穩(wěn)定裕度

——衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)相位裕度極坐標(biāo)圖的矢量與負(fù)實(shí)軸的夾角。即對數(shù)坐標(biāo)圖上處與的差

系統(tǒng)穩(wěn)定（對最小相位系統(tǒng)）系統(tǒng)穩(wěn)定（對最小相位系統(tǒng)）

模穩(wěn)定裕度：對數(shù)圖上時的相穩(wěn)定裕度和模穩(wěn)定裕度一般要求穩(wěn)定性分析及其判據(jù)Nyquist曲線：Nyquist軌跡在G(jw)H(jw)平面的映射。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)w從-∞→+∞變化時G(jw)H(jw)的Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)N等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；N≠P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Nyquist軌跡：1)開環(huán)傳遞函數(shù)無積分環(huán)節(jié)；

2)開環(huán)傳遞函數(shù)無積分環(huán)節(jié)。

w從0→+∞時Nyquist判據(jù)：G(jw)H(jw)的Nyquist幅相特性曲線逆時針包圍(-1，j0)的次數(shù)N為P/2時閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。w：0→+∞w：-∞

→+∞若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（P=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的所有頻段內(nèi)，正負(fù)穿越線的次數(shù)差為0。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：負(fù)穿越正穿越幅相曲線(a)及對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線(b)負(fù)穿越負(fù)穿越正穿越正穿越w3處L(w)<0模穩(wěn)定裕度：相位穩(wěn)定裕度：開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系通常分為三個頻段加以分析，下面介紹“三頻段”的概念。低頻段低頻段通常指的漸近線在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的頻段，低頻特性完全由積分環(huán)節(jié)和開環(huán)放大倍數(shù)決定。開環(huán)四、用頻率特性分析系統(tǒng)品質(zhì)低頻段中頻段中頻段穿越0dB線的附近區(qū)段，集中反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性。高頻段

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻在高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對輸入高頻干擾信號的抑制能力。高頻特性的分貝值越低，系統(tǒng)抗干擾能力越強(qiáng)。

三個頻段的劃分并沒有嚴(yán)格的確定準(zhǔn)則，但是三頻段的概念，為直接運(yùn)用開環(huán)特性判別穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能指出了原則和方向。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線閉環(huán)頻域性能指標(biāo)（1）零頻振幅比A(0)指零頻(ω=0)時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸